Функция кручения Прандтля

Кручение призматических стержней. В этом случае компоненты вектора А представляют две отличных от нуля компоненты тензора напряжений (Д = /7,3, 2 / 2з) функция fJ Yy/ — так называемая функция кручения Прандтля, ц уср —функция кручения, введенная Сен-Венаном, где 2ц сдвиговой модуль упругости, у — погонный угол закручивания. Зависимость внешнего (приложенного к бесконечному стержню) крутящего момента М от у определяется из соотношения (А = (У у/х 3 )) [c.180]

Функция кручения Прандтля [c.158]

Связь между функцией депланации и функцией кручения Прандтля [c.159]

Если принять функцию кручения Прандтля в виде [c.160]

Прямоугольное поперечное сечение. Решение задачи кручения для прямоугольного сечения удается получить только в виде ряда Фурье. При этом можно отыскивать в виде ряда или решение гармонического уравнения Лапласа для функции депланации ф, или решение уравнения Пуассона для ф. Пусть прямоугольная область задана при —Ь < л < й, —а < у < а (см. рис. 7.11). Вследствие симметрии функция кручения Прандтля должна быть четной относительно хну. Для дифференциального уравнения Аф = О с граничным условием ф/г = О функция ( 2 — х ) как частное решение для узкого прямоугольника при Ь а уже рассматривалась. Естественно поэтому ввести [c.163]

Функция кручения Прандтля (7.65) становится равной [c.165]

Функция депланации ф(х,у), а также функция х(х,у), связанная с функцией кручения Прандтля 1р х,у), являются гармоническими функциями. Поэтому они могут быть представлены в виде вещественной и мнимой частей так называемой аналитической функции комплексной переменной. Такая формулировка задачи кручения оказывается весьма целесообразной, так как для рещения задачи тогда можно привлечь общие теоремы теории аналитических функций [c.168]

Очевидно, что Ф есть не что иное, как функция кручения Прандтля. [c.281]

При решении задачи о кручении иногда вместо функции кручения Сен-Венана ф удобно ввести другую функцию F, называемую функцией напряжений Прандтля. Она вводится по формулам [c.176]

Часто вместо функции il5(xi, Х2) вводят другую Ф .Гь Хг), называемую функцией напряжений при кручении или функцией напряжений Прандтля. Эта функция определяется формулой [c.177]

Задача упругопластического кручения может быть сформулирована несколькими способами [3], Например, используя функцию напряжений Прандтля F, можно записать основное дифференциальное уравнение в виде [c.69]

Таким образом, прогиб мембраны пропорционален функции кручения, а линии равного прогиба совпадают с траекториями касательных напряжений. Чем круче наклон мембраны в ка-кой-то точке, тем больше напряжения. В этом и заключается аналогия Прандтля. [c.270]

Введение функции напряжений Прандтля позволяет изменить весь ход решения задачи о кручении и найти прежде всего касательные напряжения в сечении (ср. 17 и 36). [c.230]

Для получения приближенных решений задач о кручении можно использовать и различные аналогии в теории кручения. Суш ность этих аналогий заключается в том, что основное уравнение теории кручения (уравнение для функции напряжений гр или уравнение для функции кручения ф) совпадает, с точностью до постоянных коэффициентов, с уравнениями для других задач механики и физики, которые легче решить, полностью или частично применяя эксперимент. Наиболее важной остается аналогия Прандтля (мембранная аналогия). Этими замечаниями мы и ограничимся, сославшись на книгу по кручению Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4], где вопрос об аналогиях разобран достаточно подробно и где дана литература. [c.287]

Не зависящие от х компоненты тензора напряжений представимы через функцию напряжений Прандтля Ф (х х ) в задаче о кручении стержня [c.71]

Итак, значения функции напряжений Ф (> , лг ) при кручении бруса сплошного сечения пропорциональны прогибам мембраны, равномерно натянутой на жесткий контур, повторяющий контур поперечного сечения скручиваемого бруса, и находящейся под действием одностороннего равномерного давления. В этом и заключается мембранная аналогия, установленная в 1903 году Прандтлем (1875—1953).. [c.149]

Решение задачи о кручении призмы при помощи функции Прандтля. Задача о кручении призмы становится особен ю изящной, если для описания ее используется функция ср, предложенная Прандтле.м. Эта функция задается во всей области О, т. е. во всем поперечном сечении призмы, и имеет вид [c.48]

Таким образом, решение проблемы о кручении призмы сводится к отысканию функции Прандтля, которая находится из уравнения (11.92) при граничном условии (11.93). После отыскания функции Прандтля, ненулевые компоненты напряжений находятся по формулам (11.90), ненулевые компоненты деформаций — из уравнений закона Гука по формулам [c.49]

Окончательная математическая формулировка задачи. Таким образом, проблема кручения призмы сведена к отысканию функции Прандтля ф (х, у) из дифференциального уравнения [c.53]

Заметим, что аналогичные дифференциальное уравнение и краевое условие (29.8) справедливы для прогиба мембраны, натянутой на жестком контуре, под действием равномерного давления. Эта аналогия, подмеченная Прандтлем, позволяет находить экспериментальное решение задачи кручения при помощи мыльной или какой-либо иной пленки в тех случаях, когда математическое решение уравнения Пуассона (29.10) для данного контура затруднительно. Так как функция напряжений содержит ш множителем, то отношения не зависят от (в, следовательно, главные направления в каждой точке фиксированы. [c.122]

А. Сен-Венан и М. Леви, сформулировав основы теории идеальной пластичности, не дали решения каких-либо двумерных задач. Затем последовал почти сорокалетний перерыв в разработке этой проблемы- Возникший вновь в начале XX в. интерес к теории пластичности был поддержан тем, что Л. Прандтль и А. Надаи нашли в начале 20-х годов решения нескольких важных задач, а Г. Генки исследовал свойства линий скольжения при плоской деформации. Надаи рассмотрел задачи кручения жестко-пластических и упруго-пластических стержней. Помимо аналитического решения, он воспользовался интересной физической аналогией. Согласно ей, поверхность, описываемая функцией напряжений, аналогична поверхности кучи песка, насыпанной на сечение скручиваемого стержня, причем угол внутреннего трения песка пропорционален напряжению текучести. Если это сочетать с аналогией с мыльной пленкой для функции напряжений при кручении упругого стержня, принадлежащей Прандтлю, то задача об упруго-пластическом кручении иллюстрируется при помощи модели пленки, раздуваемой под крышей , образуемой поверхностью кучи песка. [c.266]

Определенную таким образом не зависящую от степени кручения "С вспомогательную функцию называют функцией напряжения в задаче о кручении или функцией Прандтля. [c.245]

Здесь -ф х, у) называется функцией кручения Прандтля Если исключить из выражений (7.39) для напряжений функцию депланации Ф(х.у), то прежде всего получим dxzxjdy — [c.158]

Решение для прямоугольника с произвольным отношением сторон (рис. 7.11) в замкнутой форме невозможно (см. п. 7.4.5.4). Для очень узкого прямоугольника с й <С а удается получить очень полезное приближение при допущении хгх < Хгу- Граничное условие фд. = О удовлетворяется, если для функции кручения Прандтля принять ф = —+ Эта формула удовлетворяет также гармоническому уравнению Пуассона (7.53). Тогда касательные напряжения получаются равными Хгх —О, хгу = 20 х, дзлее крутящий момент равен Мг = (16/3)дай ), а депланация выражается в виде [c.162]

Уравнения, которым удовлетворяют tj/ и Г, встречаются во многих задачах математической физики. В частности, как впервые было замечено Л. Прандтлем ), можно считать, что функции <]< и Г, входящие в наши уравнения, в любой точке внутри контура дают малый прогиб гибкой мембраны, растяжение которой постоянно во всех направлениях. Давления на противоположных поверхностях мембраны имеют одно и то же значение, когда мы имеем дело с уравнением (71), и отличаются на постоянную величину в случае уравнения (73). Мыльная пленка, благодаря наличию поверхностного натяжения, представляет собой мембрану с таким постоянным растяжением. Если мы приложим малое и постоянное давление к одной из ее поверхностей и не будем допускать смещения точек границы, то прогиб будет удовлетворять условию, наложенному на функцию ЧР". С другой стороны, если мы подчиним прогиб на границе условию (72) и на обе поверхности мембраны подействуем одним и тем же давлением, то прогиб будет удовлетворять условиям, наложенным на функцию Какой бы из этих пзггей мы ни избрали, если мы из опыта определим прогибы мембраны внутри контура, то получим экспериментальное решение задачи кручения для контура любой нужной формы. [c.468]

Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникаюш,ие здесь математические трудности весьма велики. Впервые задачу о распространении пластической области от выреза, вызываюш,его концентрацию напряжений в сечении скручиваемого стержня, решил Треффтц [1]. Он рассматривал уголковый контур и при решении задачи использовал метод конформного отображения. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандтля осуш ествить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. В. В. Соколовский [3] рассмотрел задачу об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения ряд решений задач о кручении стержней полигонального сечения был дан Л. А. Галиным [4, 5]. Большая литература посвящена одномерным упруго-пластическим задачам отметим работы [2, 3, 6-8]. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. Там же Л. А. Галин рассмотрел случай более общих условий на бесконечности. Впоследствии Г. Н. Савин и О. С. Парасюк [10-12 рассмотрели некоторые другие задачи об образовании пластических областей вокруг круглых отверстий. [c.189]

Упругое кручение. Аналогия с мыльной пленкой, предложенная Прандтлем. Функция напряженпй для упругого кручения. Распределение касательных напряжений при упругом кручении стержня нагляднее всего может быть представлено аналогией с мембраной или мыльной пленкой, предложенной Прандтлем. Чтобы найти результирующее касательное напряжение в данно1 1 точке Р поперечного сечения стержня, воспользуемся прямоугольной системой координат ос, у, ъ, выбрав ее начало в точке оси, относительно которой происходит закручивание стержня, и совместив с последней ось 2, т. е. ось стержня (точка О на фиг. 427 представляет собой пересечение этой оси с плоскостью чертежа). Касательное напряженпе т в точке Р разложим на взаимно перпендикулярные с оставляюишои Ху по направлениям осей х и г/ ). [c.553]

Для определения значений х, у в различных точках треугольника ab (плоскости ij) можно либо применить функцию РиманаП), либо численное интегрирование Л1ассо. Поскольку наиболее интересные практически частные задачи решены Прандтлем в простой замкнутой форме, мы не будем излагать названных выше способов решения уравнений (6.26), отсылая интересующихся к работам Хри-стиановича и Соколовского i l последним даны многочисленные примеры построения характеристик, относящиеся как к плоской задаче пластичности, так и к задаче кручения. [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...