ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Эйлера о движении твердого тела из "Классическая механика " В каждый следующий момент времени преобразование А (О будет, вообще говоря, нетождественным, и так как физически реальное движение должно быть непрерывным, то матрица А (/) будет непрерывной функцией времени. Таким образом, рассматриваемое преобразование будет начинаться с тождественного и затем непрерывно изменяться. [c.136] При таком методе описания движения мы можем получить важные его характеристики, пользуясь лишь развитым выше математическим аппаратом. Одной из основных теорем здесь является так называемая теорема Эйлера, согласно которой произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси. Перейдем к ее доказательству. [c.136] Левая часть этого уравнения написана в форме матрицы, подобной матрице А. [Чтобы привести ее к виду (4.41), нужно обозначить Х через Y.] Таким образом, уравнение (4.80) позволяет следующим образом сформулировать задачу об отыскании собственных значений матрицы нужно найти такую матрицу, которая преобразовывает данную матрицу А в диагональную. Элементы полученной диагональной матрицы будут тогда искомыми собственными значениями. [c.138] Докажем теперь несколькс/ простых лемм, касающихся собственных значений матрицы. [c.138] Преобразование S изменяет знак каждой из составляющих вектора. Можно также сказать, что оно изменяет направления координатных осей на противополож-ные (рис. 44) и превращает пра-/ вую систему координат в левую оно известно как инверсия. [c.140] Все то, что верно для матрицы S, в равной мере верно и для любой матрицы, детерминант которой равен — 1, так как каждую такую матрицу можно представить как произведение матрицы S на некоторую матрицу, детерминант которой равен + 1. Следовательно, такая матрица включает в себя операцию инверсии и поэтому не может описывать поворот системы координат как твердого тела. Стало быть, преобразования, описывающие движение твердого тела, должны быть ограничены матрицами, имеющими детерминант, равный -f- 1. [c.140] Другое доказательство этой леммы основывается на том факте, что матрица рассматриваемого преобразования может быть получена посредством непрерывного изменения единичной матрицы, детерминант которой, разумеется, равен +1. Поэтому было бы несовместимо с непрерывностью движения, если бы детерминант этой матрицы изменялся в некоторый момент времени скачком, от значения +1 ДО значения — 1 ). [c.140] Теперь нам потребуется еще одна лемма. [c.141] Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если X есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряженное уравнению (4.83), мы увидим, что к есть решение того же самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу. [c.141] Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141] Непосредственным следствием теоремы Эйлера является теорема Шаля, согласно которой произвольное перемещение твердого тела в пространстве является поступательным перемещением плюс вращение. Подробное доказательство этой теоремы вряд ли является необходимым. Она вытекает из того простого факта, что в случае уничтожения связи, удерживающей одну точку тела неподвижной, появляются три степени свободы для начала координат системы, связанной с телом. [c.142] Вернуться к основной статье