Минимизация функции максимума

Широко распространенным является метод отыскания эффективных точек, основанный на минимизации функций максимума [c.137]

В основу алгоритмов минимизации гладких функций на ограниченных множествах положены следующие идеи. Общая задача математического программирования может быть преобразована в задачу либо последовательность задач безусловной оптимизации. Такие алгоритмы основаны на использовании метода центров [225], замены независимых переменных [211], применении различных вариантов штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа [215, 217, 218]. Можно отметить также метод [225], позволяющий перейти к безусловной минимизации функции максимума. Задача условной оптимизации может быть аппроксимирована последовательностью задач линейного или квадратичного программирования. К этой группе относятся методы возможных направлений [228], линеаризации [215], линейной аппроксимации [96], проектирования [218]. [c.148]

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ МАКСИМУМА [c.149]

Аналогично при минимизации функции максимума (5.37) на множестве V, определенном системой (5.31), имеем [c.150]

Способ выбора Oft (5.43) достаточно экономичен, поэтому можно ожидать, что алгоритм (5.42), (5.43) во многих случаях окажется эффективным. Обобщение описанного алгоритма на случай минимизации функции максимума на ограниченном множестве получено в [233]. Последовательность v приближений к v строится в виде (5.32), где вектор р —решение задачи квадратичного программирования [c.151]

В ряде ситуаций оказывается эффективным также эвристический алгоритм безусловной минимизации функции максимума [25], в котором р определяется как решение задачи [c.152]

Положение с экспериментальной проверкой алгоритмов минимизации функции максимума не может быть признано удовлетворительным. Фактически имеется всего одна классическая тест-задача, для которой в литературе приведены результаты работы достаточно большого числа алгоритмов. Это задача оптимизации трансформатора сопротивлений [235]. На ее примере сравним различные методы минимизации. Рассмотрим т-ступенчатый трансформатор сопротивлений с волновыми сопротивлениями подводящих линий ро=1 и 7 ро=10 (рнс. В.6,а). Задача его оптимизации ставится как [c.153]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Рассмотрим задачу о построении оптимального управления v t) в классе допустимых управлений V г (t) v (t) 0 , минимизирующего функционал (4.1). При помощи принципа максимума Понтрягина задача сводится к минимизации функции [c.410]

С помощью принципа максимума Понтрягина задачу сведем к минимизации функции [c.423]

Для решения описанной выше задачи оптимального проектирования вала по критерию минимума массы применяют принцип максимума. При этом оптимальные параметры вала получают минимизацией функции Гамильтона (7) [c.189]

Теперь выберем объективную функцию, с помощью которой будет проводиться минимизация. Это ответственный момент так как разные объективные функции могут привести к совершенно различным результатам. Конечно, вполне естественно что объективная функция должна быть выбрана в соответствии с реальными требованиями данной проблемы. Можно отнести любой коэффициент аберрации к любому нормирующему фактору, например входной потенциал поделить на максимум поля (уравнение (9.34)). Процедура оптимизации может быть нацелена на конечный размер пятна, генерируя линзы, способные обеспечивать как можно более тонкий пучок при заданных ограничениях. Рабочее расстояние и другие свойства первого порядка могут быть также включены в объективную функцию. Любые коэффициенты добротности из обсуждавшихся в разд. 5.7.4, могут служить объективными функциями для синтеза. [c.548]

Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие — для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется рис. 6.3. [c.138]

В случае проектирования передающей АФАР на максимум среднего значения потенциала П(х, к( 0, ф), (о) в секторе сканирования Q и полосе частот Аш целевая функция F[x) имеет вид (7.8), а составляющими вектора варьируемых параметров х являются параметры согласующего устройства. Приближенное решение задачи минимизации (7.9) с целевой функцией (7.8) обычно находится с помощью итерационного процесса, (к- -1)-я итерация которого описывается выражением [c.194]

Функции (5.37) возникают при решении задач многокритериальной оптимизации, чебышевской аппроксимации, решении систем нелинейных уравнений. В [226] предложен метод сведения общей задачи математического программирования к безусловной минимизации функции вида (5.37). Сложность минимизации функций максимума (5.37) связана с тем, что функция g ) недифференцируема, и поэтому рассмотренные ранее методы не могут быть непосредственно использованы. Выделим основные подходы к построению алгоритмов минимизации функции максимума. [c.149]

Точки Уь 02, Уз являются точка-ми разрыва производной от функции максимума по переменной V. Отмеченное свойство функций максимума затрудняет их минимизацию, требует применения для решения этой задачи специальных методов. В этой связи построение эффективных точек с помощью функций (5.15) особенно выгодно в том случае, когда gi ) являются недифференцируемыми функциями V. Такие функции ((у) появляются, например, при решении задачи чебышевской аппроксимации. [c.138]

Результаты, приведенные в табл. 5.1. .. 5.3, дают возможность сделать следующие выводы а) наиболее эффективные алгоритмы нелинейного минимакса принадлежат ко второй и четвертой группам методов минимизации б) алгоритм (5.46), (5.47) (при условии оптимального выбора параметра у) показывает один из лучших результатов в смысле наименьшего числа оценок функции максимума для получения решения с требуемой точностью в) алгоритмы (5.46). .. (5.51) путем выбора у могут быть настроены на заданный класс задач для оптимизации вычислительного процесса г) алгоритм (5.50), (5.51) отличается простотой и показывает высокую эффективность на определенных классах задач. Алгоритмы (5.42). .. (5.51) были реализованы в виде АЛГОЛ-процедур и успешао использованы прн оптимизации устройств СВЧ. [c.155]

L (п, к) = AGf (п) -f 2 X, (п (22.8) где li,..., Хг) — набор неопределенных множителей Лаг ранжа. Существует теорема (Куна и Таккера), утверждающая что если при некотором наборе п, К функция L(n, А.) имеет ми ннмум по переменным п и максимум по переменным Л, т. е если точка (п,Я) является седловой точкой поверхности L(n, Я.) то этот набор является решением задачи условной минимизации выпуклой функции AG/(n). Это необходимое условие решения используется и как основа для создания его алгоритма. Аналитическое выражение условия получается дифференцированием (22.8) [c.186]

В качестве важной особенности ЭМУ как объекта оптимизации необходимо отметить большое количество ограничений как основных, так и вспомогательных. Это приводит к сложной конфигурации допустимой области изменения параметров, а также к существенным трудностям попада1ШЯ в нее, что в совокупности значительно усложняет поиск экстремума функции цели. При этом часто лучшим вариантам проекта соответствуют точки в пространстве параметров, лежащие на границе допустимой области. При этом задача оптимизации ЭМУ сводится к отысканию лишь условного зкстремума функции цели. Примеры такой ситуации показаны на рис. 5.15 и 5.16, где представлены области поиска соответственно при минимизации времени разгона асинхронного гиродвигателя с короткозамкнутой беличьей клеткой в пространстве параметров к(кратность максимального момента) и при оптимизации на максимум КПД (р) асинхронного конденсаторного микродвигателя [19] в пространстве параметров к — коэффициента трансформации и Хном номинального скольжения. [c.147]

Можно вьщелить 2 типа задач оптимизации - безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума функции (5.10) от п действительных переменных и определении соответствуюш,их значений аргументов на некотором множестве G -мерного пространства. Обьино рассматриваются задачи минимизации к ешм легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации — это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве G. Здесь рассмотрим только безусловные задачи оптимизации. [c.277]

Оптимизация детерминированных систем виброизоляции. Решение многих теоретических и практических задач виброизоляции сводится к отысканию таких значений aj, a j,. .., aj некоторых параметров ах, а ,. .., а , которые обеспечивают максимизацию или минимизацию заданной функции С(ах, а ,. .., От), называемой критерием эффективности (функцией качества, целевой функцией, критериальной функцией и т п.). В конкретной ситуации требуется обеспечить минимум либо максимум критерия- С (А) = пип либо С (А) = max, где Л = (а,, а ,. .., а У. Задачи отыскания минимума и MaK HMyN а с точки зрения оптимизации эквивалентны, так как [c.307]

Задача о минимизации функционала (2.9) в классе функций / (t), удовлетворяющих заданным краевым условиям и ограничениям (2.10), является стандартной задачей оптимального управления [6]. Применим для ее решения принцип максимума Понтря-гина. Обозначив в (2.9) р q (/ )) = Р v) получим, что оптимальное управление v t) находится из условия минимума функции [c.406]

Определение условий прогрессирующего разру-щения сплошного тела (как и родственная проблема предельного равновесия) требует решения неклассической вариационной задачи, включающей дифференциальные уравнения равновесия или совместности, ограничения на величины переменных (напряжений или приращений деформации), входящих в соответствующие уравнения, и подлежащий максимизации или минимизации критерий оптимальности (целевая функция), которым обычно является один из-параметров, определяющих внешние воздействия. Аппарат для строгого решения задач такого типа на основе любой из теорем теории приспособляемости дает математическая теория оптимальных процессов [43]. Решение одномерных задач предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина рассматривалось в работах [10, [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...