Замечания в предыдущему решению

Результаты вычислений приведены на рис. 2—4. Начальные значения для каждого решения тоже указаны на рисунках. Как следует из этих рисунков, при ю, о < положение захвата наступает, когда начальное значение Zq координаты массы демпфера превосходит некоторое критическое значение, лежащее между 1,2 и 2,4 м в то же время при > я положение захвата возникает даже в тбм случае, если величина Zq меньше этого критического значения. Оказалось, что численное решение отчетливо согласуется с теоретическими замечаниями, сделанными в предыдущем разделе. Отметим, что движение спутника в поло- [c.34]

Как только это уравнение решено, находится из (9.15) и подставляется в (9.7) и (9.9). Уравнения (9.16), (9.7) и (9.9) можно решить методами, рассмотренными в предыдущих разделах. Заметим, что уравнение (9.16) не приводит к закону сохранения и похоже на (3.11). Так как, согласно (9.14), < 1, можно ожидать, что уравнение (9.16) имеет два дискретных вещественных собственных значения вне интервала (—1, 1) (см. замечания в разд. 3). Действительно, если иф —1,1) то существует решение при условии, что [c.358]

Замечание 2. При решении первой и второй основных задач можно, конечно, исходить соответственно из формул (12) и (11) 125. Это особенно удобно в случае конечной области, ибо тогда искомая функция ф (С) однозначна. Но и в случае бесконечной области многозначность искомой функции легко устранить путем выделения логарифмического члена, подобно тому, как мы поступали в предыдущей главе. [c.471]

Замечание 2. При решении задачи можно (а иногда удобнее) исходить из более простых формул (И), (12) 125 (ср. замечание 2 в конце предыдущего параграфа). Не надо при этом упускать из виду, что, разыскивая функцию ф (С) по соответствующему граничному условию, мы должны потребовать, чтобы она оставалась ограниченной вблизи точек д, Рй, как это следует из условия, наложенного нами на функцию Ф (С). [c.474]

В частности, остается в силе замечание, сделанное в предыдущем отделе, относительно применимости решения для иных видов сечения, например для случая составной трубы. [c.544]

Разрешимость этих уравнений доказывается так же, как в 3. Решения уравнений (7.35), (7.36) определяют правые (заданные) части последующих интегральных уравнений, и дальнейшие рассуждения аналогичны тем, которые изложены в предыдущем параграфе. При этом исключаются те значения ш, для которых однородные задачи В и (Вг) имеют ненулевые решения это замечание, конечно, относится и к теореме 2 3. Задачи (С), а также статические задачи (Л), В) особого рассмотрения не требуют. [c.229]

В (3.1) оба первых члена являются суммами одночастичных операторов. Если бы, как указывалось в предыдущем замечании, можно было пренебречь (сильным) электрон-электронным взаимодействием, то решение было бы простым. Уравнение Шредингера Н = ЕФ в предположении, что [c.22]

Замечание. В рассмотренном примере (в отличие от примеров двух предыдущих параграфов) начало системы координат XYZ не совпадало с центром тяжести торцового сечения и было даже расположено вне профиля стержня. В задаче о кручении это допустимо, в чем можно убедиться, если внимательно проследить выкладки 6 и 7. В иих использовалось только предположение, что ось Z параллельна оси стержня, и не было необходимости в том, чтобы начало координат находилось в центре тяжести площади торца (ибо нигде не требовалось, чтобы были равны нулю статические моменты данной площади относительно координатных осей). Это позволяет при решении задач теории кручения выбирать как направления осей X, Y, так и положение начала координат, сообразуясь с удобствами выкладок, что и было с успехом применено в данном параграфе. [c.260]

Замечание, Если коэффициенты системы (1) не зависят от переменных и, то в предыдущих формулировках можно опустить слова на решении Ф . В этом случае характеристики определяются независимо от решения. [c.54]

Решение. Приведенный результат сразу следует из замечания, сделанного в начале 2 основного текста. Если воспользоваться формулой для (Дп) = (ДJV) , полученной в предыдущей задаче, то мы получим чисто термодинамическое соотношение [c.53]

Изложенную в пункте д) общую профамму действий можно применить и к кинетическому уравнению с релаксационным членом вместо интефала столкновений, которое при t > т может оказаться, как мы показали в п. г), вполне оправданным. Этим и объясняется его неожиданный на первый взгляд успех все гораздо проще, так как член столкновений не имеет интефальной структуры, и решение для tp получается элементарно. Мы воспользуемся этой возможностью в задачах 8. В связи со сказанным в предыдущем замечании следует отметить, однако, что элементарно осуществляющаяся в процедуре решения уравнения с релаксационным членом (с возможными его модификациями) вторая итерация по т, несмотря на ее заманчивость (нелинейные эффекты и т.д.), не имеет физического смысла, так как само это уравнение генетически связано с уравнением Больцмана и представляет как бы его частный вариант. [c.330]

Каноническое распределение наиболее часто используется в реальных приложениях статистической механики. Это объясняется двумя причинами во-первых, каноническое распределение описывает систему при постоянной температуре, а это условие наиболее легко осуществить в физических экспериментах во-вто-рых, каноническое распределение наиболее удобно для математических преобразований. Ряд основных свойств канонического распределения уже обсуждался в предыдущей главе, но мы снова перечислим их здесь, дополняя некоторыми замечаниями, в особенности относящимися к асимптотической оценке распределения для больших систем. Эти замечания важны для ясного понимания связи между термодинамикой и статистической механикой. Подобные же методы могут быть применены к другим обобщенным каноническим распределениям. Для решения задач группы А этой главы необходимы знания в объеме Основных положений гл. 1 и простейших параграфов настоящей главы, не отмеченных звездочкой ( ) (в частности, такие более сложные вопросы, как преобразование Лапласа и матрицы плотности, не понадобятся). [c.120]

Применим к системе (5.4) метод, описанный в предыдущих параграфах. Пред варительно сделаем следующее замечание. Общим решением системы нулевого приближения [c.211]

Замечания, сделанные в разд. 3.1.23 относительно оценки методов решения уравнения переноса вихря, применимы также к оценке методов нахождения решения и конечно-разностным представлениям уравнения Пуассона. Следует также учесть замечания, сделанные в предыдущем разделе относительно согласованности уравнения Пуассона для функции тока и уравнения переноса вихря как в отношении порядка ошибки аппроксимации, так и в отношении вычисления скоростей. [c.211]

Замечание о сравнимости полезностей. В предыдущей главе мы уже подчеркивали, что сведение многих критериев к одному не всегда возможно в принципе. Здесь МЫ остановимся на более частном, но не менее важном вопросе невозможности получения единственного решения задачи векторной оптимизации без предположения сравнимости полезностей различных альтернатив для одного и того же критерия. [c.206]

Учитывая замечания, сделанные в конце предыдущего параграфа, для подсчета напряжений и деформаций в телах 1 тя. 2 можно воспользоваться соотношениями, полученными при решении задачи [c.143]

Замечание о натяжении. Найденное решение будет неприемлемо, если 7 не будет положительным во всех точках кривой, так как если для какого-нибудь элемента натяжение 7 будет отрицательным, то этот элемент будет испытывать сжатие, а не натяжение. Можно истолковать решение, в котором 7 отрицательно, если предположить, что на нить нанизаны бесконечно малые твердые бусинки. Каждая такая бусинка будет испытывать давление со стороны предыдущей и последующей и равновесие будет осуществлено (Пуансо). [c.168]

Исследование резольвенты. Исключим теперь на основании замечания предыдущего пункта случай X = О и ограничимся исследованием решения уравнения (48) только с качественной стороны. Такое качественное рассмотрение основывается на исследовании корней (действительных) многочлена третьей степени в правой части (48) [c.115]

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степепь свободы, так как наличие у нагрузки одного лишь параметра Р обеспечивает то, что, зная перемещение одной точки, можно найти перемещения и всех остальных точек системы. Учитывая замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа, о независимости формы и размеров тела, испытавшего деформацию, от характера закрепления, не стесняющего последнюю, представим себе, что закреплена точка приложения силы 2Р. В точке закрепления поместим О — начало JP векторов. [c.148]

Я приступил к решению этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе новым и интересным, так как одновременно надо решать уравнения, число которых не является определенным. К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне формулы не слишком сложные, если учесть большое число операций, которые пришлось проделать. Я рассматриваю эти формулы сначала в том случае, когда число движущихся тел конечно, и я легко получаЮ всю теорию смешения простых и правильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел только с помощью частных и косвенных примеров. Я перехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел, и, показав недостаточность предыдущей теории в этом случае я извлекаю из моих формул то же построение для решения проблемы колеблющихся струн, которое дал г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном Даламбером В последнем замечании Лагранж имеет в виду графическое построение Эйлера, которое [c.268]

Замечание 4.1. Из проведенных рассуждений следует, что система (4.2) при выполнении условий предыдущей теоремы имеет хотя бы одно периодическое решение с единичным периодом. Действительно, при достаточно больших с множество и (л , у) с представляет собой, как легко видеть, замкнутый топологический круг. Так как при преобразовании Т этот круг переходит в себя, то из теоре.чы Брауэра и следует наше утверждение. [c.68]

Замечание. И здесь с очевидными изменениями можно применить способ решения, указанный в замечании 1 в конце предыдущего параграфа. Сказанное в замечании 2 к тому же параграфу также легко перенести на рассматриваемый здесь случай. [c.328]

Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифференциального уравнения (автономного или нет) это — равномерная сходимость решений на полуоси 0 к рассматриваемому решению при стремлении начальных значений этих решений при =0 к начальному значению изучаемого решения. Равномерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве (или многообразии). В отличие от случая положения равновесия автономной системы, определенная таким образом устойчивость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое [c.28]

Замечание 1.2, Единственность решения в Н не следует из предыдущих рассуждений, так как (1.14) и (1.13) эквивалентны лишь в случае ц/еВ А). Докажем ее. Пусть / = 0 положив в (1.14) [c.393]

Замечание 4.1. Мы не предполагали, что 5 - гладкая поверхность. Если сделать такое допущение, то из теории регулярности решений эллиптических задач следует, что оператор g - v ограниченно голоморфен как оператор из (Q р + j) в (Qp + j ) поэтому предыдущее доказательство можно упростить. [c.411]

По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание. Во всех этих случаях нелинейный член (уу)у тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, написанным, например, в виде (10,2), (10,3). С этим связано то обстоятельство, что формулы (17,1) и (18,3) не содержат вовсе коэффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17,9), которые связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости идеальная жидкость могла бы течь по трубе и при отсутствии градиента давления. [c.80]

Настоящая задача особенно важна для комет, элементы которых во время их появления совершенно неизвестны со времени Ньютона, впервые попытавшегося разрешить эту проблему, найдется очень мало геометров и астрономов, которые не занимались бы ею. Не имен возможности строить приближение на малой величине эксцентриситета и наклонения, как в случае планет, они все принимали, что промежутки времени между наблюдениями очень малы, и дали более или менее приближенные методы для определения элементов комет на основании трех наблюденных долгот и такого же числа широт. Так как решение, предложенное мною в Memoires de Berlin ) за 1783 г., дает, мне кажется, наиболее прямое и наиболее общее решение кометной задачи, я считаю возможным изложить его здесь, но в несколько упрощенном виде и сопроводив его новыми замечаниями это решение даст нам важное применение основных формул, выведенных нами в предыдущем параграфе. [c.53]

Метод обобщенного подобия к задачам ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности был впервые применен Чаном ), составившим универсальное уравнение и использовавшим для его решения метод разложения решения в ряд по степеням параметров, относительно которого были уже сделаны критические замечания в конце предыдущего параграфа. Численное решение универсального уравнения в простейших приближениях на ЭВЦМ для случая проницаемой поверхности было выполнено аспирантами [c.480]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Общие замечания. В наиболее общем случае не представляется возможным проинтегрировать аналитическими методами систему исходных дифференциальных уравнений аэродинамики. Строгое решение сфор.мулиро-ванной в начале предыдущего раздела задачи получается лищь для некоторых частных случаев. При небольших скоростях течения, как уже указывалось, можно рассматривать воздух как несжимаемую жидкость. Однако даже при больших скоростях течения чаще всего за основу берется решение, получаемое при рассмотрении воздуха как несжимаемой жидкости, п затем специальными методами, основанными на введении поправок или на проведении пересчетов, получают данные, близкие к данным, которые дает опыт. [c.462]

Обращаем внимание читателя на следующее замечание принципиального характера в предыдущих главах мы встречались с некоторыми задачами, решения которых в законченном виде мы не могли получить например, уравнение движения маятника уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки даже в эйлеровом случае не интегрируются в элементарных функциях в случае задачи трех тел мы не можем свести интегрирование дифференциальных уравнений [c.308]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

В заключение сделаем следующее замечание. Форма вамен (5.59) получена из общих теоретических положений, изложенных в предыдущих параграфах. Ее можно было бы получить и из традиционных рассуждений. Приведем общее решение системы нулевого приближения централизованной системы (5.54) [c.229]

Продольный удар по призматическому стержню. Сбтив замечания. — Для приближенного вычисления напряжений н перемещений, вызываемых при лродольном ударе движущегося тела по призматическому стержню, можно воспользовагься приближенным способом, изложенным в предыдущем параграфе, но длн билее точною решения задачи необходимо рассмотрение продольных колебаний стержня. [c.401]

В разд. 4 изложены основные сведения о математических методах, широко используемых в инженерной практике и, в частности, при создании новых математических моделей для решения задач теплоэнергетики и теплотехники. Дан необходимый справочный материал. В новой редакции учтены пожелания и замечания читателей, высказанные по предыдущим изданиям. Включен дополнительный материал по полиномиальным преобразованиям, расширены сведения, относящиеся к вероятностным методам. В то же время такие разделы математики, как стоксов формализм, обобщенные функции и некоторые другие, не нашедшие широкого применения в практике инженеров-теплотех-ников, сокращены. За счет этого существенно расширен и переработан параграф Численные методы . Поскольку численные методы вместе с теорией алгоритмов, языками программирования и операционными системами составляют ядро вычислительного эксперимента как новой научной методологии, редакторы серии сочли целесообразным отнести этот материал в следующий раздел, посвященный применению средств вычислительной техники в инженерной деятельности. [c.8]

Подставим условия (597) в формулы (576) и (594). Мы видим, что в формуле (594) для тц содержатся произведения S2S, ) 2 и s sjdidl. Поэтому будем выбирать те основные решения, которые содержат эти произведения в -tii. Учитывая все предыдущие замечания, для случая (597) получаем следующий набор основных решений [c.180]

При переходе к термодинамическому пределу возникает задача выбрать собственное состояние Т или, если угодно, последовательность к так, чтобы при заданном М соответствующее собственное значение было положительно и максимально. В случае нулевого горизонтального поля решение этой задачи основано на заключительном замечании предыдущего пункта и теореме Перона — Фробениуса. [c.139]

Большая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать нелинейное уравнение Клейна — Гордона и задачи, приведенные в 14.1. Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей главы. Обобщения на большее число измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко изложены в виде дополнительных замечаний. [c.492]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...