Комплексные числа и их обобщения

Вспомним сначала некоторые элементарные понятия функционального анализа ). Функционал F [i ) (у)] является функцией от функции г] (у). Другими словами, каждой функции г] (у) (внутри определенной области, например, всем непрерывным функциям от I/ в интервале О у функционал ставит в соответствие вещественное (или комплексное) число. Правила вычислений с функционалами представляют собой обобщение правил обычного анализа. Чтобы понять зто обобщение, можно предста- [c.274]

Комплексные числа и их обобщения [c.50]

Понятие сопряженности, а также модуля и аргумента, можно распространить на обобщенные системы комплексных чисел. Именно, условимся в общем случае, когда произведение определяется формулой (1), называть сопряженным к комплексному числу z = х iy число 2 = л + i/— iy- Тогда произведение [c.54]

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ [c.55]

ВОЗМОЖНО также, что функция e(t) = e t, а, к) определяется модулем к прямоугольника К и комплексным числом а. Будем считать это предположение частным случаем следующего обобщения теоремы 3. [c.152]

В шредингеровском представлении волновые функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В тр же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем л, описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по X и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах. [c.229]

Как в так и в 25 можно определить то, что понимается под сходимостью последовательности Тп обобщенных функций к обобщенной функции Г Г -> Г, если для любой основной функции / Тп (/) -> Т (/) как комплексные числа. Конечно, понятия сходимости не совпадают, так как основные функции различны. Вот типичный пример сходимости обобщенных функций, встречающийся на практике. Допустим, что для каждого и т — некоторое непрерывное отображение основных функций в основные функции, причем т (/)->т(/) для любой основной функции /, где X (/) — какое-то другое непрерывное отображение основных функций в самих себя. Тогда полагаем для фиксированной обобщенной функции F Тп (/) = V[xn (/) ] и г (/) = Ят (/) ]. Тогда Тп Т. , [c.57]

Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответствовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновременно. При согласованном случае остается А- = пш с п, являющимся наибольшим собственным значением А, и отношение согласованности а к = ац,/а1 также остается в силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое комплексное возмущение в п, в результате чего получим — комплексное число, и, конечно, решение в общем случае б> ет комплексным. Нормализация к единице прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение евклидовой нормы (а1, ао) =а[- -1а-2, которая будет (01 + 02) . Обобщение может быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида [c.86]

Левая часть (21.39) представляет собой безразмерную искомую температуру [где характерная температура i>o = r V(2X)], в правую входит независимая переменная в форме безразмерной координаты х/1 и комплексный параметр в форме числа Био. Таким образом, (21.39) представляет собой конкретную обобщенную зависимость вида (20,11) [c.212]

Гиперкомплексные числа представляют собой дальнейшее обобщение комплексных чисел, отличающееся введением уже не одной, а нескольких комплексных единиц, обладающих одинаковыми свойствами. Общий вид гиперкомплексного числа [1151 [c.9]

К числу наиболее важных вопросов дальнейшего развития ГАП следует отнести повышение контролепригодности оборудования и разработку комплексных методов ТД, предусматривающих анализ и обобщение диагностической информации на всех уровнях системы управления производством. [c.218]

Оценка влияния принятых допущений осуществляется или экспериментальным путем, или численными методами. Обобщение экспериментальных и расчетных данных и перенос их на аналогичные явления оказываются более простыми при переходе от обычных физических величин к величинам комплексного типа, составленным определенным образом и зависящим от природы процесса. В этом случае уменьшается число переменных и более отчетливо выступают внутренние связи, характеризующие явление в целом. Такую замену обычных переменных обобщенными проводят на основе теории подобия и анализа размерностей. Одной из основных задач теории подобия является установление правил, по которым можно производить обобщение и распространять результаты опытов, проведенных в одних условиях, на другие, а также определение границ применимости этих обобщений. Очевидно, что для анализа процессов в двухфазных средах с их чрезвычайно сложным характером теория подобия является очень важным инструментом. [c.58]

Рассмотрим подробнее влияние некоторых из этих факторов на следующем примере [771. Пусть решетка, находящаяся на расстоянии hj от диэлектрического слоя (рис. 23), возбуждается плоской -поляризованной волной. Режим рассеяния характеризуется вектором Л , М , где N— число гармоник, распространяющихся в свободном пространстве, постоянные распространения которых не совпадают. В режиме 1,2 методом обобщенных матриц рассеяния без учета высших нераспространяющихся в диэлектрическом слое волн можно получить простые представления для комплексных амплитуд q и Ь . Их анализ показывает, что только при наличии связи между решеткой и слоем на высших нераспространяющихся [c.59]

Выражение (1.1.30) является естественным обобщением (1.1.1) и в отличие от последнего, где ва не зависело от времени, появившееся здесь 8а(О представляет собой узкополосный случайный процесс. При большом числе мод процесс (1.1.30) является нормальным. Это означает, что и комплексная амплитуда ва(0 также распределена по нормальному закону. Ее среднее значение равно нулю, а время корреляции может ыть оценено по формуле [2] [c.17]

Вопросы горения, играющие большую роль в процессах двигателей, относятся к числу наиболее сложных смежных научных областей химии, газодинамики, теплотехники, акустики и др. Комплексный характер проблем горения, охватывающих различные по своей природе явления, представляет особые трудности как для математических обобщений, так и для экспериментальных исследований. [c.370]

Комплексный метод оценки уровня качества применяется в тех случаях, когда для обоснования рекомендаций по принимаемым решениям целесообразно охарактеризовать уровень качества продукции показателем, который выражается одним числом. Такой показатель называется обобщенным, а оценка уровня качества — комплексной. [c.66]

Однако сама по себе задача нахождения представляет достаточную сложность [17], поскольку в данном случае Ру не может быть выражен с помощью категорий больше или лучше , а должен характеризоваться одним числом — действительным значением обобщенного комплексного показателя качества продукции. [c.96]

Таким образом, сущность оценки уровня качества изделий заключается в выборе номенклатуры и установлении численных значений показателей качества, а также значений базовых и относительных показателей. При установлении численного значения обобщенного показателя необходимо учитывать коэффициенты весомости, т. е. количественную характеристику данного показателя среди других показателей, входящих в обобщенный показатель. При этом совокупность свойств изделий, оцениваемая о эб-щепным показателем, может характеризоваться единичными и комплексными или только комплексными, в том числе и интегральными показателями качеств изделий. Выбор номенклатуры показателей качеств, в том чи"сле и численных значений базовых показателей, зависит от цели оценки уровня качества и должен -быть достаточным для этой цели. На разных уровнях управления качеством изделий применяются различные обобщенные показатели. Так, например. Ярославский моторный завод оценку уровня качества двигателей осуществляет ко следующей формуле [72] [c.145]

В этом случае все критерии подобия являются безразмерными параметрами, а обобщенные переменные комплексного типа — числами. [c.38]

Функция обеспечивает особенно простое описание поля, содержащего много независимо возбужденных типов колебаний (мод). Поскольку в этом случае полная амплитуда поля % есть сумма большого числа независимо распределенных комплексных амплитуд, пропорциональных а , распределение амплитуды % будет соответствовать распределению конечных точек траекторий случайных блужданий в комплексной плоскости. Независимо от индивидуального распределения амплитуд в каждой моде это распределение принимает гауссову форму, когда число типов колебаний, дающих вклад, велико. С математической точки зрения, это утверждение едва ли отличается от теоремы о предельном значении, обсуждаемой в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, т. е. равенство (14.44) становится по своей структуре подобным равенству (С8.1), когда функцию Р ( а ) можно представить в виде произведения Рд (а ). В порядке обобщения мы можем считать возбуждения [c.143]

Уравнение й-й степени. Если степень уравнения больше четырех, то число условий устойчивости становится больше. Установим очень простое правило, на основании которого эти условия можно получить сразу в явном виде. Кроме того, будет дано обобщение этого правила, позволяющее определить число корней, вещественных и комплексных, с положительными вещественными частями. Если таких корней нет, то условия устойчивости выполняются. Также находится число корней с равными нулю вещественными частями. [c.252]

К настоящему времени в отечественной и зарубежной научной литературе но износостойкости накоплен уже достаточно богатый экспериментальный материал, интересные и оригинальные научные разработки, которые могут служить базой для первых обобщений, и, по нашему мнению, могут быть полезными для специалистов, занимающихся как практическими, так и теоретическими проблемами износостойкости. Методология решения задачи износостойкости и прогнозирования ресурса износостойкости остается в сфере компетентности высококвалифицированных специалистов, работающих в этой предметной области, включающей сложную взаимосвязь различных факторов и явлений, учитываемых нри постановке и решении такой задачи. Анализ большого числа работ в области износостойкости деталей машин показывает, что добытая авторами этих работ информация не является однозначно определенной, а вводимые критерии и ограничения могут быть точно не определены. Таким образом, необходима разработка четкого методического подхода к созданию модели оценки износостойкости на основе формализации некоторой базы накопленных знаний, позволяющих преодолеть барьер при обобщении знаний об износостойкости конкретных материалов в оговоренных условиях абразивного изнашивания. Проработка предлагаемого подхода к изучению износостойкости возможна нри комплексном системном подходе, включающего изучение общей трибосистемы по схеме материал - условия изнашивания - изнашивающая среда. [c.2]

Приведем результаты численного исследования [30] строения спектров матриц С,. .., G. Результаты получены путем численного решения на ЭВМ БЭСМ-6 полной проблемы собственных значений для этих матриц с использованием обобщенного метода вращений [83]. Выяснилось, что собственные значения 4x4 матрицы Е — комплексные числа [c.196]

При комплексном методе оценки уровня качества продукции рассчитываются обобщенные показатели уровня качества и уровень качества продукции оценивается одним числом (комш[ексным показателем). [c.169]

Ранее нами при построении и анализе диаграммы усталости было проведено комплексное исследование ряда физико- механических свойств стали 36Г2С [2]. С учетом развития этой диаграммы и накопления новых экспериментальных данных с применением феррозондо-вого метода контроля по характеру приращения амплитуды сигнала эдс второй гармоники построена обобщенная диаграмма усталости, в которой весь процесс в зависимости от числа циклов нагружения разбит на несколько стадий усталости линиями одинаковой энергоемкости (структурной повреждаемости). Эти линии построены по характерным точкам перегиба кривых приращения амплитуды сигнала с феррозондового преобразователя и могут быть использованы для анализа состояния объекта контроля, подверженного усталости при различных уровнях приложенного напряжения испытания. Характер кривых позволяет разделить их на шесть стадий усталости [c.109]

Общая для всего мира тенденция улучшения рабочих параметров ГТД за счет увеличения степеней сжатия как следствие приводит к появлению большого числа коротких лопаток с собственными частотами колебаний даже по первой форме в области высоких звуковых частот циклов. Увеличение частоты / при данном ресурсе эксплуатации Тэ автоматически приводит к росту циклической наработки N. Поскольку ресурс Тэ также имеет тенденцию к росту, увеличивается относительное число усталостных повреждений среди возможных нарушений работоспособности деталей ГТД. Стала актуальной проблема оптимизации технологии коротких лопаток и связанных с ними элементов дисков по характеристикам сопротивления усталости на высоких звуковых частотах и эксплуатационных температурах, которые, как и частота нагружения, становятся все более высокими. Из-за жестких требований к весу деталей и сложности их конструкции в каждой из них имеет место около десятка примерно равноопасных зон, включающих различные по форме поверхности и концентраторы напряжений гладкие участки клиновидной формы, елочные пазы, тонкие скругленные кромки, га.лтели переходные поверхности), ребра охлаждения, малые отверстия, резьба и др. Даже при одинаковых методах изготовления, например при отливке лопаток, поля механических свойств, остаточных напряжений, структуры и других параметров физико-химического состояния поверхностного слоя в них получаются различными. К этому следует добавить, что из-за различий в форме обрабатывать их приходится разными методами. Комплексная оптимизация технологии изготовления таких деталей по характеристикам сопротивления усталости сразу всех равноопасных зон без использования ЭВМ невозможна. Поэтому была разработана система методик, рабочих алгоритмов и программ [1], которые за счет применения ЭВМ позволяют на несколько порядков сократить число технологических испытаний на усталость, необходимых для отыскания области оптимума методов изготовления деталей, а главное строить математические модели зависимости показателей прочности и долговечности типовых опасных зон деталей от обобщенных технологических факторов для определенных классов операций с общим механизмом процессов в поверхностном слое. Накапливая в магнитной памяти ЭВМ эти модели, можно применять их для прогнозирования наивыгоднейших режимов обработки новых деталей, которые в авиадвигателестроении часто меняются без трудоемких испытаний на усталость. Построение [c.392]

Расчет ожидаемых показателей надежности АЛ и их компонентов (механизмов и устройств, инструмента, станков и участков) базируется исключительно на обобщении результатов испытаний на надежность аналогичных конструкций. При этом показатели долговечности оцениваются преимущественно по результатам стендовых испытаний, в том числе — ускоренных комплексные показатели, а также в основном показатели безотказности и восстанавливаемости — по результатам эксплуатационных исследований. Эти исследования регулярно проводятся ведущими проектно-конструкторскими организациями, их результаты сводятся в специальные таблицы [7]. В качестве примера в табл. 14при- [c.84]

Определим 5 как множество пар комплексных чисел (г,, г ) с условием )21р + 1г2[ = 1. Поставим в соответствие паре (21, 2а) число ш = 21/2 . Если 22 = О, то положим ш = со. Множество [и ] образует пополненную бесконечно удалённой точкой комплексную плоскость Сиоо 5 . Т. к. точки (г, г ) = (ехр(/ф)21, ехр(гср)22) и (21, 22) отображаются в одну и ту же точку ю, то слой Л = 51. С классич. расслоением Хопфа и его обобщениями связаны фундам. достижения в математике. Напр., доказано, что существование только четырёх алгебр с делением эквивалентно утверждению о существовании только четырёх главных Р. вида [c.284]

Перенос этих результатов на произвольные оболочки положительной кривизны связан с более существенными трудностями, которые можно преодолевать, например, при помощи теории обобщенных аналитических функций. В книге [19] показано, что можно построить обобщенные аналитические функции, являющиеся аналогом аналитических функций вида —У, где — произвольная комплексная константа, а k — целое, положительное или отрицательное число. Отсюда следует, что можно построить и аналог функции вида (16.27.2), с помощью которого при соответствующем подборе констант и должна решиться задача о действии произвольной системы сосредоточенных сил и моментов на оболочку, имеющую форму замкнутого овалоида. Однако в дальнейшие подробности мы не можем вдаваться, так как пока еще не дано эффективных примеров приложения теории обобщенных аналитических фудкций к решению задач безмоментной теории. [c.243]

Б. Определение и свойства обобщенных функций. Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами ср называется однозначное отображение f Ф R (или / Ф (7). Значение функционала на элементе ср будем записывать так (/, ср). Пусть Ф — липейпое пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов ср, ф Е Фи любого числа а выполняются равенства (/, ср + ф) = (/, ср) -ь (/, ф) и (/, аср) = a f, ср). Множество таких функционалов обозначим через Ф Если на нем обычным образом ввести операции сложения (/ - - g, ср) = (/, ср) + (g, ср) и умножения на число Л (Л/, ср) = Л(/, ср), то оно само образует липейпое пространство и называется сопряженным с Ф пространством. [c.359]

В недавно опубликованной статье Tifien [1] автор дает некоторые (довольно очевидные) обобщения приведенных теорем единственности, пользуясь тем же методом, но при несколько иных обозначениях. Используемые этим автором основные формуды и предложения, касаюпщеся комплексного представления решения, почему-то приписываются им Стевенсону, работы которого опубликованы гораздо позже, чем работы Г. В. Колосова и мои (в частности моя работа [И], на которую в числе прочих ссылается автор), где все эти результаты содержатся. То же относится и к статьям [2, 3] того же автора. [c.152]

Комплексный анализ климатических показателей температуры, влажности воздуха, озона, углекислого газа и других малых газовых составляющих (СО, СН4, ЫгО, N02 и N0), полученных в результате статистического обобщения различных аэрологических наблюдений, позволил не только наиболее полно и надежно выявить основные закономерности высотного распределения этих физических параметров в различных районах земного шара, но и решить важную проблему современной аэроклиматологии, а именно, проблему объективной классификации и статистического моделирования метеорологических полей в свободной атмосфере. Разработка подобной проблемы имеет большое научное значение, поскольку полученная при этом обобщенная информация может широко использоваться не только для малопараметрического описания аэрологических полей и построения теоретических моделей атмосферы, но и для решения многочисленных прикладных задач (в том числе и чисто метеорологического характера), где требуются малые по объему, глобальные и одновременно адекватные статистические данные о высотном распределении температуры и газовых компонент земной атмосферы. [c.9]

В [20], [69] можно найти обобщения теоремы на много-1лерный н на комплексный случаи, но доказательства принципиально не дают никакой явной оценки числа N. [c.116]

Можно показать, что для произвольного стационарного случайного )оцесса и (О также имеется спектральное разложение, являющееся посредственным обобщением разложения (11.1). Однако в общем гучае в формуле (11.1) надо перейти к пределу при п- -со, до-f THB, что частоты oj,. ... ti> могут неограниченно сближаться и к. число на заданном интервале оси (о может оказаться бесконечным ю сумма комплексных амплитуд Z/ конечна). Обозначим сумму йплитуд Z , отвечающих частотам щ < (о, символом Z (со). Тогда (ю) будет комплексной случайной функцией, обладающей свойствами [c.9]

Анализ наиболее широко применяемых критериев эффективности обработки показал, что в той или иной мере каждый из них зависит от производительности формообразования. Вследствие увеличения производительности, например, автоматизированного оборудования можно получить (по разным данным) до 60-70% экономического эффекта (Михайлов А.Н., 1992). Это дает основание использовать производительность формообразования в качестве частного критерия эффективности и на примере его применения показать потенциальные возможности дифференциально-геометрического метода формообразования поверхностей при механической обработке деталей. Выбор такаго критерия эффективности оправдан также тем, что производительность формообразования является важным показателем эффективности процесса обработки сложных поверхностей деталей и эксплуатациии многокоординатных станков с ЧПУ. Она является результирующей обобщенной характеристикой интегрального воздействия инструмента на заготовку и определяет интенсивность функционирования формообразующей системы станка с ЧПУ (Решетов Д.Н., Портман В.Т., 1986). Полученные при этом результаты без принципиальных ограничений могут быть обобщены на случай применения иного аналитически описанного критерия эффективности, в том числе и комплексного. [c.432]

Уже длительное время ведутся работы по созданию новых типов полосно-пропускающих фильтров СВЧ, реализующих компромисс между габаритами и потерями в этом, по существу, и заключается проблема миниатюризации фильтров СВЧ. В процессе поиска предложены фильтры новых типов микрополосковые, диэлектрические, на запредельных волноводах и др. Фильтры этих,. типов многие авторы, как правило, снабжают комментариями, содержащими термины миниатюрность , малые потери , высо кая избирательность и др. Такие характеристики обычно реализуются при соответствующей полосе пропускания. В последние-годы стало очевидным, что оценку миниатюрности фильтров нельзя проводить на основе качественных критериев, так как при этом легко перейти из области научного поиска в область эмоций. Такая опасность требует оценивать качество фильтра СВЧ, в том числе и его миниатюрность, с помощью обобщенных критериев, содержащих взаимосвязанные количественные характеристики фильтра [1]. Использование таких комплексных критериев позволило сделать заключение, что среди фильтров различных типов действует своеобразный закон сохранения выигрыш в значении одного из параметров сопровождается проигрышем в. значении другого или даже других параметров фильтра. Такилс образом, были выявлены следующие закономерности [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...