Временные корреляционные функции и функции Грина

Временные корреляционные функции и функции Грина. В предыдущем разделе мы видели, что основные соотношения теории линейной реакции записываются через временные корреляционные функции [c.345]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Установленные выше свойства симметрии почти тривиальны. Обратимся теперь к менее очевидной симметрии корреляционных функций и функций Грина, связанной с операцией обращения времени. Пока будем считать, что магнитное поле отсутствует. Тогда, согласно выводам из раздела 1.1.4, система обладает симметрией относительно обращения времени, если выполняются равенства [c.362]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-равновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное суммирование. [c.8]

Покажем теперь, что коэффициенты переноса — величины, имеющие решающее значение в линейной неравновесной термодинамике,— совершенно естественным образом выражаются через временные корреляционные функции. Связь между коэффициентами переноса и временными корреляционными функциями была впервые обнаружена М. Грином в начале 50-х годов ), и независимо от него безукоризненно строгим методом была получена Кубо в 1957 г. [c.314]

Соотношение (6.2.14) играет важную роль при изучении частично-равновесных ансамблей, так как в этих ансамблях временная эволюция динамических переменных и термодинамические корреляции фактически описываются одним и тем же эффективным гамильтонианом 7/. Как мы увидим ниже, это обстоятельство дает возможность вычислять временные корреляционные функции, а также связанные с ними обобщенные восприимчивости и кинетические коэффициенты, применяя технику термодинамических функций Грина, изложенную в предыдущем параграфе. [c.31]

Многие величины в неравновесной статистической механике, например, кинетические коэффициенты в уравнениях переноса и ядра в основных кинетических уравнениях, выражаются через временные корреляционные функции с приведенным оператором эволюции, который содержит проектирование. Если взаимодействие является слабым или мал параметр плотности, такие корреляционные функции можно вычислить, применяя теорию возмущений (см., например, главу 7). Однако во многих физически интересных случаях нельзя ограничиться несколькими членами ряда теории возмущений, поэтому необходим метод, позволяющий проводить суммирование бесконечных последовательностей главных членов. Для корреляционных функций с приведенным оператором эволюции пока не удалось разработать метод такого суммирования, аналогичный диаграммной технике для функций Грина. [c.283]

В 2 мы видели, что как обычные средние по ансамблю, так и временные корреляционные функции для двух произвольных динамических переменных непосредственно выражаются через соответствующую спектральную функцию J [см. (2.6) — (2.9)]. Таким образом, задача о вычислении названных величин сводится к нахождению фурье-образов соответствующих функций Грина. В ряде случаев этот путь оказывается более удобным, чем непосредственное решение цепочки уравнений для последовательности операторов р1, рд,. .. [c.32]

Начнем с того, что найдем связь равновесных кинетических коэффициентов (6.2.43) с термодинамическими функциями Грина. Как и в случае с обобщенной восприимчивостью, удобно воспользоваться спектральным представлением для равновесных временных корреляционных функций, которое было получено в разделе 5.2.1 первого тома [c.36]

До сих пор основным объектом изучения были термодинамические функции Грина, которые зависели от переменной ж, аналогичной, в некотором смысле, мнимому времени . Мы видели, что иногда по этим функциям можно восстановить запаздывающие функции Грина и корреляционные функции, зависящие от реального времени и непосредственно связанные с восприимчивостями и кинетическими коэффициентами. Основная причина, по которой приходится использовать такой обходной путь , состоит в том, что для вычисления запаздывающих функций Грина и временных корреляционных функций не существует диаграммной техники, подобной технике для [c.40]

Многочастичные временные функции Грина и корреляционные функции вводятся аналогичным образом. Нанример, 5-частичная причинная функция Грина определяется как [c.43]

Задавая значения аргументов на различных ветвях контура (7, из этой компактной формулы легко получить все возможные 5-частичные временные функции Грина и корреляционные функции, число которых быстро растет с ростом s. [c.45]

Граничные условия для временных функций Грина. Метод временных функций Грина с успехом применялся и применяется до сих пор во многих задачах квантовой кинетики. Одним из его главных достоинств является то, что в нем естественным образом удается ввести понятие квазичастиц, для которых закон дисперсии связан с массовым оператором соотношением (6.3.77). Привлекательной чертой этого метода является также возможность применения диаграммной техники, позволяющей выполнять суммирование рядов теории возмущений в наглядной графической форме. И все же метод функций Грина в существующем виде нельзя рассматривать как универсальный метод в квантовой кинетике. Кроме проблемы построения корреляционных функций по функции Вигнера, о которой речь шла выше, метод функций Грина плохо приспособлен для описания многочастичных корреляционных эффектов. Этот недостаток и возможные пути его устранения мы обсудим в данном разделе. [c.58]

Как и в обычном методе временных функций Грина, уравнение Дайсона можно формально получить из уравнения движения для G(l,l ). Явный вид уравнений движения зависит от гамильтониана взаимодействия Я и корреляционной части оператора энтропии S. Для определенности будем считать, что Н описывает парное взаимодействие между частицами и дается вторым членом в формуле (6.3.15), а S возьмем в виде (6.4.5). Тогда на контуре Келдыша-Швингера операторы поля частиц удовлетворяют уравнениям (6.3.24) и (6.3.25). Аналогичные уравнения на участке записываются как [c.67]

Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важных различий между гидродинамическими кинетическими коэффициентами и их обобщением, используемым в теории флуктуаций. Прежде всего отметим, что проекционный оператор Qa исключает из потоков все вклады флуктуационных гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки, которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведенным оператором Лиувилля L = а в обычных формулах Грина-Кубо оператор эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гидродинамических флуктуаций. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с распределением которое описывает состояние с фиксированными ( замороженными ) гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют собой затравочные кинетические коэффициенты, учитывающие вклад только микроскопических корреляций ). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуаций. Отметим также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных а (г) через распределение Следовательно, они сами являются флуктуирующими величинами. [c.227]

Преобразование Фурье по координатам уравнения (2.293) определяет пространственный и временной спектр флуктуаций поля деформаций. Двухчастичный корреляционный оператор 1,2 в (2.292) описывает некогерентное рассеяние на хаотических неоднородностях тензора модулей упругости трещиноватой среды, а одночастичные усредненные функции Грина и 0 в (2.292) описывают проходящие, отраженные и преломленные на регулярных неоднородностях среды пучки. [c.101]

Соотношения взаимности для кинетических коэффициентов были впервые получены Опсагером [133]. Он исходил из гипотезы, что затухание равновесных флуктуаций происходит так же, как и релаксация неравновесных средних значений, и использовал инвариантность уравнений движения частиц относительно обращения времени и магнитного поля ). Соотношения Онсагера играют исключительно важную роль в теории необратимых процессов. На них фактически основана вся неравновесная термодинамика (см., например, [70]). Как мы видели, в статистической механике эти соотношения выводятся из свойств симметрии корреляционных функций и функций Грина. [c.365]

Пусть неравновесное состояние системы описывается средними значениями Фурье-компонент Ркт эрмитовых динамических переменных Prn(i ), обладающих определенной четностью при обращении времени. Исходя из соотношений (5.2.48), вывести все свойства симметрии восприимчивостей Xmn(k,a ) и кинетических коэффициентов теуг(к,о ), которые следуют из свойств симметрии корреляционных функций и функций Грина. [c.424]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Используя свойства симметрии (5.2.14), доказать, что временная корреляционная функция и запаздывающая (коммутаторная) функция Грина A(t) B(t ))Y — действительные функции, если операторы Л и Я эрмитовы. [c.424]

Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре функции (6.3.7) - (6.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, чтобы объединить функции (6.3.7) - (6.3.10) в одну матричную функцию Грина G(l,l ), определенную на контуре (7, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль оси времени от tQ до и возвращается в точку т. е. на второй ветви точка с меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим значением времени. Значение на контуре С берется таким, чтобы оно превышало значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функциях ). Введем теперь упорядочение операторов вдоль контура Келдыша-Швингера. На ветви оно совпадает с хронологическим упорядочением а на ветви С — с антихронологическим упорядочением Т . Иными словами, при Т -упорядочении операторы с временными аргументами, лежащими на ветви (7 , всегда располагаются слева от операторов с аргументами на ветви С . [c.44]

Как и раньше, верхний знак берется для фермионов, нижний — для бозонов. В причинной функции Грина символ означает обычное хронологическое упорядочение операторов, которое уже встречалось в предыдущих параграфах. В данном случае операторы располагаются справа налево в порядке возрастания времен. Для фермионов необходимо также учитывать, что при перестановке любой пары фермиевских операторов произведение меняет знак. В функции (6.3.8) символ означает анти-хронологическое упорядочение, при котором операторы располагаются справа налево в порядке убывания времен. Мы будем называть функцию антипричинной функцией Грина. Наконец, формулы (6.3.9) и (6.3.10) определяют временные корреляционные функции ). Функция д представляет особый интерес в кинетической теории, так как она непосредственно связана с одночастичной матрицей плотности [c.42]

Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных функций через функцию Вигнера / . В предыдущем разделе эта проблема была решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотношения (6.3.79) и (6.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы (6.3.64), легко также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности. [c.56]

Задача этого и следующего параграфов - переход от дифференциальньгх уравнений для поля деформаций й (дг) (или для любого другого поля) к интегральным уравнениям технически очень проста. Она решается с помощью выбора соответствующей функции Грина. К сожалению, этот выбор неоднозначен, и для решения этой проблемы в научной литературе привлекаются дополнительные и очень глубокие физические принципы (принцип причинности [27], принцип предельного поглощения [28], условия излучения Зоммерфельда [29] в теории дифракции, правила обхода Ландау [30] в теории бесстолкновительной плазмы, условия временного сглаживания волновой функции Геллманна-Гольдбергера в квантовой теории рассеяния [31], граничные условия Боголюбова [32] в кинетической теории газов). Мы покажем, что без всего этого можно обойтись, поскольку однозначный выбор функции Грина определяется заданным направлением времени, непрерывностью спектра возбуждений бесконечной среды, гладкостью корреляционных функций случайных неоднородностей и условием ослабления корреляций [33]. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...