Система уравнений линеаризованная

Решение линеаризованной системы уравнений Навье—Стокса для такой конфигурации имеет вид [108] [c.300]

Решение подобной системы уравнений возможно итерационными методами, наиболее распространенным из которых является метод Ньютона (см. книгу 5). Алгоритм метода Ньютона предусматривает многократное решение линеаризованной системы уравнений [c.115]

Система уравнений (7.81) представляет собой линеаризованные уравнения движения неуправляемого велосипеда с жесткими колесами. [c.212]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Заметим, что в линеаризованном случае связь тензора напряжений с тензором деформаций обычно не содержит плотности р, следовательно, если такая связь построена, то система уравнений (1.156) — (1.157) станет замкнутой, а уравнение неразрывности в этом случае служит для определения изменения плотности по известному из решения системы (1.156)—(1.157) вектору и х, t). [c.33]

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Система с конечным числом степеней свободы. Линеаризованная система уравнений равновесия для механической системы с п = к степенями свободы ), находящейся под действием [c.325]

Итак определение критической силы для системы с несколькими степенями свободы сводится к математической задаче об определении наименьшего собственного числа матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия механической системы в отклоненном от ее первоначальной формы положении. Сформулированное положение является статическим критерием устойчивости. [c.327]

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то равновесие нелинейной системы устойчиво. [c.433]

Если вещественная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения линеаризованной системы положительна, то равновесие нелинейной системы неустойчиво. [c.433]

В случае, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы встречаются чисто мнимые, тогда как остальные имеют отрицательные вещественные части, равновесие истинной нелинейной системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и для решения вопроса об устойчивости уравнений первого приближения недостаточно. [c.433]

Рассмотрим упругую систему с двумя степенями свободы, нагруженную одновременно силами Р и Р , (рис. 1.20, а). Условия равновесия стержней в положении, отклоненном от исходного, приводят к системе двух линеаризованных уравнений [c.31]

Сравнивая полученную систему линеаризованных уравнений с системой уравнений (6.1) линейной задачи изгиба кольца, видим, что эти системы уравнений будут формально совпадать, если в (6.1) положить <7 = О, m = О, а в (6.8) ввести фиктивную поперечную нагрузку qt = 0). Поэтому, минуя промежуточные выкладки, по аналогии с уравнениями (6.5) и (6.6) можно записать линеаризованное уравнение задач устойчивости кольца [c.225]

Системы уравнений (8.18) или (8.19) включают как силовые, так и геометрические неизвестные. Поэтому для решения задачи необходимы зависимости между дополнительными силами и дополнительными деформациями. Такие линеаризованные зависимости в общем случае орТотропной оболочки имеют форму [c.377]

Далее можно утверждать, что периодическое решение системы дифференциальных уравнений (18.7) совпадает с периодическим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата (16.21), что следует из теоремы единственности. При этом периодическое решение системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата получается из общего решения линеаризованной системы, если принять за начальные данные векторы Yo, 7oi определяемые из вектора где Хо — решение системы уравнения (19.27) при помощи зависимостей (19.19). [c.130]

При построении решения линеаризованной системы уравнений типа (18.7) необходимо рассматривать систему [c.142]

В соответствии с изложенным в п. 19 и 22 при построении периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата (16.21) с помощью алгоритма IV на каждом шаге приходится отыскивать периодическое решение линеаризованной системы уравнений (18.7), причем [c.152]

Очевидно, что периодические решения системы уравнений (16.21) устойчивы, если устойчивы решения (f) линеаризованной системы (18.7) при достаточно большом к. В свою очередь, решения системы уравнений (18.7) на к-и шаге устойчивы, как это следует из уравнений (26.12) (26.15), если собственные значения матрицы и [к] имеют [c.156]

Элементы 5 ,-/ матрицы S называются импульсными функциями системы и описывают поведение i-й сосредоточенной массы при нулевых начальных условиях ф (0) = ф (0) = О и при воздействии на /-ю массу единичного импульса [58]. При использовании выражения (6.6) требование непрерывности и дифференцируемости вектор-функции / (t) при > О не является обязательным. Уравнение (6.6) формально позволяет решить задачу о вынужденных колебаниях механической системы с линеаризованными упруго-диссипативными характеристиками при действии на нее практически любых встречающихся возмущающих сил. Интеграл (6.6), называемый интегралом Дюамеля, может быть вычислен в общем случае одним из приближенных методов интегрирования. [c.166]

Для интервала времени пТ t <С п + ) Т (где Т = 2n/v — период переключения обмоток ШД) линеаризованная система уравнений может быть записана в виде [c.186]

Линеаризованная система уравнений динамики газа и рабочей среды, записанная для отклонений, имеет вид [c.76]

При частотном подходе, как указывалось выше, решение уравнений динамики теплообменника достаточно провести в области изображений по Лапласу. Применяя преобразование Лапласа по времени к линеаризованной системе уравнений в частных производных (7-14) — (7-20), при нулевых начальных условиях для отклонений получим систему обыкновенных дифференциальных уравне- [c.101]

С учетом изменения знак сигнала после реле и обозначений, принятых на рис. VI. 1, уравнение линеаризованной системы запишется [c.229]

После преобразований имеем уравнение линеаризованной замкнутой системы [c.229]

Для дальнейшего анализа нестационарных процессов удобнее иметь аналитическое решение. Однако получить аналитическое решение возможно лишь при определенных упрощениях. Последние должны быть столь минимальны, чтобы не искажать результаты решения. Для данного случая наиболее общепринятым методом минимальных упрощений является линеаризация исходной системы уравнений. Для линеаризованной системы приходится ограничивать область применимости полученных решений, о чем будет сказано в соответствующих мес- [c.81]

С целью анализа устойчивости и переходных процессов статического гидроусилителя с малым трением золотника в его расчетной зоне (h hm рв рт), в которой справедливы линейные зависимости между расходом и давлением и не достигаются ограничения хода заслонки, нелинейное уравнение гидроусилителя может быть линеаризовано с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Линеаризация уравнения движения гидроусилителя в первую очередь заключается в линеаризации зависимости Qg = f h рд). Эта линеаризация осуществляется разложением системы уравнений (6.53) в ряд Тейлора и получением после принятых допущений линеаризованной зависимости в виде уравнения (6.57) [c.424]

Линеаризованная система уравнений, описываюш,ая рассматриваемый исполнительный механизм (рис. 1), может быть представлена в виде [c.189]

Добавляя к системе уравнений (10) уравнения расходов (6) и (5), получаем линеаризованную систему уравнений, описывающую движение исполнительного механизма [c.197]

Система уравнений (4-14) — (4-16) является нелинейной. Линеаризованные уравнения материального и энер- [c.81]

Формулировка в 6.6 системы уравнений, линеаризованных относительно типичной однодоменной ферромагнитной фазы, вводит читателя в круг исследований взаимосвязанных магнитоупругих волн в непроводящих ферромагнетиках. Эффекты магнитоакустического резонанса, магнитоакустический эффект Фарадея и явление затухания магнитоупругих волн в упругих ферромагнетиках рассматриваются в 6.7—6.9 соответственно. Эти эффекты исследуются аналитически, в качестве иллюстраций приведены также графики, полученные численно. Они привлекают особенно большое внимание с точки зрения приложений в технике к таковым относятся сверхзвуковые генераторы, высокочастотные магнитострикционные преобразователи, усиление волн при помощи нелинейных взаимодействий, разработка волновых фильтров и линий задержки, анализ и синтез внутреннего магнитного поля и т. д. Еще более удивительно и загадочно поведение соответствующих поверхностных магнитоакустических волн, демонстрирующих отсутствие взаимности при распространении вдоль двух противоположных направлений ( 6.10 и 6.11), а также возможность представления движущихся ферромагнитных стенок в многодоменном упругом кристалле магнитоакустическими солитонными волнами ( 6.12 и 6.13). [c.334]

Алгебраизованиая и линеаризованная система уравнений гидромеханической системы, граф которой изображен на рис. 3.4, имеет вид, показанный далее (с. 126—127). [c.125]

Тогда алгебраизованная и линеаризованная система уравнений приобретает вид [c.130]

Поскольку ограничение на шаг й., получено для линеаризованной системы уравнений, то в случае онисанной разностной схемы для системы уравнений (7) значения Ах1 и уменьшаются путем умножения на некоторый коэффициент е < 1, обычно называемый коэффициентом запаса устойчивости. [c.286]

Эта система двух уравнений в частных производных содержит две искомые функции и х, у), v (х, у), для решения которой необходимо поставить соответствующие постановке конкретной задачи краевые условия. Такой путь решения называется реишнием в перемещениях. Другой путь решения, когда искомыми являются усилия Nx, Ny, Nxtj, называется решением в усилиях и состоит в следующем. Два уравнения равновесия (17.23) содержат три искомые функции Nx, Ny, Nxy, поэтому система уравнений (17.23) дополняется еще одним — уравнением совместности деформации. Исключим из линеаризованных выражений для деформации (16.14) функ- [c.411]

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме, устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге. [c.4]

Устойчивость установившихся режимов работы привода определяется видом характеристического уравнения линеаризованной системы (9). Спектр собственных частот системы зависит от упруго-массовых параметров привода и от параметров МВН — его жесткости, массы и передаточного отношения рычажной системы. Для оценки влияния каждого из этих факторов использовался численный метод решения с последовательной вариацией конструктивно реализуемых параметров МВН. Установлено, что, изменяя параметры МВН, можно управлять спектром собственных частот привода, смещая последние из опасных резонансных зон. Идеальный безмассовый МВН с абсолютно жесткими связями играет роль безынерционной следящей системы и не влияет на собственные частоты привода. Все корни xapaKTepn TH4e Kofo определителя в исследованном диапазоне изменения параметров МВН являются действительными положительными числами. Значит, в рамках принятых допущений о малости отклонений система привода с МВН устойчива. Вопрос об устойчивости больших отклонений решался путем моделирования неустановившихся режимов работы приводов на АВМ. [c.108]

Правомерность такой линеаризации проверялась моделированием, которое показало, что решение линеаризованной системы в отклонениях является межорантным по отношению к такому же решению нелинейной системы. Это позволяет судить об устойчивости движения, описываемого системой уравнений (П), по устойчивости решения линеаризованного уравнения в отклонениях. [c.186]

Тогда линеаризованная система уравнений (6.101) примет вид Ф1 - - 2с1ф1 -(- (ti>i 4" di) ф1 - - 1ф2 - -+ Im /i (t) — Ц2/2 (t) — 1 1/2 (/)] ф1 — (i) ф2 = — aoi Ф2 [c.269]

Для нелинейной преобразующей системы принцип суперпозиции неприменим, и, следовательно, написать систему уравнений вида (9.1) нельзя. Однако во многих случаях в достаточно узких пределах изменения входных и выходных переменных допустима с большей или меньшей степенью точности линеаризация преобразующей системы, сводящаяся к замене нелинейных уравнений линейными. Линеаризованные математические зависимости, аналогичные системе уравнений (9.1), могут быть получены следующим образом. [c.261]

Нестационарные теплогидродинамические процессы в обогреваемых трубах различных агрегатов описываются дифференциальными уравнениями в частных производных изменения количества движения, неразрывности, энергии, теплового баланса стенки, состояния, теплопередачи и замыкающими зависимостями (см. 3-1). Для возможности решения такой системы все уравнения были линеаризованы методом малых возмущений. В результате линеаризованная система уравнений (для одинаково обогреваемых и гидравлически идентичных труб) записывается в виде [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...