Линеаризованная система уравнений движения

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.41]

Составить линеаризованные дифференциальные уравнения движения системы при малых отклонениях оси Oz от вертикали. Размерами груза 3 пренебречь. [c.182]

Какие слагаемые сохраняются в выражениях кинетической и потенциальной энергии при составлении линеаризованных дифференциальных уравнений движения механической системы [c.314]

В соответствии с изложенным в п. 19 и 22 при построении периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата (16.21) с помощью алгоритма IV на каждом шаге приходится отыскивать периодическое решение линеаризованной системы уравнений (18.7), причем [c.152]

Для определения параметров движений рабочей камеры (см. рис. 4) используют схему, показанную на рис. 12, б. Достаточную для практики точность дает линеаризованная система уравнений [c.397]

Изложение в данной книге почти целиком основано на линеаризованной форме уравнений движения, которая вытекает из уравнений Навье — Стокса при отбрасывании инерционных членов в результате получаются уравнения так называемого ползущего течения, или уравнения Стокса. Такой подход равносилен допущению, что числа Рейнольдса, подсчитанные по диаметру частиц, очень малы. Во многих случаях, когда течение смеси в целом по отношению к внешним границам характеризуется большими числами Рейнольдса, все же можно говорить о малости чисел Рейнольдса для движения частиц относительно жидкости. Кроме того, инерционные эффекты менее существенны в системах, состоящих из группы частиц в ограниченной жидкой среде, нежели при движении одиночной частицы в неограниченной жидкости. [c.9]

Принципиальное отличие представленных результатов от результатов работы [26] заключается в том, что здесь в качестве исходной системы использовалась полная нелинейная система уравнений движения, а линеаризация производилась только в окрестности стационарной точки. В работе [26] рассматривались исходные линеаризованные движения, а затем линеаризация производилась ещё и в окрестности точки устойчивого положения равновесия. Покажем, что достаточное условие (4.50) обобщает аналогичное условие из работы [26]. Учитывая, что 2 = ( шах, q, R, G), представим (4.50) в виде [c.134]

Пусть х = г — г°, у = у — V , тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид [c.434]

Во всех остальных моделях исследуется на устойчивость решение линеаризованной системы уравнений (1-9) — (1-14). Из этой системы выделяется подсистема (1-9), (1-10), (1-12) — (1-14), которая решается независимо от уравнения движения. Такое выделение возможно на основе посылки о постоянстве давления по длине канала (см. 2-1) или независимости физических констант теплоносителя от давления. [c.19]

При ц = [1 матрица линеаризованной системы уравнений возмущенного движения к диагональной форме не приводится. Ее собственные числа равны + у 2/2. Линейное вещественное каноническое преобразование дг, рг д и р ь задающееся при [c.130]

До сих пор мы рассматривали малые движения относительно естественного, т. е. ненапряженного, состояния. Однако при теоретическом исследовании сред с электрическими и магнитными свойствами часто приходится проводить линеаризацию относительно начального состояния с конечной деформацией и намагниченностью и/или поляризацией (см. гл. 6 и 7). Разумеется, если за начальное состояние взято состояние без напряжений, намагниченности, поляризации и электромагнитных полей, то линеаризованная система уравнений, полученная из полной нелинейной системы уравнений, сводится к системе линейных уравнений классической теории. Техника, используемая для получения системы линеаризованных уравнений, описываю- [c.150]

Уравнение (14.16) является линеаризованным дифференциальным уравнением движения системы золотник — гидроцилиндр, позволяющим найти для каждого значения е открытия золотника установившуюся скорость движения поршня исполнительного цилиндра. [c.209]

Система уравнений (7.81) представляет собой линеаризованные уравнения движения неуправляемого велосипеда с жесткими колесами. [c.212]

Колебания малые, и ны полагаем sin ф ф, os ф 1 и пренебрегаем малыми величинами второго и высшего порядка, а также произведениями малых величин. Линеаризованное уравнение движения системы принимает вид [c.284]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Далее можно утверждать, что периодическое решение системы дифференциальных уравнений (18.7) совпадает с периодическим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата (16.21), что следует из теоремы единственности. При этом периодическое решение системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата получается из общего решения линеаризованной системы, если принять за начальные данные векторы Yo, 7oi определяемые из вектора где Хо — решение системы уравнения (19.27) при помощи зависимостей (19.19). [c.130]

Можно сформулировать также условия, при которых система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата имеет периодические решения с периодами 2Т, ЗТ,. . . Это явление деления частот , характерное для нелинейных систем, тесно связано с проблемой собственных значений матрицы Я соответствующей линеаризованной системы, см. подробнее п. 26 [52]. [c.131]

Запишем уравнения движения системы с учетом линеаризованных осцилляционных сопротивлений всех звеньев [c.148]

Вышеприведенные системы линеаризованных алгебраических уравнений необходимо дополнить уравнениями состояния для энтальпии теплоносителей, уравнениями смещения (впрыски и др.), расхода топлива, теплообмена в топке, радиационного теплообмена, а также уравнениями, отражающими связи искомых переменных по поверхностям нагрева. Таким образом, получается математическая модель тепловых процессов в парогенераторе. Для реализации этой модели на ЭВМ разработан алгоритм, сводящийся к итеративному процессу решения данной системы комбинацией методов Зейделя и простой итерации. Расчет полной системы модели парогенератора наиболее эффективно проводится по ходу движения дымовых газов от топки. [c.48]

Для упрощения расчетов уравнения движения каждой подсистемы линеаризуют в окрестности соответствующей компоненты ПД, а коэффициенты полученного нестационарного линейного дифференциального уравнения замораживают [701. При этом предполагается, что переходные процессы в замкнутой двигательной системе протекают настолько быстро, что ПД, а следовательно, и коэффициенты линеаризованного уравнения не претерпевают значительных изменений. [c.161]

Линеаризованнал система уравнений движения и сохранения в этой системе координат имеет вид [c.138]

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме, устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге. [c.4]

Нестационарные теплогидродинамические процессы в обогреваемых трубах различных агрегатов описываются дифференциальными уравнениями в частных производных изменения количества движения, неразрывности, энергии, теплового баланса стенки, состояния, теплопередачи и замыкающими зависимостями (см. 3-1). Для возможности решения такой системы все уравнения были линеаризованы методом малых возмущений. В результате линеаризованная система уравнений (для одинаково обогреваемых и гидравлически идентичных труб) записывается в виде [c.98]

Обычно в случаях применения маятниковых вибровозбудителей ставят задачу обеспечения одномерного движения исполнительного органа — его поступательной прямолинейной вибрации вдоль оси х. Для нахождения условий, при которых в системе с четырьмя степенями свободы (обобщенные координаты г ), х, у, б) окажутся реализованными две степенн свободы (колебания координат ij5, х), подставим в линеаризованные дифференциальные уравнения движения исходной системы с четырьмя степенями свободы (которые мы не приводим) значения [c.243]

Этот метод используют для определения такой структуры и таких значений параметров физических систем, прн которых их движение устойчиво [27]. Пусть линеаризованная система уравнений возмущенного двилсения имеет вид [c.399]

Исключение быстрозатухающих решений. Для упрощения исследований устойчивости движения нелинейных систем нужно расщепить заданную систему нелинейных уравнений на блоки более низкого порядка. Разрабатываются конструктивные способы понижения порядка автономных и неавтономных систем нелинейных дифференциальных уравнений [34]. Эти способы основаны на принципе сведения Ляпунова. Понижение порядка систем уравнений выполняется путем исключения быстрозатухающих решений. Если среди решений имеются быстрозатухающие, то в спеьтре матрицы линеаризованной системы уравнений есть собственные числа, лежащие в левой полуплоскости далеко от мнимой оси. [c.412]

Рассмотрим случай, когда с11тХо = О, т.е. Хо(с) = х°(с) , где х°(с) — семейство стационарных движений системы (Г(х (с)) = 0). Пусть = 5х = х — х°(с°), тогда линеаризованная система уравнений возмущенного движения имеет вид [c.432]

X = X — х (с ), тогда линеаризованная система уравнений возму-гценного движения имеет вид [c.75]

Наряду с удачным выбором корректируемых параметров большое значение для исследования коррекционных свойств межпланетных орбит имеет простота аналитических выражений для изохронных производных параметров движения вдоль траектории. Очень простые выражения для изохронных производных были получены В. И. Чарным (1965) в результате изучения свойств линеаризованной системы уравнений возмуш ен-ного движения в рамках задачи двух тел. Эти исследования были продолжены В. Г. Хорошавцевым (1965), рассмотревшим задачу о расчете изохронных производных параметров движения искусственного спутника для случая больших промежутков времени движения, когда траектория разбивается на участки, а также В. Н. Кубасовым (1966), получившим аналитическую зависимость величины указанных производных от времени полета. Полученные аналитические выражения для изохронных производных позволили значительно упростить анализ характеристик коррекций при полетах к Луне и планетам. [c.306]

Нестационарная форма трехпалубной теории свободного взаимодействия предусматривает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Нестационарные эффекты впервые рассмотрены в [35, 36] зависимость от времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [25]. Однако начало исследований, в которых присутствие времени в уравнениях трехпалубной схемы трактуется не как модификация некоторой известной теоретической концепции, а как адекватный способ описания нового класса течений со свободным взаимодействием, положено в работах [37-39]. Построенное в [38] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны подтвердило предположение о существовании нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных. [c.5]

В заключении этой главы полезно было бы напомнить общее положение, лежащее в основе почти всей прикладной математики. Это положение гласит, что точное решение линеаризованных дифференциальных уравнений движения эквивалентно в то же время приближению, полученному из решений точных (нелинейных) уравнений, управляющих системой. Конечно, точного общего математического определения этого положения не существует, но данная процедура давно стала стандартной в прикладной математике. Действительно, его внешняя привлекательность усиливается ещё и теми огромными трудностями, с которыми неизбежно сталкиваются при использовании любого другого метода решения. На справедливость данного утверждения а posteriori указывает множество решенных таким способом задач. Тем не менее, с точки зрения логики, это положение не имеет строго математического обоснования . [c.57]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

При 52 > 5 кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскосги ху. Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение ккр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки линеаризованные уравнения движения допускают в (57,14) любую функцию ф(х, г/), удовлетворяьэ-щую уравнению (Лг — )ф = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-види.мому, должна осуществляться двухмерная структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность— система параллельных полос ). [c.317]

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кристаллах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых криста ллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустические) ветви линейного закона дисперсии колебаний ( 22, 23). Одномерные кристаллы — смектйки — и здесь занимают промежуточное положение в них имеются две акустические ветви Р. G. de Gennes, 1969), Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных уравнений движения складывается из уравнения непрерывности [c.241]

Линеаризованные уравнения движения и состояния. Для случая плоского одномерного движения линеаризованные уравнения 4 гл. 1 для газовзвесей в системе координат, относительно которой иевозмущенпая равновесная газовзвесь покоится (ию = = V20 = Vi = 0), имеют вид [c.319]

Установившееся движение однодвнгательной машины с передаточным механизмом, образующим многомассовую ценную колебательную систему. Для машины с жесткими звеньями нам удалось, используя метод возмущений, свести задачу исследова-1ШЯ установившегося движения к задаче о вынуждеппых колебаниях некоторой линеаризованной системы. Аналогичный подход возможен и при анализе установившегося движения машины с упругими звеньями в передаточном механизме, механическая часть которой представлена на рис. 19. Дополняя уравнения движения (3.40) (для общности число масс в дальнейшем предполагается равным га + 1) характеристикой двигателя (4.42), получим полную систему уравнений движения неуправляемой махпины. Предполагая, что установившееся движение выходного звена двигателя будет мало отличаться от режима равномерного вращения, [c.86]

Составим линеаризованные уравнения движения системы стабилизации. Центробежный регулятор будем считать идеальным, т. е. будем иренебрегать влиянием его массы и сил сопротивления, возникающих в регуляторе. В этом случае смещение регулятора Z от положения, соответствующего номинальной угловой скорости, моншо считать пропорциональным ошибке (при общепринятых предположениях о малости отклонений) [c.113]

Правомерность такой линеаризации проверялась моделированием, которое показало, что решение линеаризованной системы в отклонениях является межорантным по отношению к такому же решению нелинейной системы. Это позволяет судить об устойчивости движения, описываемого системой уравнений (П), по устойчивости решения линеаризованного уравнения в отклонениях. [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...