Теорема Эйлера о движении твердого тела

Теорема Эйлера о движении твердого тела. Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства А = А(/). Если оси, связанные с телом, выбраны так, что при t — О они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь [c.136]

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 137 [c.137]

Уравнения Эйлера. — Уравнения, о которых идет речь, получаются применением теоремы моментов к движению твердого тела, имеющего неподвижную точку О. Если построить, относительно неподвижной точки, результирующий момент количеств движения, или кинетический момент (ОК), и, с другой стороны, результирующий момент внешних сил (00), то скорость точки К будет геометрически равна вектору (00). Заметим, что момент внешних сил приводится к моменту прямо приложенных сил, так как момент реакции в неподвижной точке относительно той же точки, очевидно, равен нулю. [c.86]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

Движение свободного твердого тела. Общим приемом составления уравнений движения свободного твердого тела является совокупное применение теоремы о движении центра инерции и динамических уравнений Эйлера, выражающих теорему об изменении главного момента количеств движения твердого тела в относительном движении по отношению к центру инерции. [c.543]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Пусть к гироскопу не приложено никаких внешних моментов. Тогда имеет место случай Эйлера движения твердого тела при А = В ф С Кинетический момент К будет постоянным как по величине, так и по направлению. В соответствии с теоремой 6.7.4 гироскоп осуществляет регулярную прецессию вокруг вектора кинетического момента. Ось фигуры вращается вокруг него с постоянной угловой скоростью прецессии [c.497]

Соотношение (111.67b) является четвертым алгебраическим интегралом дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14), не зависящим от времени. По теореме о последнем множителе Якоби задача сводится к квадратурам. Отметим, что задача С. В, Ковалевской приводится к квадратурам гиперэллиптического типа. Характер движения тела в случае Ковалевской гораздо сложнее, чем в случаях Эйлера и Лагранжа. В то время как в упомянутых двух классических случаях общие свойства движения твердого тела исследованы очень подробно, этого нельзя сказать о случае Ковалевской. Трудности, связанные с анализом движения тела в последнем случае, заставляют даже обратиться к экспериментальному изучению проблемы ). [c.453]

Ряд разделов книги дается в нетрадиционном изложении. Кинематика твердого тела основывается на теореме Эйлера о мгновенном движении твердого тела. В изложении общих теорем динамики системы материальных точек автор следует методике [c.2]

Рассмотрим два поперечных сечения 51 и5г на большом расстоянии от А вверх и вниз по потоку. Жидкость, заключенная между этими сечениями, может быть разделена на элементарные трубки тока, к каждой из которых применима теорема Эйлера о количестве движения. Наружные элементарные трубки тока ограничиваются стенками трубки, и на них компоненты давления перпендикулярны течению. На струйки тока, находящиеся в соприкосновении с препятствием Л, действует твердое тело с силой, составляющая которой в направлении потока равна — Р. По теореме Эйлера, результирующая всех давлений на жидкость равняется сумме [c.33]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку О, действует система заданных сил Р , р ,, Р (рис. 347). Одновременно на тело будет действовать реакция связи (на рис. не показана). Чтобы исключить из уравнений движения тела эту наперед не известную силу, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 144), представив ее в виде (71), т. е. в виде теоремы Резаля. Тогда, поскольку ш (/ )=0, будем иметь [c.408]

Однако можно исследовать движение твердого тела около-неподвижной точки более простым методом, воспользовавшись теоремой об изменении кинетического момента относительно точки О. Так как скорость любой точки тела по формуле Эйлера равна [c.434]

Из теоремы о сложении движений вытекает следствие всякое движение твердого тела складывается из поступательного переносного движения и относительного движения — вращения тела вокруг начала подвижной системы координат. В самом деле, пусть начало подвижной системы координат точка С совпадает с точкой Р твердого тела, а оси Сух, Су- , Су параллельны во все время движения соответствующим осям неподвижной системы координат 04i 2 3. Тогда Vp =0, 2e = ii = 0. Переносная скорость точки Л/а относительная = i xPM, т.е. соотношение А/ = V/. + 2 X РМ (формула Эйлера) выражает теорему сложения движений. [c.34]

Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера — Даламбера Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно полечить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения. Доказывается эта теорема аналогично теореме и на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой ( 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О. Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки А Vi В (рис. 132) тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы. [c.132]

Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой 2.12 1 Эйлера о поле скоростей твердого тела и теоремой 2.11.1 о сложении скоростей в относительном движении. [c.140]

Теорема о моменте количеств движения. Пусть среди возможных перемещений материальной системы существует вращение вокруг неподвижной оси z как твердого тела. Обозначим через бф элементарный возможный поворот системы вокруг оси z. Из теоремы Рис. 110 Эйлера имеем [c.148]

Вращение около неподвижной точки. Теорема Эйлера. Перемещение твердого тела из одного заданного положения в другое может быть получено различными путями. В частности мы можем представить себе, что некоторая произвольная точка тела перемещается из своего первоначального положения в конечное О, причем все другие точки тела имеют простое поступательное движение и описывают прямолинейные параллельные траектории равной длины. [c.8]

В большинстве книг по механике теорема Эйлера — Даламбера обычно формулируется применительно к конечным поворотам твердого тела с тем, однако, что непосредственно вслед за установлением существования осей конечных поворотов производится предельный переход к мгновенным осям вращения и затем определяется распределение мгновенных скоростей точек твердого тела при его сферическом движении. Следовательно, рассмотрение оси конечного поворота тела в теореме Эйлера—Даламбера — лишь промежуточный этап на пути к установлению (доказательству) существования мгновенных осей вращения и к заключительному выводу о распределении мгновенных скоростей точек твердого тела при сферическом движении. Именно этот заключительный вывод и представляет собой сущность рассматриваемой теоремы и состоит он, как известно, в том, что распределение мгновенных скоростей точек сферически движущегося твердого тела такое же, как и точек твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси, и что, следовательно, мгновенная скорость любой точки N твердого тела при сферическом движении выражается такой л<е формулой, как и при вращении вокруг неподвижной оси [c.28]

Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с множеством 9 резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, которые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показано, что как раз рождение большого числа невырожденных периодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи. [c.97]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое, тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные Hjm ft, 7S,. .., 7 (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция Ло связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 116), представив ее в виде (74), т. е, в виде теоремы Резаля, Тогда поскольку то(/ о)=0, уравнение (74) даст [c.341]

Кинематика оформилась как самостоятельная наука сравнительно недавно. Уже Даламбер указал на важность изучения законов движения как такового. Но первый, кто показал необходимость предпослать динамике теорию геометрических свойств движения тел, был Ампер. Эти свойства были представлены в 1838 г. Факультету наук в Париже Понселе. В этом представлении содержались, в частности, и теоремы о непрерывном перемещении твердого тела в пространстве, за исключением понятия мгновенной винтовой оси, которое было введено Шалем. Формулы, дающие вариации координат точек движущегося в пространстве тела, принадлежат Эйлеру (Берлинская Академия, 1750). Кинематика допускает многочисленные геометрические приложения. К ним относится, например, метод Роберваля построения касательных, теория мгновенных центров вращения, введенная Шалем, частный случай которой был дан уже Декартом в связи с задачей о касательной к циклоиде. К ним же относятся установленные Шалем свойства систем прямых, плоскостей и точек, связанные с движением твердого тела и приводящие наиболее простым образом к понятию комплекса прямых первого порядка. В 1862 г. Резаль выпустил курс Чистой кинематики . С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась в качестве самостоятельной науки. [c.56]

Соотношение (7.33) и сформулированная теорема и следствие с соотношениями (7.34) и (7.35) и указанием о конфигурации единичных винтов бинормалей и образующих представляют обобщение теоремы Эйлера-Савари для произвольного движения твердого тела. [c.168]

Приводится метод доказательства теоремы о совпадении поля скоростей точек твердого тела с полем главных моментов определенного торсора, не обращаясь к теореме Эйлера — Даламбера. Принадлежность торсоров к линейным пространствам позволяет просто представить задачу о разложении и сложении движений твердого тела. [c.125]

В книге изложена общая теория описания винтов с помощью особых комплексных чисел и даны приложения теории к определению конечных поворотов твердого тела (сложение и разложение поворотов), к анализу и синтезу пространственных механизмов. Рассмотрены задачи, решаемые методом винтов о движении тела под действием расположенных на нем маховиков или других произвольно движущихся масс, об измерении пространственного движения тела с помощью инерционных датчиков, пространственное обобщение теоремы Эйлера-Савари, играющей большую роль в теории зацепления задача о колебаниях упруго подвешенного тела и ряд других. [c.2]

Замечание. Скорость произвольной точки твердого тела, определяемую формулой Эйлера, можно рассматривать как скорость движения материальной точки в сложном движении в соот--ветствин с теоремой о сложении скоростей. При этом олно ш рас- [c.79]

II3.naratT H способ графического наглядного доказательства теоремы о распределении скоростей точек твердого тела при его сферическом движении (теоремы Эйлера — Даламбера). [c.126]

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Ковалевской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], доказавшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется однозначными (е частности, мероморфными) функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как и классические интегралы, являются многочленами, т. е. рассматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскостей. Эти результаты указывают на целесообразность расширения задачи Пенлеве какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...