Функция Лагранжа Функция состояния

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. [c.379]

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики. [c.379]

Частица переменной массы. Функция Лагранжа. В специальной теории относительности масса частицы считается переменной, зависящей от скорости частицы. Если масса частицы в состоянии покоя равна тд, то при движении со скоростью v ее масса будет определяться выражением [c.207]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Гамильтониан, в отличие от лагранжиана является функцией обобщенных координат г и обобщенных импульсов Р. Замена обобщенной скорости на обобщенный импульс осуществляется с помощью преобразования Лежандра, которое весьма часто используется, например, в термодинамике при переходе от функции состояния, зависящей от одних переменных к функции состояния от других переменных [c.12]

При помощи этой функции можно получить уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Рассмотрим изменение функции Рауса Я при переходе системы в другое, бесконечно близкое состояние. Сообщим величинам q , <7 , Р произвольные бесконечно малые приращения в некоторый момент времени t, что будет соответствовать возможному перемещению системы. При этом изменятся функции и Перемещение системы в соседнее, бесконечно близкое и кинематически возможное в тот же момент времени состояние, называют вариацией состояния систе-м ы. Вариация состояния вызывает соответствующие изменения исследуемых функций (в данном случае функций Рауса и Лагранжа). Линейная часть приращения-функции при вариации состояния системы называется вариацией функции. [c.349]

Точка массой т может двигаться по гладкой горизонтальной прямой. Она соединена пружиной с неподвижной точкой, находящейся на расстоянии h от прямой. Найти функцию Лагранжа, предполагая, что пружина подчинена закону Гука ее жесткость с и длина /о в ненапряженном состоянии известны. [c.106]

Итак, получена система дифференциальных уравнений (2.7) и (2.15), описывающая оптимальное движение ТМ в промежуточные моменты , т < I < Ьр. Анализ (2.15) дает повод считать, что режим оптимального движения ТМ допускает интерпретацию в виде движения ТМ в некотором потенциальном поле, причем функция Лагранжа равна мощности У. Задача 2.2 требует приведения ТМ в состояние [c.164]

В рамках принятых предположений мощность У есть функция текущего фазового состояния МТМ. Это позволяет для регпения задачи 4.2 применить вариационную процедуру Эйлера Лагранжа. Согласно этой процедуре надо составить гамильтониан [c.179]

Многообразие состояний равновесия неголономной системы. Уравнения малых колебаний вблизи многообразия состояний равновесия. Понятие устойчивости многообразия состояний равновесия. Пусть движение системы с функцией Лагранжа Ь = Ь 7 д , , п) и обобщенными силами [c.269]

Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить уравнения состояния электрической цени, изображенной на рисунке. Показать, что для этой цени можно так ввести функцию Лагранжа С = С д, что уравнения состояния можно записать как уравнения Лагранжа вида [c.136]

Допустим, что число жестких слоев п достаточно велико, чтобы перемещения Ма, Уа и Шд точек срединной плоскости этих слоев можно было считать медленно меняющимися функциями индекса а (а= 1, 2,. .., га). Предположим, что характеристики жестких слоев и мягких слоев тоже являются медленно меняющимися функциями а. Возникает идея об упрощении задачи, достигаемом путем размазывания — замены слоистой плиты некоторой однослойной анизотропной плитой с характеристиками напряженно-деформированного состояния, непрерывно меняющимися по толщине. Чтобы вывести соответствующие уравнения и естественные граничные условия, воспользуемся, как и ранее, вариационным принципом Лагранжа. Однако для функции Лагранжа возьмем приближенное выражение, вытекающее из формулы (30), если конечные суммы по а заменить интегралами по [c.53]

Случай отсутствия координат. Во многих случаях малых колебаний около состояния установившегося движения и в некоторых других задачах функция Лагранжа не содержит некоторых координат 0, ф,. .., хотя является функцией их производных 0, ф, . .. в то же самое время она может содержать другие координаты I, т),. .. так же, как и их производные 5, т), . .. Когда это имеет место, уравнения Лагранжа для 9, ф,. .. принимают вид [c.363]

Если система начинает двигаться из состояния покоя, измененная функция Лагранжа приобретает простую форму. Предположим, что функция Лагранжа L есть однородная квадратичная функция переменных 0, ф, . .. Тогда, обращаясь к первым интегралам, найденным выше, и вспоминая, что начальные значения 0, ф, . .. суть все нули, имеем и = О, v — О,... [c.363]

Это уравнение также легко может быть приведено к виду Лагранжа. Введем функцию состояния системы [c.147]

ЗАМЕЧАНИЕ I На самом деле, конечно, аргументация развивается в противоположном направлении мы потому и допустили в функцию Лагранжа только <7 и но не д, д,. .что хотели добиться, чтобы состояние системы определялось только координатами и их первыми производными. Для теорий с высшими производными, о которых мы кратко упомянули, в функцию Лагранжа, естественно, входят и более высокие производные координат. I [c.17]

Принцип Гамильтона. Пусть движение системы, имеющей некоторое число степеней свободы и такое же число лагранжевых координат <7,-, определяется функцией Лагранжа К—и = Ь д, и системой соответствующих сил Q, . В фиксированный момент V состояние I системы определено координатами и скоростями <7-, <7- в силу законов движения в фиксированный момент система [c.14]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Первый способ состоит в следующем. Вводится система координат, не связанная со средой, и исследуется поведение величин, характеризующих состояние среды, в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. В способе Лагранжа рассматривается фиксированная частица среды, а величины, характеризующие состояние среды, соответствуют этой частице. При этом координаты частицы являются функциями лагранжевых переменных и времени. Эйлеровы переменные будем обозначать через х , лагранжевы — через аК [c.9]

Здесь ii-tii - фиксированный И1ггервал времени между двумя разными состояниями тела с растущей трещиной. Функцию Лагранжа можно принять в виде [171.182] [c.323]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Функция Лагранжа L определена инвариантно, глобально, т. е. не зависит от выбора локальных координат на поверхности. Если геЗЯ, а скорость ve7 r(9R), то L = mv l2 — V(г) зависит от состояния и только. Из этого вытекает, что мы имеем право [c.168]

Функция Лагранжа (29.3), введенная в 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл ларран-жиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа. [c.171]

Сразу видно, что в основном состоянии выступают только куперовские пары (k, —k ). м —вероятность того, что два состояния с противоположными л II о не заняты, к —что они заняты. Если в (83.19) произвести умножение, то появятся члены с различным числом операторов рождения пар. Таким образом, (83.19) не есть состояние с определенным числом частиц. Мы можем, однако, рассматривать (83.19) как выражение для волновой функции, определяя и и v нз условий варьирования, требуя минимума энергии. Так первоначально действовали Бардин, Купер и Шри-фер. Таким образом можно получить результаты, выведенные выше другим способом. Вариацию надо провести при фиксированном числе частиц. Мы должны, следовательно, в качестве дополнительного условия потребовать N — on.st. Это может быть выполнено посредством дополнения до варьирования к оператору Гамильтона члена —jiiV. Множитель Лагранжа А, окажется равным химическому потенциалу, т. е. энергии Ферми Ер. В этом истинная причина, почему мы перед (83.5) перешли от Я к Нтел-Полученные пока результаты привели только к понижению энергии основного состояния. То, что с этим явлением связана сверхпроводимость, обнаруживается лишь прн рассмотрении возбужденных состояний. Это NUJ II пыполним в следующем параграфе. [c.327]

Пример. Однородная сфера единичной массы радиусом а подвешена на нити длиной Ь к неподвижной точке и приведена во вранхение вокруг вертикального диаметра. В состоянии этого стационарного движения сфере сообщается небольшое воэмун ,е1ше. Пусть Ьх, Ьу к Ь — координаты точки на поверхности сферы, к которой прикреплена нить, Ьх- г а , (/ -- - аг) и 6 г а — координаты центра сферы неподвижная точка принята за начало системы координат, а ось г направлена вертикально вниз. Кроме того, пусть срЧ где ф и ф имеют смысл, обычно придаваемый им при использовании кинематических уравнений Эйлера (см. т. I, гл. V). Поэтому до сообщения возмущения у/ — п. Показать, что функция Лагранжа дастся выражением [c.96]

Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии М задается одной единственной функцией L TMxA- -R, где Д —интервал оси времени R = i - Точку еЛ будем называть положением системы, а касательный вектор v TqM — скоростью В положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие М принято называть пространством положений, касательное расслоение ТМ — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, а dim М — числом степеней свободы. [c.20]

Обобщение и значительное расширение наших представлений о глубокой связи между преобразованиями переменных, определяющих состояние движения материальной системы и инвариантностью обобщенных мер движения принадлежит выдающейся женщине-математику Эмми Нётер. Для распределенных систем — в области теории поля —Э. Нётер в 1918 г. установила, что каждой группе преобразований, сохраняющей функцию Лагранжа инвариантной, соответствует определенный закон сохранения ). [c.237]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Как известно, уравнение Софи Жермев — Лагранжа как раз выражает условие равновесия элемента пластизгы Ах, с1г/, что и подчеркивается записью (8.41). Следовательно, L (w) — это интенсивность неуравновешенной суммарной нагрузки, возникающей по области интегрирования А (площади пластины) при задании прогибов в виде суммы (8.35). Удержание N членов в нем означает, что действительную систему заменили системой с N степенями свободы, в которой а (i = 1, 2,. . ., Л ) — это обобщенные перемещения, каждому из которых отвечает деформированное состояние, определяемое функцией fi (х, у). Для того чтобы дискретная система находилась в равновесии но принципу Лагранжа, падо, чтобы j работа всех элементарных сил системы, т. е. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...