Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях

Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях [c.78]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ 79 [c.79]

Учет свойства вязкости жидкостей и газов ведет к повышению порядка дифференциальных уравнений движения и в связи с этим появляются добавочные краевые условия на границах объема движуш ейся среды. Типичными примерами таких условий являются условие полного прилипания жидкости или газа к подвижным телам или неподвижным граничным стенкам и условие непрерывности трех компонент вектора силы напряжения на поверхностях контакта двух сред. [c.253]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Напряжения, скорости и плотность по обе стороны поверхности разрыва связаны между собой условиями, которые должны удовлетворять основным уравнениям механики сплошной среды и уравнениям состояния выбранной реологической модели. Основные уравнения механики сплошной среды лучше использовать в интегральном виде, так как для разрывных процессов интегральная формулировка физических законов по сравнению с дифференциальной обладает большей общностью. Для непрерывных же процессов интегральная и дифференциальная формулировки полностью эквивалентны [например, закон сохранения массы в интегральной форме (V.8) и дифференциальное уравнение неразрывности (V.10), закон сохранения импульса в интегральной форме (V.14) и дифференциальные уравнения движения (V.18)l. Используя закон сохранения массы (V.8) и закон сохранения импульса [c.247]

Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в цилиндрических координатах в компонентах.напряжений [c.81]

Движение элемента среды в виде бесконечно малого параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям, определяется приложенными к нему силами. К их числу относятся напряжения—компоненты тензора (1.1), а также массовые силы с компонентами X, У, и инерционные силы от ускорений гюх, хЮу, Подсчитав эти силы и приравняв нулю суммы их проекций на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения сплошной среды [c.11]

В работах С. Н. Попова [50-53], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [43] задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдена реакция среды и напряжение в лобовой точке. В первой статье дополнительно учитывается интегро-дифференциальное уравнение движения ударника. [c.380]

Обзор содержания. Классическая механика жидкости является одним из разделов механики сплошных сред и исходит, таким образом, из предположения, что жидкость по своей структуре практически непрерывна и однородна. Основное отличие жидкости от других сплошных сред заключается в том, что в положении равновесия касательные напряжения на границе раздела двух смежных частей жидкости должны равняться нулю. Само по себе это свойство не является достаточным для описания движения жидкости, хотя оно и положено в основу гидростатики и гидродинамики. Для того чтобы характеризовать физическое поведение некоторой жидкости, это свойство должно быть обобщено, представлено в надлежащей аналитической форме и учтено в уравнениях движения произвольной сплошной среды. При этом неизбежно получается система дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление, плотность и т. д. при произвольном движении жидкости. В данной статье мы будем рассматривать эти дифференциальные уравнения, их вывод из основных аксиом и различные формы, которые принимают эти уравнения при более или менее ограничительных предположениях, касающихся свойств жидкости или ее движения. [c.5]

Для малой окрестности физической точки (частицы) среды установлены дифференциальные и интегральные уравнения сохранения массы, импульса (уравнения движения), сохранения энергии, баланса энтропии (уравнение притока тепла), а также уравнения, связывающие тензор напряжения и вектор теплового потока с деформациями, температурой и немеханическими заданными параметрами. Эти соотношения в принципе определяются, и притом однозначно, непосредственно в -опытах для всех возможных в частице процессов поскольку все входящие в эту сис тему равенств параметры измеряются приборами и системе удовлетворяют, группа параметров, названная реакцией (г), однозначно определяется группой процесса (я). Следовательно, для малой частицы решение суи ествует r(t)—г n(x)). Поэтому перечисленная система уравнений в МСС называется замкнутой для всех внутренних точек области движения среды. [c.157]

На заре развития дифференциального и интегрального исчисления Эйлер первым оценил величайшее могущество нового математического метода для задач теоретической механики. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений есть вполне адекватный аппарат для познания сущности большого класса механических движений. Именно поэтому Эйлеру в своих работах удалось раздвинуть границы механики до пределов, о которых в те годы ученые даже и не мечтали. Достоинства аналитического метода изложения были подтверждены Эйлером рядом крупнейших оригинальных научных открытий разработкой теории несвободного движения точки, созданием теории движения твердого тела, созданием основных методов изучения гидромеханики идеальной жидкости, точными расчетами баллистических траекторий в сопротивляющейся среде. Многие научные результаты Эйлера вошли в современные курсы теоретической механики. Стихийная творческая сила этого ученого, его одержимость научными изысканиями, его напряженный, не прекращающийся до последнего дня жизни труд являются непревзойденными во всей истории науки. Эйлер написал более 750 научных работ. [c.31]

Мы считали, что объемные силы отсутствуют. Возможно, будет поучительным заметить, что варьированное распределение смещений (или скоростей), которое мы только что рассматривали в равенствах (а), (б) и (в), представляет собой фактически точное решение задачи для упругого (или вязкого) материала, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений, записанных в величинах и, V, ш, и относится соответственно к теории упругости или теории вязкого тела (см. уравнения (25.5) и (26.8) т. 1, стр. 442 и 450 в. последнем случае). Кроме того, возможные распределения, которые отклоняются от строго равновесного, также представляют собой такие точные распределения. (Уравнение (а) выражает фактически скорости течения в слое вязкой среды, движущейся между двумя жесткими параллельными пластинками, когда одна из них перемещается относительно другой со скоростью щ и одновременно под действием градиента давления происходит ламинарное движение жидкости вперед, вдоль оси х на рис. 3.2). В случае, описываемом уравнением (а), легко установить, что корректные значения напряжений, отвечающие использованным варьированным состояниям упругой (вязкой) среды, даются более сложным распределением напряжений, которое, помимо измененных значений Хху, включает также нормальные напряжения а и (Ту. Это приводит, таким образом, к увеличению энергии в измененной системе, характеризуемой величинами и, о, ш. Отсюда следует правдоподобный вывод, что при добавлении новых ограничений энергия варьированных состояний увеличивается. [c.159]

Что касается других сред, рассмотренных в 12 главы I, то дифференциальные уравнения движения таких сред можно выразить через составляющие вектора скорости лишь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряжённое состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены относительно всех компонент напряжений. Во всех других случаях необходимо соотношения связи напряжени " е деформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения среды в напряжениях. [c.93]

Необходимо заметить, что, исходя в своих обоснованиях всюду из молекулярной модели Иуассон вводил в последующие рассуждения по существу континуальные представления. Так, в его мемуаре мы находим дифференциальные уравнения Коши движения сплошной среды в напряжениях и линейную зависимость компонент напряжения от скоростей деформаций. Однако Отсутствие чисто континуальной трактовки этих соотношений сильно осложняло рассуждения Пуассона. [c.68]

Соотношения (12.1) и (12.2) по своему формальному виду совпадают с соотношениями для упругой среды, подчиняющейся обобщённому закону Гука, с той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом с.тучае входят скорости деформаций. На этом основании гипотетическую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисто вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещё Коши в 1828 г., а затем в 1877 г. Бочером ). в качестве примера такой чисто вязкой среды Бочер привёл канадский бальзам. [c.67]

Во многих вопросах аэродинамики, вообще, не встречается надобности в интегрировании дифференциальных уравнений движения жидкости. К числу этих вопросов относятся, например, вопросы о сопротивлении тела движению, о его подъемной силе, аэродинамическом моменте и т. д. Здесь требуется определить лишь суммарное силовое взаимодействие между средой и телом, а распределение давлений или касательных напряжений по поверхности тела остается, по сути дела, безразличным. Конечно, зная распределение нормальных или касательных напряжений, всегда можно суммированием найти и результирующие аэродинамические силы или моменты. Но для того чтобы найти распределение нормальных или касательных напряжений, нужно обычно решать сложные дифференциальные уравнения, что, как уже указывалось, далеко не всегда практически осуществимо. Поэтому очень часто приходится в аэродинамике прибегать к другому способу, который дает не столь 11счерпывающие сведения о движении жидкости, как первый, но позволяет сравнительно просто решать многие практические задачи, в частности, связанные с определением аэродинамических сил и моментов. Этот второй способ можно назвать, в противоположность первому, способом конечных объемов. Он заключается в том, что в жидкости мысленно выделяют некоторый конечный объем (т. е. такой объем, внутри которого нельзя пренебрегать изменением скорости пли плотности) и ко всей массе жидкости, зак.лю-ченной в этом объеме, применяют теоремы механики, относящиеся к системе материа.пьных точек (например, теорему изменения коли- [c.268]

Как уже отмечалось, рабочей средой в аттриторах служат порошки, которые размалываются шарами. Процесс этот сугубо динамический, поэтому модели, построенные на рассмотрении сплошной среды со взвешенными частицами с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений, не могут адекватно описать динамику напряженно-деформированного состояния порошков. В работе [510] проведено моделирование воздействий при пластической деформации малых частиц в случае их обработки в аттриторах. Построено плоское силовое поле, основанное на принципе динамического равновесия. При этом движение совокупности размольных шаров предполагается установленным, а градиент скорости обеспечивается лишь по направлению от оси аттри-тора к его стенкам. Это позволило оценить величину импульса, действующего на частицу порошка, которую считают броуновской, т.е. траектория задается случайным образом. Недостаток указанной модели заключается в том, что в ней не учитываются особенности напряженно-деформированного состояния порошков. [c.312]

О ТОМ, что главные напряжения в каждой точке улругого тела пропорциональны соответственным главным удлинениям. Но наряду с упругим телом Коши рассматривал и неупругое тело и жидкость. В своей основной работе ), сообщение по которой было сделано ещё в 1822 г., в 3 Коши рассматривает движение внутри неупругой среды и вместо проекций смещений вводит проекции вектора скорости смещения и свою основную гипотезу формулирует так главные напряжения в каждой точке пропорциональны мгновенным главным удлинениям или сжатиям. На основании этой гипотезы Коши получает дифференциальные уравнения, отличающиеся от современных уравнений движения вязкой жидкости только отсутствием слагаемого с давлением. Затем он видоизменяет свою гипотезу, полагая напряжение состоящим из двух слагаемых, из которых первое считается пропорциональным мгновенным сжатиям или расширениям, а второе считается зависящим только от положения точки. Далее, второе слагаемое принимается пропорциональным скорости объёмного расширения. Вследствие этого получаются дифференциальные уравнения, сходные с уравненрмми движения вязкой сжимаемой жидкости. Таким образом, Кощи, создавая основные понятия теории упругости, вместе с этим установил и некоторые основные понятия теории движения вязкой жидкости. [c.19]

Исследуя движение турбулентных струй в таких условиях И. В. Лебедев использовал в работе [29] выводы теории Л. Пранд-тля о постоянстве в поперечных сечениях струи кинематического коэффициента турбулентной вязкости, определяемого как отношение касательного напряжения на поверхности выделенного элемента потока к градиенту изменения скорости в направлении, нормальном к стенке, умноженному на плотность среды. При этом принимается, что величина указанного коэффициента, сохраняя постоянное значение в каждом данном поперечном сечении струи, меняется от сечения к сечению. Для каждого данного поперечного сечения условно считается неизменным и статическое давление, и на этом основании рассматривается уравнение равновесия выделенного элемента потока с учетом лишь сил, действующих в продольном направлении. При этих упрощающих допущениях выведено дифференциальное уравнение плоского движения элемента среды. Анализ полученного таким образом уравнения привел к заключению о том, что для характеристик течения при заданном отношении (см. рис. [c.173]

Содержание книги можно условно разделить на две части, в первой из которых (главы 1-5) подробно излагаются методы математического описания турбулентных течений многокомпонентных реагирующих газовых смесей, а во второй (главы 6-8) представлены конкретные примеры численного моделирования аэрономических задач. Первая глава, имеющая вводный характер, содержит некоторые общие положения теории турбулентности и обсуждение вопросов специфики природных сред, в которых многокомпонентная турбулентность играет важную роль. Во второй главе рассмотрена феноменологическая теория тепло- и массопереноса в ламинарной многокомпонентной среде и методами термодинамики необратимых процессов, с учетом принципа взаимности Онзагера, выведены определяющие соотношения для термодинамических потоков диффузии и тепла в многокомпонентной смеси газов. Третья глава посвящена построению модели турбулентности многокомпонентного химически активного газового континуума. С использованием средневзвешенного осреднения Фавра получены дифференциальные уравнения баланса вещества, количества движения и энергии (опорный басис модели) для описания среднего движения турбулентной многокомпонентной смеси реагирующих газов, а также дан вывод реологических соотношений для турбулентных потоков диффузии, тепла и тензора рейнольдсовых напряжений. В четвертой главе развита усложненная модель турбулентности многокомпонентного континуума с переменной плотностью, опирающаяся (в ка- [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...