Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина

Для реализации такого подхода предлагается использовать принцип максимума А. С. Понтрягина, применяемый для решения задач об оптимальном управлении. Принцип максимума состоит в том, что для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действия [11]. В соответствии с этим принципом условие минимальности целевой [c.96]

Решение задач оптимального управления ПР основано на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина и метода динамического программирования. Поиск оптимального решения многовариантной задачи производится с использованием ЭВМ. [c.521]

Добавляя критерий оптимальности и ограничения, можем сформулировать задачу оптимального управления найти такое управление (воздействие приводного механизма на простейшую модель), которому соответствует экспериментальное значение критерия оптимальности при заданных ограничениях. Задачу можно решать разными методами с помощью принципа максимума Понтрягина [5 [4, 8—10, 12, 25, 41, 48 и др.]) динамического программирования [5] вариационными [44] используя инженерные рассуждения [1, 7, 13, 22, 29, 32, 34, 41 и др.] численными [44] ([27]) моментов ([46]). [c.119]

Некоторые аналитические решения задачи проектирования круглых пластин получены на основании теории предельного равновесия [133]. Известны попытки применения методов теории управления и принципа максимума Понтрягина для проектирования диска [25, 40, 66]. Эта задача решается в предположении, что материал подчиняется определенному критерию текучести при наложении ограничений на эту величину и определении оптимального управления (закона распределения толщин), отвечают,его заданным ограничениям при минимуме массы. Перечисленные методы позволяют решать некоторые частные задачи. [c.202]

Второй подход связан с применением характеристических рядов для представления решений в отдельных зонах. Здесь получены точные или приближенные аналитические решения ряда одномерных экстремальных задач, когда за фиксированный промежуток времени требуется сжать плоский, цилиндрический или сферический слой газа до произвольной конечной степени при наименьших затратах энергии. С использованием аналитических конструкций и принципа максимума Понтрягина удалось построить законы оптимального управления с одной точкой переключения для серии такого типа задач. [c.10]

Рассмотрим задачу о построении оптимального управления v t) в классе допустимых управлений V г (t) v (t) 0 , минимизирующего функционал (4.1). При помощи принципа максимума Понтрягина задача сводится к минимизации функции [c.410]

После этого поставленная задача является классической задачей оптимального управления, для решения которой можно эффективно воспользоваться принципом максимума Понтрягина [7 . [c.420]

Заключительный 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина. [c.106]

В практических задачах ограничения нередко образуют некоторое замкнутое множество допустимых значений управлений. В таких случаях решение соответствующей задачи оптимального управления на основе классических методов вариационного исчисления становится невозможным. В рамках подобных задач и были созданы принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана, образовавшие ядро современной математической теории управления. [c.63]

В задачах первого типа требуется найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение механической системы за заданное время из начального фазового состояния в заданное целевое множество с минимальными затратами на преодоление сил сопротивления среды. Такие задачи имеют следующие особенности. Во-первых, они нерегулярны [26], если только в текущее выражение для мощности сил сопротивления не входят в явном виде управляющие воздействия. Действительно, действующие на механическую систему управляющие силы и моменты входят в уравнения ее движения линейно. Отсюда гамильтониан зависит от управляющих сил и моментов также линейно. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не содержат в явном виде управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Во-вторых, как показывает опыт, это верный признак того (и так оно оказалось), что оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для нахождения оптимальных программ (в [12] дано обобщение принципа максимума Понтрягина на простейшие классы импульсных управлений). Задачи, исследованные во второй и третьей главах, принадлежат данному типу. [c.39]

Предположим теперь, что сила и момент, действующие на головку рассматриваемого организма, пренебрежимо малы. Тогда (2.5) является стандартной задачей оптимального управления с линейными связями и квадратичным функционалом [2]. Она может быть решена при помощи принципа максимума Понтрягина [3]. Здесь мы, однако, приведем другое эквивалентное решение с использованием более традиционных и щироко известных методов вариационного исчисления. [c.149]

Разработаны многочисленные методы решения задач оптимизации при различных видах целевой функции, уравнениях связи и типах ограничений (градиентные, случайного поиска, динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.), позволяющие решать достаточно общие задачи оптимизации и оптимального управления. [c.624]

В монографии излагаются асимптотические методы решения широкого класса задач оптимального управления, содержащих малые па-раметры. Регулярно и сингулярно возмущенные задачи исследуются с помощью единого подхода, который опирается, с одной стороны, на фундаментальный результат теории оптимальных процессов - принцип максимума Л. С. Понтрягина, а, с другой, - на асимптотические методы теории дифференциальных уравнений. [c.5]

Вычисления начинаются с решения базовой задачи (10.2), которая, как и исходная, является нелинейной. Численные методы решения нелинейных задач ориентированы на нахождение не столько оптимального управления, сколько экстремали Понтрягина. Поэтому будем считать, что в результате решения базовой задачи построена экстремаль mV) tkT, Соответствующие траектории прямой и сопряженной систем обозначим через j (i), t Т. Согласно принципу максимума [c.65]

Дальнейшее развитие получила в 50—60-х годах теория оптимальных систем. Алгоритмы строго оптимальных управляющих устройств могут оказаться весьма сложными. Однако для систем не очень высокого порядка п — 3 -ь- 4) можно получить вполне приемлемые по простоте и весьма близкие к оптимальным алгоритмы управления. Задача об оптимальном управлении в общем случае была решена в 1956 г. Л. С. Понтрягиным и его учениками. Ими был установлен принцип максимума, позволивший решать широкий круг задач теории оптимальных систем. В дальнейшем был получен другой оригинальный вывод принципа максимума и была доказана достаточность этого принципа для линейных систем была впервые выяснена связь между принципом максимума и динамическим программированием и был выведен принцип максимума для линейных дискретных систем. На основе принципа максимума была развита теория оптимальных систем, в которых управляемый объект характеризуется распределенными парамет- [c.271]

Традиционные методы оптимизации, основанные на принципе максимума Л. С. Понтрягина [21, 58], сводят задачу к отысканию оптимального программного управления Up (i), после чего оптимальное ПД дСр (О получается как решение уравнения динамики [c.56]

Поставлена и решена задача о безударном холодном сжатии одномерных (плоского, цилиндрического и сферического) слоев баротропного газа, требующем для достижения заданной степени сжатия минимальной внешней энергии. Начальное состояние газа предполагается однородным. В плоском случае получено точное решение задачи (построены законы оптимального управления движением поршня) с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина, в цилиндрическом и сферическом — приближенное с использованием метода характеристических рядов. В плоском случае найдена величина энергетического выигрыша по сравнению с традиционным автомодельным способом сжатия, оказавшаяся достаточно заметной и зависящей от вида уравнения состояния. Приведены результаты численных расчетов для изученного более подробно цилиндрического случая, которые проведены на основе построенного аналитически закона оптимального управления движением поршня с одной точкой переключения управления. Часть результатов в кратком изложении содержится в [Г. [c.403]

Общим свойством таких конструкций оказалось постоянство мощности диссипации энергии в единице объема тела, во всех точках которого должно происходить пластическое течение. На основе этой теории решены некоторые задачи оптимального проектирования плит и оболочек. Если рассматривать конструкцию как некоторую большую систему, для которой надлежит найти оптимальное управление, то для задач оптимального проектирования весьма полезными оказываются такие методы технической кибернетики, как динамическое программирование и принцип максимума Л. С. Понтрягина. [c.271]

В работе Ю. А. Горелова (1960) были определены условия, выполнение которых обеспечивает экстремальное движ ние ракеты по криволинейной траектории. Состав оптимального управления в задаче ракетодинамики движения с идеальным невесомым двигателем ограниченной тяги в плоскопараллельном гравитационном поле был подробно исследован в работах В. К. Исаева (1961—1962). Им была показана эффективность применения принципа максимума Л. С. Понтрягина (1961) в решении сложных задач ракетодинамики. Метод Л. С. Понтрягина завоевал особую популярность в последние годы, с чем связан большой прогресс, достигнутый во всем мире при решении практических задач ракетодинамики со сложными ограничениями. [c.274]

Определение 6.1. Экстремаль Понтрягина u t г е [Го Г ], в задаче (6.6) назовем нормальной, если среди векторов Лагранжа (Хо,Х ,..., Х ), соответствующих в силу принципа максимума этому управлению, найдется такой, у которого Хд > 0. Оптимальное управление будем называть нормальным, если оно является нормальной экстремалью. [c.29]

Принцип максимума Понтрягина. Обобщением вариационного метода Лагранжа является метод, основанный на принципе максимума Понтрягина [256]. Он был разработан применительно к задачам теории оптимального управления, однако то обстоятельство, что он дает возможность искать оптимальные решения среди более широкого класса функций, делает его применение перспективным и к решенпю задач акустической оптимизации машинных конструкций [207, 346, 355, 356]. Метод состоит в следующем. [c.266]

Решение задач оптимального управления строится при помощи-принципа максимума Л. С. Понтрягина, метода динамического программирования и других методов теории оптимальных процессов [6, 14, 16, 23, 24]. Для колебательных систем со многими степенями свободы задачи оптимального управления представляют, как правило, значительные математиче ки е и вычислительные трудности. Применение вычислительных методов, эффективных для построения программных управлений, затруднено в случае построения синтеза оптимального управления. [c.370]

Выше было уже отмечено, что в сороковых и пятидесятых годах специалисты, работавшие в области приложений, столкнулись с большим числом серьезных проблем оптимального управления. Большинство этих зада решалось методами классического вариационного исчисления, которые по ходу дела приспосабливались к этим задачам. В этот период ощущалось отсутствие общего критерия оптимальности, широкого по содержанию, строго обоснованного и удобного по форме для задач управления. Постановка общей задачи об оптимальном управлении при условии минимума времени Т переходного процесса, о которой шла речь в предыдущем параграфе, вызвала серьезный интерес у математиков. Результатом этого интереса явилась математическая теория оптимальных процессов, разработанная в 1956—1960 годах Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко и подытоженная этими авторами в их известной монографии Математическая теория оптимальных процессов (1961). Эта фундаментальная теория базируется на принципе максимума, указывающем необходимые условия оптимальности для основного круга проблем программного управления. Принцип максимума учел по существу типичные особенности этих проблем, удовлетворив насущные запросы теории управления. [c.187]

В математической теории оптимальных процессов используются достаточно широкие классы управляющих воздействий, которые, как правило, являются либо кусочно-непрерывными, либо измеримыми функциями. Такая идеализация реальных управлений позволяет получать изящные результат , к которым относится и знаменитый принцип максимума Л. С. Понтрягина. Между тем, многие используемые на практике управления, являясь инерционными, не могут мгновенно (с бесконечно большой скоростью) изменять свои значения. Учет инерционности управляющих воздействий приводит к задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и существенно усложняет как теоретические результаты (принцип максимума), так и конструктивные методы решения. В настоящем параграфе исследуется важная для приложений [64] промежуточная ситуация, когда используются инерционные управления, но их инерционность достаточзю мала. Для решения задач оптимизации динамических систем в классе малоинерционных управлений предлагается асимптотический метод, который позволяет обойти трудности, связанные с наличием фазовых ограничений. При применении асимптотического подхода дело сводится к решению базовой задачи без фазовых ограничений и к сравнительно несложной коррекции точек переключения ее оптимального управления, которая позволяет получить решение исходной задачи с любой наперед заданной асимптотической точностью. [c.151]

Задачи настоящего параграфа составлены в расчете на читателя, владеющего аппаратом оптимального управления, в частности, процедурой и идеями принципа максимума Л. С. Понтрягина и методом динамического программирования Р. Веллмана. Помимо решения задач механики методами оптимального управления, цель раздела состоит и в том, чтобы продемонстрировать роль методов аналитической механики в теории оптимального управления. [c.273]

К сожалению, соотношение (20.15) в общем случае не обосновывается. Однако для ряда задач и при определенных ограничениях подобное сведение проблемы игрового синтеза к подходящим программным задачам было обосновано. Программная задача, описанная выше, была сформулирована и изучена в работе Д. Л. Келенджеридзе (1962). Математическое исследование одной из общих проблем синтеза в связи с принципом максимума для подходящих программных задач было выполнено Л. С. Понтрягиным (1964), который рассматривал дифференциальную игру при I = Т. Условия этой игры несколько отличны от условий, перечислявшихся выше. А именно, задача формулируется следующим образом. Пусть А — множество пар у (т), г (т) исходных состояний объектов. Преследование называется осуществимым на А, если при произвольном исходном положении (у (т), г (т)) Л и при произвольном управлении вторым объектом существует такое управление первым объектом, при котором преследование завершается за время, не превосходящее числа г(т)] > 0 при этом значение управляющего параметра и t) в любой момент времени t преследования определяется состояниями у 1) и г t) и, вообще говоря, значением управляющего параметра V 1) в тот же момент времени . Функция Т[у(т), считается оптимальной, если при любом исходном положении (у (т), г (т)) Л существует такое поведение второго объекта, при котором время преследования не может быть меньше числа Т1у< х),г(х)1- [c.226]

Анализ структуры оптимальных управлений, проведенный на базе принципа максимума Л. С. Понтрягина (1961), позволяет во всех случаях (1° — qy ( ) = 0 2° — qy ( )>0, Хтах =- 0 3° — qy ( ) >0, 1 > >> тах>0) расщепить исходную вариационную задачу (3.1) на весовую и динамическую части. [c.276]

Надо отметить, что в 1956—1961 гг. академиком Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками был предложен еще один метод решения задач на экстремум в замкнутой области, называемый принципом максимума . Этот метод — очень общий, так как он позволяет решать и ряд особых задач (в которых функционалы линейны относительно управления), важных для теории автоматического управления и в то же время с трудом поддающихся решению классическими методами. Для таких задач принцип максимума особенно удобен. В то же время именно вследствие своей общности этот метод слишком громоздок для решения наиболее часто встречающихся задач линейного характера. Для решения же линейных задач с ограничениями наиболее удобно пользоваться модификацией классических вариационных методов, использующих обобщенную теорему Эйлера и преобразование переменных, предложенное Н. Гернет. В настоящее время этот прием широко используется Ю. Н. Петровым в его многочисленных работах по оптимальным методам автоматического управления электроприводом. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...