Решение по классической теории балок

Для того чтобы приведенные выше решения соответствовали истине, изгибающие моменты и поперечные силы на концах балки должны прикладываться в виде распределенных нормальных и поперечных спл, которые должны изменяться так же, как напряжения во внутренних поперечных сечениях, получаемые по классической теории. [c.161]

Решение в рядах по функциям нагружения. Упомянутые выше и не рассматриваемые в классической тео,рир балок методы определения перемещений и напряжений являются довольно трудными.Другой тип решения, который особенно удобен для нахождения наиболее существенных поправок к классической теории, состоит в представлении прогибов и напряжений для прямоугольного поперечного сечения балок с непрерывными нагрузками в виде рядов по функциям, описывающим распределение нагрузки по верхней и нижней поверхностям балки ). В Подобных рядах первые -члены дают величины, соответствующие классической теории балок, следующие члены представляют собой наиболее существенные поправки к ним и содержат производные высших порядков от функции нагружения (т. е. детали, уточняющие характер изменения нагрузки), следующие далее члены содержат производные еще более высоких порядков и т. д. Вычисление всех членов ряда позволяет в пределе получить точное решение уравнений теории упругости для плоского напряженного состояния. Это, по существу, является применением общего метода последовательных прибли ний. [c.163]

Классическая теория колебаний балки очень широко представлена в литературе [3, 9, 100]. Общее решение уравнения (2.15) обычно выражается через функции А,Н, Крылова [c.243]

При решении краевых задач уточненные уравнения (2.5) и (2.6) дополняются граничными условиями в соответствии с соотношениями (2.1) и (2.2). При этом весьма существен-Бым является вопрос о корректности граничных условий. В некоторых работах [1.43, 1.346, 2.59] уравнения балки Тимошенко решались с граничными условиями классической теории, что некорректно. [c.17]

На фигурах 1.8 и 1.9 приведены результаты для опертой балки. По осям ординат отложена величина ю =(в//лС5, по осям абсцисс — величина у,=к/21, где Н — высота, 21 — длина балки. Сплошная линия соответствует точному решению, пунктир — приближению Тимошенко, точки — классической теории. Для низшей моды по высоте кривые по Тимошенко на [c.36]

Приведены в виде графиков решения уравнений Тимошенко и Бернулли—Эйлера, полученные методом разложения по собственным функциям с применением ЭЦВМ. Во временном интервале, соответствующем прохождению сдвиговой волной пути, равного пяти длинам балки, вычислены поперечная сила на конце и изгибающий момент в середине при двух значениях упругого опирания s (мягком и жестком) н отношении длины балки к радиусу инерции 40. Видно, что при принятых параметрах для изгибающего момента обе теории дают близкие результаты, а для поперечной силы классическая теория совершенно непригодна даже при мягком сдвиговом опирании. [c.67]

Классические задачи для контакта по малой площадке (теория Герца—Беляева) или для балки, лежащей на упругом основании, разработаны достаточно подробно. Однако случай, когда начальный контакт тел осуществляется по поверхности и главную роль играют контактные деформации, а не деформация тела детали, а также возможен износ поверхностей, не имеет строгого решения. [c.319]

Естественно изогнутая и закрученная тонкая балка рассматривается в классической задаче теории упругости [1]. В качестве основы для приближенного- решения этой задачи можно применить принцип виртуальной работы, причем для описания искривленной оси балки и двух искривленных поверхностей, образованных огибающими главных осей поперечных сечений, удобно использовать криволинейную систему координат [27—28]. Для этой задачи были предложены вариационные формулировки, и работа [29] является одной из последних работ в этой области. [c.208]

Уравнения движения лопасти выводятся методами классической механики обсуждаются также другие возможные подходы к анализу. Определяются собственные частоты и формы изгибных колебаний лопасти. В анализе почти повсеместно используется инженерная теория упругой балки. Предполагается, что сечение лопасти абсолютно жестко таким образом, моделью лопасти является тонкая балка, упругая на изгиб и кручение. Это очень хорошая модель, хотя для решения некоторых задач, например для определения параметров комлевого сечения, может потребоваться более детальное рассмотрение конструкции. [c.351]

На рис. 4.10 и 4.11 приведены распределения межслойного касательного напряжения в трех различных поперечных сечениях соответственно для 50-слойной балки при трехточечной схеме и для 16-слойной балки при четырехточечной схеме. Поперечные сечения А иС для оценки распределения касательного напряжения взяты на расстоянии 0,508 мм вправо от середины опоры и влево от середины области приложения нагрузки. Сечение В выбрано в середине между центром опирания и центром приложения нагрузки. Штриховыми линиями на рисунках показаны классические решения по балочной теории [c.205]

Сила трения, возникающая при относительном движении двух контактирующих поверхностей, обычно представляется в виде постоянной силы, пропорциональной нормальной нагрузке, сжимающей обе поверхности, и направленной в каждый момент времени противоположно вектору скорости. Поэтому движение с трением необходимо исследовать, учитывая указанное ку-сочно-линейное поведение. На рис. 2.8 представлены некоторые случаи, когда демпфирование при трении происходит в простых конструкциях либо естественным путем, либо вследствие специальных конструктивных решений. Если балка защемляется за счет силы трения, возникающей при зажиме концов, то при действии силы Fexp(iat) динамические перемещения балки описываются линейной классической теорией до тех пор, пока сжатие при защемлении не станет достаточно велико, чтобы обеспечить появление больших продольных сжимающих нагрузок, которые требуют видоизменения уравнения движения. Если эта продольная сила, которая изменяется с частотой, в два раза большей, чем ш, станет большей цР, где —коэффициент трения, Р — статическая сила сжатия концов балки, то в опорах Начнется проскальзывание, что в свою очередь приведет к поглощению энергии в опорах. Аналогичное явление возникает и в двухслойной балке, где динамические перемещения станут нелинейными, как только сдвигающие напряжшия по средней линии превысят иЛ , где N—-статическая удельная поперечная нагрузка. В заклепочном соединении заклепка будет препятствовать движению концов балки, не ограничивая движений внутри узла крепления концов балки. В момент контакта с основанием в точке Jo движение прекратится и возобновится после того, как локальная поперечная сила превысит величину liN. В каждом из указанных случаев анализ довольно труден и утомителен в силу как нелинейного характера задачи, так [c.73]

Приближенное общее решёние для плоского напряженного состояния. Для исследования напряжений в балке прямоугольного поперейого сечения, которая нагружена по верхней и нижней, поверхностям или торцам, но имеет свободные от нагрузок боковые поверз ности или грани, необходимо получить решение для плоского напряженного состояния, а большинство представляющих интерес случаев не охва[тывается точными решениями (3.12а) — (3.12в). Для того чтобы получить п риближе нное (но более, точное, чем в рамках классической теории балок) общее решение для плоского напряженного состояния, начнем с предположения, что Oz = Oxz Oyz = 0. Тогда при равных нулю объемных силах в направлении оси z третье уравнение равновесия системы [c.147]

Поправки к напряженияи, определяемым по классическим теориям балок для. сосредоточенных нагрузок. Классическая теория балок удовлетворяет условию равновесия, а разница между действительными напряжениями, вызываемыми локальными нагрузками, приложенными по одной стороне балки, и напряжениями, получаемыми для аналогичного случая нагружения по классической теории, образует поле локальных напряжений. Такие поля локальных напряжений, будучи просуммированы с классическими-решениями, дадут точное распределёние напряжений в окрестности точки приложения нагрузки. [c.178]

Поправки к классичй(ск0й теори пластин в случае приложения сосредоточе ой нормальной нагрузки. Как и в аналогичном случае действия сосредоточенной нагрузки на балку, который обсуждался в 3.4, разница между истинными напряжениями, вызываемыми сосредоточенной нагрузкой, действующей на одну из поверхностей пластины, и напряжениями, получаемыми для того же случая согласно классической теории, образует поле локальных напряжений, которое, будучи наложенным на классическое решение, дает корректные значения напряжений. [c.340]

Аналитическое раиение для балок при трех- и четырехточечном изгибе, лишенное недостатков упомянутых выше решений [6—8], было получено в работе [10]. Предложенный анализ основан на классической теории упругости для схемы нагружения балки, показанной на рис. 4.9. Отметим, что такая схема позволяет учитывать [c.202]

В консольной модели не учитывается деформируемость материала перед фронтом трещины эта модель не позволяет получить оценку распределения нормального напряжения у вершины трещины. В работе [24] для учета деформации перед вершиной трещины использовалась аналогия с балкой на упругом основании. Такой подход также не дает возможности оценить распределение напряжения перед трещиной. Упругое решение для однородной изотропной двойной консольной балки было получено в работе [25]. Авторы предложили рассматривать симметричные трещины, вершины которых удалены одна от другой. В этой же работе получено приближенное решение для двойной консольной балки, основанное на теории пластин высокого порядка. Балка делилась на две части 1) прилегающую к трещине и 2) в области вне трещины. На границе раздела этих частей выполнялись условия непрерывности результирующей сил поперечного сдвига, изгибающего момента и перемещения в плоскости. Добиться нихрерывности трансверсального перемещения не удалось. Хотя и были получены выражения высокого порядка для перемещения по толщине, окончательные уравнения оказались того же порядка, что и в классической балочной теории Тимошенко. В частности, предполагаемые соотношения между трансверсальными перемещениями высшего порядка и прогибом срединной плоскости уменьшают число независимых граничных условий, которые можно задать, до количества, существующего в классической теории сдвиговой деформации. Теории высокого порядка необходимы, чтобы удовлетворить всем требуемым условиям непрерывности. [c.226]

Точные решения уравнений балки Тимошенко методом преобразования Лапласа были построены В. А. Boley и С. С. hao [1.115] (1955). Окончательные решения приведены к определенным интегралам, которые беругся численно. Рассматриваются колебания полубесконечной балки, на конце которой заданы четыре типа граничных условий скачок скорости прогиба и нулевой изгибающий момент скачок момента и нулевой прогиб скачок угловой скорости прогиба и нулевая поперечная сила скачок скорости прогиба и нулевое вращение. Эти решения сравниваются с приближенными решениями, полученными ранее В. А. Boley [1.114] (1955), и с результатами классической теории. Показано, что при скачкообразном изменении нагрузки на некотором расстоянии за фронтом толщинно-сдвиговой волны классическая теория дает хорошие результаты, а при медленном изменении нагрузки хорошо предсказывает максимум сдвигающей силы. [c.59]

Решение дл я прогиба иолучено методом собственных функций. Построены графики изменения прогиба в зависимости от времени в точке приложения силы. Ставилась цель сравнить решения классического уравнения и уравнения Тимошенко с корректными граничными условиями и граничными условиями, соответствующими классической теории. Показано, что все эти решения для первого максимума прогиба существенно отличаются, а учет инерции вращения влияет на прогиб незначительно. Поперечный удар упругого тела по балке в уточненной постановке (метод степенных рядов) рассматривался также в работах [1.55, 1.56] (1961). [c.61]

В. Paul и С. С. Fu [1.273] (1967) интегрировали классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно зависящем от времени. Применением синус-преобразования Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе но решение для изгибающего момента в функциях Френеля На основе предположения, что в начальной стадии дефор мированная часть балки не искривляется, а только повора чивается относительно еще недеформированной части (де формированная ось имеет вид ломаной), получена без реше ния дифференциальных уравнений простая формула для по перечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен ко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что для максимального значения нагибающего момента, которое наступает через большое время после прохождения волновых фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой статье [1.295] (1967) было отмечено, что максимум поперечной силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент времени и поэтому его выражение можно получить применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент времени решение авторов, основанное на классической модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают применимость классической теории изгиба, хотя теоретически это не доказано. [c.64]

В работе 5. Кап апа1Ь [1.289] (1970) методом преобразования Лапласа исследуется задача соударения при контакте по нормали (полубесконечного стержня с бесконечной балкой. Продольные волны в стержне описываются одномерной классической теорией, изгибные волны в балке — теорией типа Тимошенко. Предполагается, что стержень после удара не отскакивает. Приведены аналитические решения и численные расчеты для поперечной скорости и изгибающего момента в нескольких точках. Описываются экспериментальные исследования, которые обнаруживают хорошее соответ- [c.65]

Колебания однородной балки Тимошенко на упругом вин-клеровом основании при действии внезапно приложенной сосредоточенной силы рассматривались А. И. Цейтлиным [1.83] (1961). Четвертая производная по времени в дифференциальном уравнении Тимошенко (2.7) не учитывается, и это дает возможность, применяя преобразование Фурье по пространственной координате, получить решение в квадратурах. Рассмотрен пример действия импульса конечной продолжительности, и показано, что отличие от классической теории существенно лишь в начальные моменты времени. [c.69]

В работе А. L. Floren e [1.161] (1965) для исследования колебаний полубесконечной балки, по которой движется поперечная сосредоточенная сила с постоянной скоростью, применяются уравнения типа Тимошенко. На конце удовлетворяются либо условие шарнирного опирания, либо — равенство нулю угла поворота и поперечной силы. Решения построены методом преобразования Лапласа. Приведены кривые распределения поперечных скоростей при различных скоростях движения нагрузки, звуковой V"= o= ( /р)и сверхзвуковой У>Съ, и выполнено сравнение результатов уточненной и классической теорий. Результаты обеих теорий в среднем мало отличаются и тем меньше, чем больше скорость движения нагрузки. Замечено, что удовлетворительного моделирования задачи (В условиях опыта можно достичь, размещая на балке шнуровой заряд, характеризуемый определенной скоростью распространения детонационной волны. [c.70]

Колебания балки Тимошенко при случайном возбуждении рассмотрены J. С. Samuels oM и А. С. Eringen oM [1.302] (1958). Исследуются колебания свободно опертой балки с учетом демпфирования. Исследования выполнены с помощью обобщенного анализа Фурье. Вычислены среднеквадратичные значения прогиба и изгибных напряжений. Сравнение с аналогичными результатами обычной классической теории показало очень близкое соответствие значений среднеквадратичных перемещений. Решения для среднеквадратичных изгибных напряжений в противоположность классической теории изгибных колебаний балок сходятся. [c.74]

Такое донравочное поде для случая действия сосредоточенной нагрузки можно найти, взяв балку длиной, равной четырем ее высотам, вне этого участка значениями локальных напряжений можно пренебречь. Затем для случая действия сосредоточен аой нагрузки,-приложенной в середине одной из сторон балки, Ложно воспользоваться решением Буссинеска (3.34) и (3.37), устраняя задаваемые этим решением напряжения на другой стороне балки с помощью соотношений (3.28) и (3.29), затем вычитая отсюда классическое решение и устраняя осевые силы и изгибающие моменты на концах путем наложения получаемых в рамках теории упругости элементарных решений, которые обсуждались ранее применительно к случаям равномерно распределенных осевых [c.178]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

В работе В. Л. Бидермана [1.62] (1952) дано изложение теории изгибающего удара согласно классическому уравнению изгиба и уточненным уравнениям балки Тимошенко. Для решения задач применяется метод тригонометрических рядов и метод характеристик. Первый метод применим для не слишком малых моментов времени, и это дает возможность вычислять максимальные усилия при изгибающем ударе, которые имеют место, как известно, не сразу после приложения ударной нагрузки. Рассмотрена балка, которая движется поступательно с постоянной скоростью и ударяется коццами [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...