Общие уравнения возмущенного движения

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [c.64]

Эти уравнения определяют общие свойства возмущенного движения. Как видно из предыдущего, порядок системы (II. 327) может быть меньшим 2N. [c.330]

Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1) неизвестно, поэтому этот метод практически редко может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос — устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать не из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) Xj. [c.18]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Если постоянные fij удастся выбрать так, чтобы функция V была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Uj (j = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. [c.519]

Если бы уравнения возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости невозмущенного движения решался бы очень просто в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым. [c.529]

Общие замечания. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения записываются и виде системы уравнений Гамильтона [c.543]

Разумеется, для проверки устойчивости нет необходимости изучать возмущенное движение во всех подробностях, достаточно установить его общую тенденцию. В частности, во многих случаях можно ограничиться анализом начала процесса возмущенного движения, тогда благодаря малости отклонений уравнения возмущенного движения оказываются линейными в этих случаях говорят об исследовании устойчивости в малом . [c.154]

Общий алгоритм определения инвариантных коэффициентов уравнений возмущенного движения (42), (43). [c.72]

Коэффициенты уравнений возмущенного движения, полученных в п. 3 и 4, могут определяться как теоретически, так и экспериментально. Этим вопросам посвящена обширная литература [16, 20, 26, 27, 53, 54 и др.]. Ниже изложены теоретические методы, результаты которых хорошо согласуются с экспериментами, и общая идея экспериментальных методов [J7, J8—21]. [c.75]

Введение системы уравнений возмущенного движения (1.2.1) позволяет в ЧУ-теории рассматривать обладающую большой общностью единообразную задачу о у-устойчивости нулевого положения равновесия (невозмущенного движения X = 0) этой системы при достаточно общих предположениях относительно её правой части. Разумеется, система (1.2.1) составляется (всякий раз заново) для каждого конкретного исследуемого на устойчивость движения (процесса) исходной системы. [c.43]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Система уравнений возмущенного движения упрощается в том случае, когда решение (1.3) вспомогательной системы уравнений (1.2) представляет каноническое преобразование величин а ,, Рд, в д,, р . Это будет иметь место, как говорилось в гл. 10, в двух случаях во-первых, когда решение (1.3) представляет интеграл Коши для системы дифференциальных уравнений (1.2), то есть а , —начальные значения переменных д , р во-вторых, когда решение (1.3) представляет общий интеграл канонической системы (1.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби — Г амильтона. [c.563]

П. А. Кузьмин (1957) рассмотрел вопрос об устойчивости при параметрических возмущениях, когда возмущающие силы имеют структуру, полностью определенную полем основных сил невозмущенных движений, и физическое происхождение возмущающих сил связывается с возмущением разнообразных физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения движения любой материальной системы. Изложим кратко несколько более общую постановку задачи о параметрических возмущениях, принадлежащую Н. Н. Красовскому (1959). Пусть дана система уравнений возмущенного движения [c.53]

Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929). [c.334]

Первый метод, или метод характеристических чисел, основывается на разыскании общего решения системы (2.1) в виде бесконечных рядов особого вида, исследование которых и позволяет в ряде случаев решить поставленную задачу об устойчивости. Второй метод, или прямой метод Ляпунова (метод функций V Ляпунова), не зависит вовсе от разыскания тех или иных рядов, удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения, а основывается на разыскании некоторых функций, удовлетворяющих некоторым, достаточно общим условиям. [c.75]

Наша задача заключается п интегрировании системы (12. ), т. е. в нахождении общего решения, или общего интеграла, дифференциальных уравнений возмущенного движения. Однако точное интегрирование уравнений (12.1) в громадном большинстве случаев оказывается невозможным и мы вынуждены почти всегда прибегать к методу последовательных приближений и получать какое-то приближенное решение наших уравнений. [c.567]

Эти формулы, дающие общее решение уравнений возмущенного движения (12.1), можно записать в виде [c.573]

Полезно заметить, что для нахождения связи между начальными значениями (12.3) и начальными элементами (12.15) вовсе не требуется знать общее решение уравнений возмущенного движения в его окончательной форме (12.17). Действительно, это общее решение дается формулами (12,5), где элементы орбиты суть некоторые функции времени, точные выражения которых могут быть известны только после полного интегрирования системы (12,1), [c.573]

Преобразование Лагранжа можно провести для общего случая какого угодно возмущенного движения, но мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда возмущенное движение принадлежит к эллиптическому типу и когда уравнения возмущенного движения определяются формулами (12.65). [c.611]

Таким образом, метод Пикара даст нам общее решение уравнений возмущенного движения вида (12.102). [c.644]

Возвратимся теперь к уравнениям возмущенного движения, т. е. к уравнениям (13.1). По основной идее метода изменения произвольных постоянных мы можем сохранить для общего рещения системы (13.1) все формулы (13.6), (13.6 ) и (13.6"), содержащие 6 произвольных постоянных (13.5) (5=1, 2,. . ., п), рассматривая в этих формулах все величины [c.658]

Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа (общий случай) [c.344]

Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.173]

Некоторые вспомогательные предложения. Чтобы вывести критерии устойчивости и неустойчивости данного невозмущенного движения в случае, когда правые части уравнений возмущенного движения не содержат явно времени, мы можем воспользоваться общими теоремами, доказанными нами выше. Но для этого нам придется доказать предварительно несколько вспомогательных теорем. [c.472]

Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этой теоремы Ляпунов дал в сочинении Общая задача об устойчивости движения (стр. 61) ). [c.237]

Таким образом, общее решение дифференниальных уравнений возмущенного движения конического маятника имеет вид [c.235]

Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно прставить в следующем виде пусть дано решение канонических уравнений [c.387]

Коэффициенты уравнений (109) определяются по общей схеме, описанной в начале этого параграфа. Уравнения (109), полученные методом Бубнова—Галеркина, представляют собой математическую модель рассматриваемой конструкции. При ду = О уравнення (109) переходят в уравнения возмущенного движения жесткого тела с N отсеками, частично заполненными жидкостью. [c.88]

С учетом принятых обозначений уравнения возмущенного движения спзггника в общем виде можно записать следующим образом [c.98]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Для случаев, когда известны первые интегралы уравнений возмущенного движения, Четаев предложил способ построения функций Ляпунова в форме связки нервьвх интегралов. Этот способ был продемонстрирован им на решении двух конкретных задач механики (Н. Г. Четаев, 1946, 1954) и хотя в общем виде этот способ автором не излагался, он получил широкую известность и оказался весьма эффективным. [c.35]

Неасимптотическая устойчивость не является, вообще говоря, грубым свойством, что легко видеть на примерах. Е. А. Барбашин (1950— 1951) доказал грубость асимптотической устойчивости для стационарных уравнений возмущенного движения в предположении непрерывной дифференцируемости функций (х). Грубость асимптотической устойчивости в случае периодических по времени дифференцируемых функций (х, г) была показана X. Массера. Для общего случая функций Х, грубость равномерной по д о о асимптотической устойчивости показана [c.50]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Предполагая, что в общей ограниченной задаче выполняются условия, обеспечивающие существование лагранжевых или эйлеровых решений, представляющихся в координатах Нехвила точками либрации, мы можем теперь поставить задачу об устойчивости этих решений в смысле Ляпунова. Решение этой задачи (когда это возможно) дает представление о характере решений уравнений возмущенного движения (5.47), близких к какому-либо либрационному решению, соответствующему какой-либо из возможных точек либрации, координаты которой обращают в нуль правые части уравнений (5.47) при любом значении независимой переменной v. Однако задача об устойчивости точек либрации, т. е. задача об устойчивости нулевого решения системы (5.47), вообще чрезвычайно сложна и решение ее в самом общем виде, т. е. при любых законах действующих сил, вряд ли может быть выполнено и доведено до конца. [c.249]

Прн наличии корней с равными нулю вещественными частями и отсутствии корней с положительными вещественными частями устойчивость и неустойчивость определяются нелннейнымн членами уравнений возмущенного движения. См. Ляпунов А, М. Общая задача об устойчивости движения. — Собр. соч., т. П. — М. ЛН СССР, 1956, с. 7—263. [c.248]

Общее определение устойчивости (446) — 2. Примеры устойчивых и неустойчивых решений диференциальных уравнений (449)—3. Диференциальные уравнения во1мущ нного движения (452) — 4. Интегрирование уравнений возмущенного движения (455). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...