Решение системы с переменными коэффициентами

Решение системы с переменными коэффициентами. Представим решение системы (4.5.8) в виде суммы линейно независимых решений задачи Коши с начальными условиями уг k ( i, 2, 0) = [c.75]

Из условий (26.20), (26.21) следует, что система с переменными коэффициентами имеет периодическое решение, если таковое имеет аппроксимирующая система. Последняя в соответствии с изложенным имеет периодическое решение, если матрица Н [к] обладает указанными выше свойствами. [c.156]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

От условий (8) для постоянных коэффициентов условия (27) отличаются по форме наличием членов, содержащих производные от Ац-, Вц-, Сц-. Решения нелинейных дифференциальных уравнений (27) относительно каких-либо 2п — 1 функций могут быть получены лишь приближенно. Поэтому в линейных системах с переменными коэффициентами абсолютная инвариантность, вообще говоря, достигнута быть не может. [c.18]

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найдем приближенное решение уравнений (1). Для этого в членах, содержащих произведения X OS 2nt и у os 2ni положим х равным Xi и соответственно у равным уг- Тогда каждое из уравнений системы (1) приобретает вид уравнений вынужденных линейных колебаний при отсутствии сил сопротивления [c.434]

Упругопластическому и вязкопластическому фиктивным телам соответствует бесконечная система алгебраических уравнений с переменными коэффициентами и свободными членами. Решение такой системы строится с помощью процедуры последовательных приближений, согласно которой первым (исходным) приближением считается решение соответствующей задачи для упругого тела или вязкой жидкости, т. е. известен тензор (Т< >) для рассматриваемой задачи. По известным компонентам тензора используя приведенные формулы, вычисляем [c.49]

Интегрирование расчетных уравнений моментной теории оболочек (6.24), (6.38), (6.40) представляет собой сложную математическую задачу, связанную с решением системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. [c.163]

Для некоторых типов теплообменников такой метод позволяет резко упростить вычислительный процесс, он очень удобен для определения движения границ начала и конца испарения. В том случае, когда коэффициенты уравнения энергии являются функциями температуры, метод разбиения линиями уровня позволяет перейти к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными, заранее заданными или вычисленными коэффициентами, в то время как метод прямых приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. [c.89]

Общие вопросы, связанные с построением приближенных решений системы неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и их обоснование см. т. I справочника, а также [54, 93, 111, 138, 139). [c.94]

Такова физическая сторона задачи. В математическом отношении неоднородность напряжений приводит к системе уравнений устойчивости с переменными коэффициентами. Получить точное аналитическое решение этих уравнений не представляется возможным. При решении задачи в рядах появляется нелинейность по отыскиваемому критическому напряжению. Нелинейность появляется и при учете моментности исходного состояния. Все эти трудности требуют новых подходов к решению задач, требуют разработки численных методов расчета и соответствующих машинных алгоритмов. [c.191]

Все сказанное относительно (14.12.3) относится и к системе (14.14.3) она составляется из уравнений с переменными коэффициентами, но для поверхности вращения второго порядка и для случая, когда меридиан представляет собой параболу вида (14.11.11), система (14.14.3) приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами. При п = О и = 1 решение системы (14.14.1) можно выразить через квадратуры. [c.208]

О (отсутствуют регулярные крутильные колебания системы). Тогда первое, второе, четвертое и пятое уравнения системы (101), т. е. уравнения, описывающие маятниковые колебания, становятся линейными с постоянными коэффициентами, и их точное решение не представляет трудностей. После этого третье уравнение системы (101) становится нелинейным уравнением с переменными коэффициентами, точное решение которого в аналитическом виде не удается найти. В данном случае оно не зависит от других уравнений системы, и его следует решать каким-либо приближенным методом. В общем случае такое расщепление системы (101) не имеет места, поэтому нахождение ее приближенного решения также представляет собой достаточно сложную задачу. Остроумный метод ее решения, основанный па условном расщеплении системы в сочетании с методом усреднения, предложил В К. Милюков [78]. Суть его состоит в следующем. Составим две подсистемы уравнений первое и четвертое уравнения системы (101) и второе и пятое уравнения. Эти подсистемы описывают маятниковые колебания весов в двух вертикальных плоскостях. После того как в результате решения этих подсистем найдены функции 0i(i)i 02(О, далее решается третье уравнение системы (101), которое описывает крутильные колебания. [c.83]

Система уравнений (1.32) является системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и не имеет аналитического решения. Уравнения системы (1. 33) по структуре совпадают с уравнениями системы (1.19) и также не имеют аналитического решения. [c.27]

Уравнение (или система уравнений) имеет переменные во времени коэффициенты, как например, уравнение (2.61). В этом случае при стационарной правой части решение уравнения будет нестационарным при любой длительности процесса. Примером нестационарного движения системы, которая описывается дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, является старт летательного аппарата (см. рис. В.2). [c.117]

Таким образом решение общей нестационарной задачи сводится к интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений стационарного обтекания тела и связанных между собой двух линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами для возмущений, находящихся в фазе с а и а, при соответствующих граничных условиях на теле и соотношениях на скачке уплотнения. В общем случае все три системы уравнений трехмерные. Если рассматривать медленные колебания ujL/Voo <-< 1), когда вели- [c.74]

Таким путем он пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами и решил это уравнение в предположении, что стержень имеет постоянное сечение, при помощи бесконечных рядов. Мы воспользуемся для решения того же вопроса вторым методом, обратимся к рассмотрению энергии системы и покажем на этой задаче, как, пользуясь этим методом, можно получать приближенные решения и увеличивать точность этих решений путем увеличения числа произвольных параметров, которыми определяется искривленная форма равновесия сжатого стержня. [c.285]

Отметим, что при нестационарном случайном возмущении функция распределения не может быть стационарной, а при стационарном возмущении функция распределения может быть и стационарной и нестационарной. Так, например, если мы рассматриваем движение системы при стационарном внешнем возмущении в стационарном установившемся режиме, не интересуясь переходным процессом, то функция распределения будет стационарной, а если рассматривается движение системы, начиная с какого-то момента времени, в котором она характеризуется определенными начальными условиями, то функция распределения будет нестационарной, но с течением времени, по мере затухания переходного процесса в системе, она будет стремиться к стационарной. Изучить переходный режим движения системы с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова затруднительно. В дальнейшем будет показано, что в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет уравнением в частных производных с переменными коэффициентами, для которых общих методов решения пока не существует. В дальнейшем будем предполагать, что внешнее возмущение стационарно и имеет нормальный закон распределения. [c.172]

Решение системы дифференциальных уравнений (15-50) с переменными коэффициентами сложно, и потому расчет ведется по средним значениям а и 6. Тогда входящие в них коэффициенты к, Ст я с усредняют по температурам на обоих концах поверхности нагрева [c.246]

Операционное исчисление в принципе возможно использовать и для решения дифференциальных уравнений с-переменными коэффициентами и нелинейных дифференциальных. Но на этом пути встречаются большие затруднения. Нелинейные задачи вследствие их сложности приходится решать приближенно. Приближенное же вычисление изображений и оригиналов по выражениям (46) и (47). очень затруднено, так как интегралы содержат бесконечные пределы. В результате операционное исчисление практи-ческ оказывается непригодным для расчета процессов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.89]

Методы решения интегрального уравнения контактной задачи для однородной полосы подробно рассматривались в [15, 27]. В случае непрерывно-неоднородной по глубине полосы возникают трудности при сведении задачи к интегральному уравнению, связанные с решением системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Этого можно избежать, рассматривая специальные виды неоднородности по глубине как, например, в [31]. В ряде работ использовался приближенный метод, основанный на замене непрерывно-неоднородного основания многослойным пакетом [23, 24]. [c.209]

Систему (6.23) линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами называют канонической. Она не эквивалентна системе (6.19), так как в процессе преобразования мы сократили (6.19) на якобиан Л( , т]), тем самым потеряв решения, обращающие якобиан в нуль. Из выражения [c.159]

Возмущенное движение описывается линейными уравнениями с переменными коэффициентами xi = Pik t)xk i = 1,п, где Pik t) = —Pki t) SI Рц —у < 0. Показать, что нулевое решение системы асимптотически устойчиво, используя функцию Ляпунова [c.285]

С математической стороны расчет оболочек сводится к решению системы уравнений в частных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами и малыми множителями при старших производных. Граничные условия (условия периодичности, конечности решения) содержат производные от искомых функций до третьего порядка включительно. В ряде случаев при помощи метода разделения переменных задачу удается свести к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений того же типа. [c.652]

Нетрудно распространить полученный результат на системы уравнений движения машинного агрегата с переменными (не кусочно-постоянными) коэффициентами. Действительно, по любому 8jfe> О можно построить аппроксимирующую систему с кусочно-постоянными коэффициентами, решение которой аппроксимирует решение системы с переменными коэффициентами в том смысле, что [c.156]

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73]

Численное интегрирование является важной частью метода конечных элементов, поскольку без него нельзя обойтись при решении задач с переменными коэффициентами и правыми частями, для которых точное вычисление интегралов не представляется возможным. В этом параграфе, как и раньше, предполагается, что замыкание области П является в точности объединением (1.11) ячеек со свойством (1.12). Тогда для вычисления коэффициентов алгебраической системы метода Бубнова — Галёркина используется кубатурная схема каждый элемент матрицы или правой части имеет вид [c.104]

Результаты, касающиеся устойчивости периодических решений системы уравнений движения (16.21), могут быть легко распространены на решения системы уравнений с переменными коэффициентами. В этом случае mojkho утвер- [c.156]

Решение этой сложной задачи требует комплексного подхода, сочетающего теоретическое и экспериментальное исследования, а также математическое моделирование. Вместе с тем удельный вес каждого из этих методов определяется спецификой рассматриваемой задачи. Возможности теоретического анализа здесь существенно ограничены отсутствием регулярных методов построения решений систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Экспериментальные исследования очень трудоемки и дорогостоящи, причем изготовление зубчатых колес с определенными наперед заданными отклонениями от идеальных размеров вряд ли возможно. Поэтому в основу решения задачи виброакустиче-ской диагностики должно быть положено математическое моделирование вибраций исследуемой системы с последующим сравнением результатов моделирования с результатами натурных экспериментов и уточнением параметров математической модели по аналогии с методикой, предложенной в [13]. [c.45]

Моделирование на АВМ. Исследование системы (2) осуществлялось на АВМ переменного тока типа А-110 (Anala -110). Выбор этой машины был обусловлен рядом преимуществ, которыми она обладает по сравнению с другими АВМ, и в первую очередь высокой точностью (0,01—0,1%) решения. К числу других достоинств следует отнести возможность решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, заданных в неявном виде (причем как с постоянными, так и с переменными коэффициентами), возможность решения алгебраических уравнений и определения всех корней (действительных и комплексных), а также одновременного перемножения до трех постоянных или переменных величин, что является существенным при исследовании системы (2). Кроме того, АВМ А-110 содержит высокоточный двухкоординатный регистрирующий прибор, предназначенный для записи результатов решения задачи, а также цифровой вольтметр, позволяющий с точностью до 1-10 выставлять постоянные коэффициенты и начальные условия и, кроме того, измерять значения переменных в контрольных точках. [c.9]

Рассмотрим в качестве примера панель, схема которой изображена на рис. 1.7, в предположении, что жесткость на растяжение-сжатие EjFj каждого /-го ребра изменяется по длине панели произвольным образом. Как отмечалось в разд. 1.3, расчет такой панели сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Точно решить такую систему в общем виде нельзя. Поэтому ниже дадим численный метод решения, основанный на замене системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях. Решение этой последней системы можно без труда получить, ориентируясь на численный расчет с использованием вычислительной машины. Основная функция машины заключается при этом в перемножении известных матриц, что мож1но сделать с помошью стандартной программы. [c.57]

Существенные осложнения возникают в тех случаях, когда движение в расчетной схеме механизма описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Это имеет место при учете зазоров в системе, при рассмотрении разветвленных схем, при учете одновременной работы нескольких механизмов и т. п. Дело в том, что большинство уравнений этого вида не имеют общего решения и, кроме того, нелинейность исключаег возможность сложения общих и частных решений. В этих случаях, так же как и при линейных уравнениях с переменными коэффициентами, используются приближенные методы [4, 13] или наиболее универсальный имитационный метод определения на грузок, [c.112]

Задача имеет следующую особенность. Параметры, описывающие физико-механические и геометрические характеристики пластины, перфорированной системой отверстий, являются разрывньщи функциями координат. Вводится сплошная модель пластины, изгибная жесткость которой рассматривается как переменная функция координат. Переход к сплошной модели оказывается возможным благодаря применению импульсивных функций нулевого порядка. Поведение такой модели пластины с отверстиями изучается на основе дифференциального уравнения равновесия в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами для пластин с неоднородной жесткостью. Решение уравнения находится с помощью метода Бубнова. Для критического усилия сдвига йолучено решение в замкнутом виде (в виде окончательной зависимости), позволяющее находить его числовые значения для различных вариантов пластин. Для осуществления процедуры вычисления критического усилия сдвига на ЭВМ при различных форме выреза, числе вырезов и положении центра отверстий разработана программа. [c.297]

Однако отыскание таких резонансных воздействий даже для линейных систем (с переменными коэффициентами) представляет трудности. Поэтому возможность обойти эти трудности при поиске резонансного решения системы представляется заманчивой. Обратимся к построению такого однородного дифференциального уравнения, решением которого является резонансное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим способ преобразования неоднородного диффереп-цнального уравнения в однородное. [c.106]

Основные трудности, возникающие при исследовании свободного движения твёрдого тела в атмосфере, связаны с изучением движения относительно центра масс, которое описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найти приближённые решения этих уравнений возможно только при использовании тех или иных допущений. [c.5]

Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности У, накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958). [c.43]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

А. Ю. Ишлинским был установлен следующий принципиальный факт уравнения малых движений гирогоризонткомпаса не разделяются, как у Геккелера, на две независимые подсистемы, а образуют единую систему четырех линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для случая, когда сила тяжести пренебрежимо мало отличается от силы притяжения, ему удалось получить в квадратурах решение этой системы при произвольном движении точки подвеса прибора по поверхности Земли. [c.248]

В правой части (3.152) при Ayi = (yi — yi i) О ш N оо соответствует мультипликативному интегралу Од g представляющему решение системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. При этом произведение (3.153) соответствует ставдартной аппроксимации мультипликативного интеграла при сведении решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к решению N систем с постоянными коэффициентами. [c.167]

Методы решения системы нелинейных с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений (11.2) и (11.3) в частных производных гиперболического типа можно условно разделить на две группы. К первой группе относят строгие методы интегрирования уравнений Сен-Веиана, реализуемые в основном с помощью ЭВМ. Ко второй группе относят упрощенные методы, основанные на каких-либо допущениях, реализуемые на аналоговых вычислительных машинах или путем ручного счета. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...