Решение частных задач кручения

Решение частных задач кручения [c.188]

Приведем несколько примеров решения частных задач кручения призматических брусьев. [c.188]

Первое теоретическое исследование чистого кручения стержней некруглого сечения было выполнено Сен-Венаном в 1864 г., им же был разобран и ряд частных случаев решения этой задачи (кручение стержней прямоугольного и эллиптического сечения). На основе разработанного Сен-Венаном общего метода [c.183]

Общ,ая теория кручения и различные решения в отдельных частных случаях изложены в статье Ф. Ауэрбаха ). При решении сложных задач кручения очень полезным методом является аналогия с мембраной, так называемая аналогия Л. Прандтля Если ввести [c.567]

Как известно (гл. 4), задача о распределении напряжений в анизотропном теле вблизи цилиндрического выреза эллиптического или кругового сечения решена сравнительно простым методом, с помощью конформного отображения и рядов. Получено решение для тела, находящегося в условиях обобщенной плоской деформации и плоской задачи, для нагрузки общего вида, и доведены до конца решения частных задач. Для выреза с сечением в виде эллипса или круга найдено строгое решение, а для вырезов иной формы — приближенное, если вырез можно рассматривать, как мало отличающийся в сечении от эллиптического или кругового или в случаях, когда анизотропию можно считать слабой (см. [21], гл. 7, 8). Решено уже довольно большое число задач о кручении тела с включением или вырезом (см. [21], гл. 8, 76). [c.396]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

В решениях обратных задач задаются либо перемещения, либо компоненты тензора деформаций в рассматриваемом теле и определяются все остальные величины, в том числе и внешние силы. Решения обратных задач особых трудностей не представляют, однако не всегда возможно прийти к решениям, представляющим какой-либо практический интерес. Исходя из этого Сен-Венаном предложен полуобратный метод, состоящий в частичном задании одновременно перемещений и напряжений, затем в определении при помощи уравнений теории упругости уравнений, которым должны удовлетворять оставшиеся перемещения и напряжения. Полученные уравнения сравнительно легко интегрируются. Таким образом, этим методом можно получить полное и точное решение для большого числа частных задач, наиболее часто встречающихся в практике. Сен-Венан применил свой метод к задачам нестесненного кручения и изгиба призматических тел. [c.89]

О расчете концентрических пружин упоминалось в главе Кручение , к тому же это частная задача, решение которой не может вызвать затруднений соответствующий пример подробно рассмотрен в учебнике [12]. [c.205]

Наши успехи в решении задач о плоской деформации были обусловлены тем, что эти задачи обладали трансляционной симметрией в направлении, перпендикулярном плоскости деформации этому же обстоятельству мы обязаны определенными успехами и в решении осесимметричных задач. Мы вправе ожидать (как это имеет место и в других разделах математической физики), что при отсутствии симметрии какого-либо специального вида невозможно получить явные аналитические решения соответствующих задач. Существуют, однако, другие, до сих пор не рассмотренные нами классы симметричных задач, например задача об осесимметричном кручении. В качестве первого этапа решения таких задач мы кратко наметим общую теорию, не использующую никаких частных предположений о геометрии задачи. [c.345]

Из (2.6.1) легко видеть, что в этом случае у = О — центр жесткости сечения, имеющего ось симметрии, расположен на этой оси. При наличии двух осей симметрии центр жесткости С сечения совпадает с точкой пересечения этих осей, то есть с центром инерции О. В этом частном случае рассмотрение задачи изгиба не требует решения задачи кручения. [c.385]

Кручение стержня прямоугольного сечения. Тема о кручении стержней в течение ста с лишним лет, со времени классического мемуара Сен-Венана, была и остается предметом многочисленных исследований. Накопленные результаты необозримы, а для построения решений использовалось все многообразие точных и приближенных методов математической физики следует отметить и обратное влияние — задача кручения служила образцом, на котором развивались эти методы и проверялись возможности их эффективного использования. Далее будет приведено небольшое число решений для областей частного вида. [c.401]

Показано, что нелинейные эффекты деформации слоя и слоистых конструкций, наблюдаемые уже при малых деформациях, объясняются деформационной анизотропией резины и проявляются Через уравнения равновесия. Рассмотрены некоторые частные задачи — плоская и осесимметричная деформация, в том числе кручение слоя. Даны примеры решения краевых задач. [c.29]

Изложен оригинальный общин приближенный метод решения проблемы изгиба и кручения стержней и даны применения его к различным частным задачам. [c.11]

О решении задачи кручения для различных частных случаев. [c.504]

Решение задачи кручения для некоторых частных случаев. [c.62]

Связь, устанавливаемая уравнениями (8.11) между функцией кручения ср(х, у) и функцией Sf(x,y), определяющей согласно (8.12) контур соответствующего поперечного сечения, позволила Сен-Венану предложить следующий изящный прием решения ряда частных задач. [c.219]

Прежде чем рассмотреть решения для различных частных видов поперечного сечения, целесообразно обсудить иную формулировку задачи кручения. [c.158]

Прямоугольное поперечное сечение. Решение задачи кручения для прямоугольного сечения удается получить только в виде ряда Фурье. При этом можно отыскивать в виде ряда или решение гармонического уравнения Лапласа для функции депланации ф, или решение уравнения Пуассона для ф. Пусть прямоугольная область задана при —Ь < л < й, —а < у < а (см. рис. 7.11). Вследствие симметрии функция кручения Прандтля должна быть четной относительно хну. Для дифференциального уравнения Аф = О с граничным условием ф/г = О функция ( 2 — х ) как частное решение для узкого прямоугольника при Ь а уже рассматривалась. Естественно поэтому ввести [c.163]

В книге приводятся общие уравнения теории упругого равновесия тел, обладающих упругой анизотропией различных типов, как однородных, так и неоднородных. Дается математическая формулировка общих задач равновесия упругого анизотропного тела и наиболее важных проблем — растяжения, кручения, изгиба, плоской задачи, осесимметричной деформации и их обобщений. Даны решения большого числа частных задач, относящихся ко всем разнообразным проблемам, полученные как самим автором, так и другими исследователями. Как правило, все задачи доводятся до явных формул, а в ряде случаев — до таблиц и графиков. [c.2]

Последние две главы, восьмая и девятая, посвящены исследованию упругого равновесия анизотропных тел вращения, которые деформируются под действием внешних усилий, но при этом остаются телами вращения. Такого рода деформации возможны лишь для частных случаев анизотропии и для частных случаев распределения нагрузки. Можно различить два вида напряженно-деформированного состояния, при котором тело вращения переходит в тело вращения 1) кручение и 2) осесимметричная деформация. В данной главе мы выводим общие уравнения теории кручения тел вращения и даем решения нескольких задач, представляющих практический интерес. [c.345]

Другим примером успешного приложения экспериментов при решении задач теории упругости является метод мыльной пленки для определения напрял<ений при кручении и изгибе призматических стержней. Трудная проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях заменяется в этом случае измерениями наклонов и прогибов соответствующим образом натянутой и нагруженной мыльной пленки. Эксперименты показывают, что таким путем можно получить не только визуальную картину распределения напряжений, но и приобрести необходимую информацию относительно величины напряжений с точностью, достаточной для практических целей. [c.16]

Мы видели, что решение задач о кручении в каждом частном случае сводится к определению функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (150) и граничному условию (152). При выводе приближенного решения задачи полезно вместо обращения к дифференциальному уравнению определять функцию напряжений из условия минимума некоторого интеграла, ) который можно получить, рассматривая потенциальную энергию скручиваемого стержня. Потенциальная энергия скручиваемого стержня, приходящаяся на единицу длины, согласно выражению (136), определяется формулой [c.322]

Мы здесь не будем приводить решений частных задач некоторые из них, относящиеся к родственной проблеме кручения, были даны в 56. Отметим лишь, что много частных случаев рассмотрено в работах Л. С. Лейбензона [17] и [55], а также в монографии В. С. Саркисяна [29]. Частный случай — удлиненное сечение , когда ширина сечения значительно больше его высоты (или толщины) рассмотрен и в нашей книге [20]. [c.330]

До открытия общих уравнений существовала теория кручения и изгиба балок, ведущая свое начало от исследований Галилея и соображений Кулона. Проблемы, являющиеся предметом этих теорий, принадлежат к числу наиболее важных по своему практическому значению, так как многие проблемы, с которыми приходится иметь дело инженерам, в грубом приближении сводятся к вопросам сопротивления балок. Коши был первым исследователем, который пытался применить общие уравнения к проблемам этого рода и, хотя его исследование о кручении прямоугольной призмы 85] оказалось ошибочным, оно все же имело большое сторическое значение, так как он установил, что поперечные сечения не остаются Плоскими, Значение его исследований для практических приложений было невелико. Практические руководства первой половины прошлого столетня содержат теорию кручения, которая приводит к выводам, принадлежащим, как мы уже указывали. Кулону этот вывод состоял в том, что сопротивление кручению равно произведению упругой постоянной на величину угла закручивания, отнесенного к единице длины (степень кручения), и на момент инерции поперечного сечеиия. В отношении изгиба практические руководства этого времени следовали теории Бернулли-Эйлера (в действительности принадлежащей Кулону), согласно которой сопротивление изгибу связано только с растяжением и сжатием продольных волокон. Сен-Венану принадлежит заслуга приведения проблемы кручения и изгиба балок в связь с общей теорией. Он учитывал трудность нахождения общих решений и настоятельную необходимость получения в практических целях какой-либо теории, которая могла бы служить для определения деформаций в сооружениях ему было вполне ясно также, что только в очень редких случаях можно знать точное распределение нагрузки, приложенной к части какой-либо конструкции это привело его к размышлениям о методах, применявшихся к решению частных задач до того, как были получены общие уравнения. Таким образом о пришел к изобретению полу-обратного метода, который носит его имя. Многие из обычных допущений и выводов, оказываются верными, по крайней мере, в большинстве случаев следовательно, сохраняя некоторые из этих допущений и выюдов, можно упростить уравнения и получить их решения правда, пользуясь этими решениями, мы не можем удовлетворить любым наперед заданным граничным условиям однако же граничные условия практически наиболее важного типа могут быть удовлетворены. [c.32]

Оба указанных условия пластичности в настоящее время можно считать достаточно правильно отражающими начало пластических деформаций в телах. При решении частных задач теории пластичности можно остановиться на том из них, которое математически упрощает решения. Впрёчем, по существу обнаружилась большая точность условия Мизеса. Это становится очевидным уже из сравнения результатов опытов на растяжение и кручение. Применяя к опыту на растяжение (ад = ад — О, Oj = а,) условие пластичности Сен-Венана, находим Хд = O,50g. Применяя его теперь к кручению, заключаем, что пластичность при кручении наступает тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает значения 0,5 о . Опыты, о которых будет речь в следующем параграфе, показываю , что пластические деформации при кручении появляются, когда х достигает несколько большей величины порядка 0,56 — 0,6 Из условия Мизеса (1.106) для случая кручения [c.55]

В силу линейности исследуемых систем уравнений можно разыскивать решение, соответствующее системе вне1лних нагрузок, эквивалентных Р и М в виде суммы частных решений, соответствующих отдельным компонентам векторов Р н М. Решение, соответствующее компоненту Рз, — известное решение элементарной задачи о растяжении стержня продольной силой. Задача, соответствующая компоненту М , называется задачей кручения, две различные задачи, одна из которых соответствует компоненту Р или Ра. а вторая —Ajj или М , называют задачами об изгибе стержней концевой силой и моментом. [c.64]

Для прямоугольника Xi = b, Хг = 1ъ граничные условия будут следующими при xi = .b Т1 = ф,2 = 0, при Тг = = ф,1 = 0. Таким образом, па контуре прямоугольника ф = onst или ф = 0. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким же способом, как для задачи кручения в 9.9. Частное решение уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при х = Ъ, есть [c.321]

Точные решения задач изгиба известны лишь для немногих частных случаев, в которых поперечные сечения имеют некоторые простые формы. Для целей практики важно иметь способы решения таких задач для любой заданной формы поперечного сечения. Этого можно достичь с помощью численных расчетов, основанных на методе конечных разностей, как показано в Приложении I, или экспериментальным путем с помощью глетода мыльной пленки ), аналогично способу, использованному для решения задач о кручении (см. стр. 309). Для теоретического обоснования метода мыльной пленки воспользуемся уравнениями (181), (182) и (183). Приняв [c.377]

Сравнивая методы решения задачи кручения в напряжениях и в перемещениях, можно заметить, что оба метода обладают достоинствами и недостатками. Введение функции напряжений приводит к неоднороднойу дифференциальному уравнению в частных [c.36]

Задаваясь некоторыми свойствами смещений, вытекаюпщми из умозрительного рассмотрения задачи, и предполагая отсутствие продольных составляющих касательных напряжений на боковых поверхностях стержней, Сен-Венан показал непротиворечивость принятых предположений и свел задачу о кручении к решению уравнения Лапласа для продольного смещения частиц первоначально плоского поперечного сечения стержня, а задачу об изгибе — к решению уравнения Пуассона для некоторой вспомогательной 56 функции (при этом распределение напряжений на торцах стержня находится из решения). Сен-Венан подробно разобрал кручение и изгиб стержней с эллипсоидальным и прямоугольным поперечным сечением, а также множество других частных задач. Все его изложение проникнуто чисто инженерным духом — стремлением довести решение до числа и графика, изучить наиболее опасные, с точки зрения прочности, области сечения и дать совершенно ясные примеры расчетов. [c.56]

В тех случаях, где теория упругости не дает точного ответа на по ставленную задачу, мы считали необходимым указывать на приближенные методы решения вопроса. Приближенным способам интегрирования дифференциальных уравнений, встречающихся в теории упругости, мы придаем большое значение и полагаем, что решение целого ряда весьма важных технических задач зависит от развития этих методов. В нашем курсе мы считали необходимым хотя бы вкратце коснуться известного приема решения уравнений математической физики, предложенного Вальтером Ритцем , и применили этот прием при решении плоской задачи и при исследовании изгиба и кручения призматических стержней. Отметили вычислительный метод решения уравнений в частных производных, разработанный Л. Ричардсоном а также вычислительный и графический методы, предложенные К. Рунге и разработанные его учениками [c.10]

А. И. Лурье (1939) применил метод Канторовича к задачам изгиба и кручения симметричного профиля, ограниченного параллельными прямыми и алгебраическими кривыми, выражаемыми двучленными уравнениями. Весьма подробно рассмотрела задачи о кручении треугольников, прямоугольного и равнобедренного, Н. О, Гулканян (1953). Введением специального вида неортогональных координат Н. X. Арутюняну удалось решить задачи о кручении уголка и швеллера (1942), в другой работе он получил решение задачи кручения для эллиптического кольцевого сектора, изотропного или с анизотропией частного вида (1947). [c.27]

Для определения значений х, у в различных точках треугольника ab (плоскости ij) можно либо применить функцию РиманаП), либо численное интегрирование Л1ассо. Поскольку наиболее интересные практически частные задачи решены Прандтлем в простой замкнутой форме, мы не будем излагать названных выше способов решения уравнений (6.26), отсылая интересующихся к работам Хри-стиановича и Соколовского i l последним даны многочисленные примеры построения характеристик, относящиеся как к плоской задаче пластичности, так и к задаче кручения. [c.332]

Первая задача, относящаяся к проблеме стесненного кручения тонкостенного стержня, была поставлена и рещена в России в 1905 г. С. П. Тимошенко В его работе рассмотрено кручение двутавровой балки, одно из сечений которой остается плоским. В основе решения, посвященного этой частной задаче, можно усмотреть зачатки тех гипотез, которые спустя тридцать лет позволили построить современную прикладную теорию, относящуюся к произвольным условиям нагружения и закрепления для стержня любого профиля. [c.202]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Теория чистого кручения Сен-Венана. Наиболее значительный вклад в теорию кручения стержней сделал Б. Сен-Венан. В своих знаменитых Мемуарах [278] он впервые получил точное решение задачи статического кручения стержней произвольного профиля и псследовал гиножество стержней частного вида. Несмотря на то, что работа Б, Сен-Венана относится к так называемому чистому кручению, в этом пункте в сжатом виде приведены основные его результаты, так как все приближенные теории крутильных колебашш, приводимые ниже, так или иначе их используют. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...