УРАВНЕНИЯ удара двух тел

Соотношение (ПО) является следствием равенств (104) и (105). В соединении с одним из этих равенств оно может служить для определения скоростей тел и х, vqx после удара. Для этого придется решать систему, состояш,ую из одного линейного уравнения и одного квадратного, а по исключении одного из неизвестных — квадратное уравнение. Из двух решений этого уравнения одно соответствует обраш,ению в нуль величин (106), на которые производилось умножение в ходе вывода. Это решение следует отбросить. Конечно, определить скорости после удара можно непосредственно из двух линейных уравнений (104), (105), и для этой цели соотношение, выражаюш,ее теорему Карно при прямом центральном ударе двух тел, не дает ничего нового. Оно имеет, однако, существенное значение, так как выражает в отчетливой форме энергетическое соотношение при ударе тел. [c.239]

Удовольствуемся пока настоящей, простейшей трактовкой теоремы Карно для случая прямого удара двух тел. Теорема эта на самом деле имеет гораздо более общее значение в динамике систем материальных точек и твердых тел. К этому вопросу мы еще вернемся при описании применений общего уравнения динамики несвободной системы ( 156). [c.240]

Обратимся к использованию общего уравнения теории удара для вывода теоремы Карно в форме, более общей, чем указанная в 132 для удара двух тел. [c.381]

Продолжительность удара считается малой по сравнению с периодом собственных колебаний фундамента, так что колебания последнего начинаются, так сказать, только после окончания удара Поэтому можно в начальный момент колебаний не учитывать наличия упругих связей под фундаментом и рассматривать его как свободное тело. Тогда, согласно уравнениям свободного удара двух тел, блок фундамента весом G m2g приобретает после удара начальную скорость [c.31]

Эти два уравнения содержат три неизвестных величины v t, V2n и Sn. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо ввести дополнительное допущение о физических свойствах ударяющейся точки и преграды. Простейшим допущением, позволяющим определить нормальную составляющую скорости после удара, является допущение, высказанное для общего случая соударения двух тел еще Ньютоном отношение абсолютных величин проекций относительной скорости тел после удара и до удара на направление оби ей нормали к поверхности тел в точке соприкосновения есть постоянная величина, не зависящая ни от относительной скорости, ни от размеров тел, а лишь от их материала. [c.135]

Е. В. Александров рассмотрел основные уравнения волновой теории удара, связывающие силу и скорости двух тел (1 и 2), [c.9]

Тогда будем иметь GjP X п —О, так что из уравнения (30) будет следовать, что Д(й = 0 это значит, что при центральном ударе угловые скорости о) обоих гел остаются неизменными, откуда следует, что скорость любой точки Q каждого из двух тел, определяющаяся, как известно, выражением [c.487]

При определении параметров удара необходимо рассматривать соударение двух тел, ударное воздействие рабочего ротора на ползун с передаваемой деталью. Воздействие ползуна на транспортный ротор можно не учитывать, ибо масса ползуна намного меньше массы транспортного ротора. Учитывая допущения и обозначения, которые сделаны при исследовании кулисного механизма, и уравнения системы (2), получим [c.67]

В теории, развитой в ряде работ Х. А. Рахматулина (1945, 1947, 1952), проблемы распространения продольных и поперечных волн в нитях удалось разделить. В первой из указанных работ было дано решение задачи об ударе по гибкой нити бесконечной длины, когда ударяющее тело движется с постоянной скоростью. Аналитически задача сводится к решению двух дифференциальных уравнений относительно двух компонент перемещения. В частности, был рассмотрен практически важный случай, когда диаграмма растяжения нити может быть представлена ломаной из двух участков (билинейный закон). Кроме того, рассматривался нормальный удар телом конечной массы с исчезающе малыми размерами. Возникающее в результате удара натяжение сразу после соударения уменьшает скорость тела. При этом вправо и влево от места соударения одновременно распространяются риманова волна и волна разгрузки. Дальнейшее решение зависит ет постулированного соотношения между скоростями этих волн. [c.315]

Весь процесс развития удара можно проследить теперь точно так же, как в соответствуюш,ей задаче для плоского случая. Изображающая точка Т перемещается вдоль известной кривой до тех пор, пока она не постигнет линии нулевого скольжения. Затем движение происходит вдоль линии нулевого скольжения в направлении возрастания абсциссы R. Полный ударный импульс R = Ri для всего удара находится умножением абсциссы Ri точки, в которой Т пересекает плоскость наибольшего сжатия на 1 + е, так что R = Ri + е), где е — коэффициент восстановления. Полный ударный импульс трения представляет собой ординату точки Т, соответствующей абсциссе R = R . Подставив ее в динамические уравнения (1)—(4), можно найти движение двух тел непосредственно после удара. [c.280]

Полное время удара разбивается на два периода время пластического вдавливания tp и время упругого отскока t. Принимая высказанные выше предположения о том, что давление течения Pd постоянно и что б = a 2R, время вдавливания можно легко определить. Уравнение относительного движения двух тел имеет вид [c.413]

Согласно постановке задачи о движении под действием мгновенных сил, сделанной в п. 1, скорости обоих тел Dj, до удара должны рассматриваться известными, а требуется определит скорости V+, V+ после удара. Но для определения этих двух неизвестных одного соотношения (8), даваемого первым основным уравнением, не достаточно поэтому необходимо будет ввести новое условие, которое может быть получено только из опыта. Для этой цели был бы необходим подробный анализ сложных явлений, которые происходят в течение очень короткого промежутка времени когда два тела, пришедшие в соприкосновение, сначала, взаимно сжимая друг друга. [c.466]

Следует подчеркнуть, что уравнения (6.66), (6.67) записаны для замкнутой системы, но для двух очень близких моментов времени, ибо длительность удара весьма мала. Поэтому они с известным приближением будут справедливы и для незамкнутой системы двух шаров, если, конечно, силы со стороны третьего тела малы в сравнении с силами взаимодействия шаров (такие силы за короткий промежуток времени не могут заметно изменить импульс и кинетическую энергию шаров). Например, по этой причине соударение двух свободных шаров в воздухе вполне можно описать формулами (6.66), (6.67), хотя система шаров и не является замкнутой, так как на каждый шар действует внешняя сила — сила тяжести. [c.166]

Можно решить задачу и без использования уравнения энергии. Для этого нужно подробнее рассмотреть процесс удара. Этот процесс состоит из двух частей. В первой половине происходит взаимное сжатие соударяющихся тел до момента относительного покоя, когда они движутся совместно с одинаковой скоростью, как это бьшо бы при неупругом ударе. Во второй половине происходит взаимное расталкивание до полного разделения. При абсолютно упругом ударе изменение сил взаимодействия в этой половине процесса представляет собой повторение в обратном порядке соответствующих изменений, имевших место в первой половине (поскольку силы представляют однозначную функцию деформаций). [c.616]

В первых двух ее частях выводятся уравнения и соотношения, доказываются основные теоремы, формулируются граничные условия обобщенной термоупругости однородных и неоднородных массивных тел и тонкостенных элементов конструкций (пластин, стержней и оболочек). Приводятся решения обобщенных взаимосвязанных и несвязанных задач термоупругости для тел, подвергаемых тепловым ударам внешней средой или внутренними источниками тепла [c.3]

Процесс инжекции заключается в смешении двух потоков газов (с резко отличными скоростями и давлениями) в результате поверхностного трения и удара, при котором смесь получает некоторое промежуточное давление и скорость. Этот процесс описывается теми же уравнениями, что и при ударе твердых неупругих тел [5] [c.38]

Этих двух уравнений недостаточно для решения вопроса в эти уравнения входят три неизвестные нам величины и , щ и 5. Для возможности решения поставленной задачи мы должны иметь еще одно уравнение. Это и понятно результат удара существенно зависит от физических свойств ударяющихся тел. Мы должны иметь еще одно уравнение, которое характеризовало бы эти свойства. [c.311]

Общий случай удара двух тел. Общие уравнения удара. Ось Л неподвижной системы 0ХУ2 направлена параллельно нормали к общей элементарной площадке в точке соприкосновения тел при ударе (короче — параллельно нормали удара) С1, Са — центры масс 1-гои 2-го тел (фиг. 115) ,У, 2 — главные оси инер- [c.414]

Общий случай удара двух тел. Общие уравнения удара. Ось X неподвижной системы OXYZ направлена параллельно нормали к общей элементарной площадке в точке соприкосновения тел при ударе (нормали удара) i, i — цен- [c.404]

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющего тела превышает скорость ударяемого, т. е. от разности 1), . — Поэтому при ударе двух тел, есди учесть, что всегда а получим [c.418]

С целью осветить ниже случай удара двух тел следует теперь рассмотреть движение волн в тонком упругом стержне (рнс. 11.1), фиксированном на одном конце и подвергающемся удару с другого конца жестким блоком массы М, движущимся со скоростью V. Выпучивание стержня учитывать не будем. Мгновенно вслед за ударом левый конец стержня приобретает скорость блока V, и волна сжатия распространяется вдоль стержня со скоростью со, заданной формулой (11.3). Начальное напряжение сжатия в стержне, определяемое уравнением (11.1), есть —рсоУ. Блок замедляется от действия сжимающей силы в стержне при их взаимодействии. Последующее развитие процесса соударения зависит от соотношения масс ударника М и стержня рАЕ. [c.387]

Теорема Карно, доказанная в случае неупругого удара двух тел, очевидным образом обобщается на случай удара тела и материальной точки или двух материальных точек. Для материальной точки достаточно положить тензор инерции равным нулю и от росит1 уравнения, определяющие изменение угловой скорости. [c.226]

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный имлульс) зависит не от абсолютного значения скорости [c.402]

Интегрирование уравнения (1) совместно с соответствующим уравнением движения твердого тела и геометрическим условием для определения радиуса пятна контакта типа (2.2) предлагается проводить численно с помощью квадратурных формул, учитывающих наличие неинтегриру-емых особенностей у функции С (Ь,х) на прямых = ж . Этот алгоритм реализован в работах А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [34], А. Г. Горшкова, А. Л. Медведского и Д. В. Тарлаковского [18-22], где кроме симметричной задачи рассмотрен более сложный вопрос о наклонном ударе цилиндрического тела по упругой полуплоскости при различных условиях контакта. В этом случае вместо уравнения (1) приходится рассматривать систему из двух интегральных уравнений. [c.379]

Модификация определения (1) с помош,ью понятия об односторонних производных пригодна для некоторых движений, траектории которых содержат угловые точки. Односторонние производные позволяют описывать движение, при котором в изолированных точках траектории происходят удары (в числе основных аксиом теории сте-реомеханического удара — аксиома о конечном изменении скорости при ударе). Однако уже в задаче о соударении двух тел при наличии сухого трения в месте контакта для описания изменения скорости (при фиксированном времени) составляются дифференциальные уравнения относительно скорости у(А ) как функции монотонно возрастаюш,его импульса нормальной составляющей реакции в месте контакта (Л ") (см., например, [113]). [c.22]

Станем теперь на наиболее современную точку зрения чистого описания и примем известные дифференциальные уравнения для внутренних движений твердых и жидких тел. Из них следует, что во многих случаях, как, например, при ударе двух твеодых тел, при движении жидкостей в замкнутых сосудах и т. д., если только форма тела хоть немного отличается от простой геометрической формы, должны появляться волны, которые затем все более раз- [c.26]

В той же работе [50] рассмотрен вопрос об изменении температуры тел во время удара прн условии, что процесс нх нагрева протекает локально адиабатически. Выводятся соответствующие уравнення, содержащие температурные члены и обобщающие уравнення Герца. Полученные уравнення решаются методом последовательных приближений. В качестве примера рассмотрен удар двух одинаковых по размерам и [c.336]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

Иногда моино получить приближенное решение простым способом. Например, возьмем сл>чай, когда стержень оперт на двух концах и испытывает удар тяжелого тела, движущегося с заданной скоростью. Пусть после удара тело остается соединенным со стержнем. В каждый, следующий за ударом момент можно рассматривать стержень в первом приближении, как бы находящимся в покое, причем к нему в точке удара приложена изгибающая поперечная сила. Тогда в этой точке получим некоторый прогиб, который определится по формулам 247, (1) соответственно нагрузке. Последняя равна давлению между стержнем и ударившим телом и прогиб в точке удара равен смещению этого тела из своего положения в момент соприкосновения. Уравнение движения тела, на которое действует сила, равная и противоположная изгибающей поперечной силе, вместе с условием, что тело в момент удара имеет данную скорость, достаточны для определения смещения и давления между телом и стержнем. В этом методе [метод Кокса )] вызванный ударом тела прогиб стержня рассматривается как статический эффект. Способ этот предвосхищает в некотором смысле теорию удара Герца ( 139). Аналогичный метод применяли Виллис и Стокс при рассмотрении зада и о движущейся нагрузке ). [c.461]

Историческая справка. Задача об ударе двух гладких неупругих тел рассматривалась Пуассоном в его трактате (Poisson S., Traite de Me anique , 1833). Если считать известным движение каждого тела в начале удара, то для каждого тела можно составить шесть уравнений движения, позволяющих определить его движение в конце удара. В них входят тринадцать неизвестных величин составляющие скоростей центров тяжести по трем координатным осям, проекции угловых скоростей тел на те же оси, и, наконец, взаимная ударная реакция двух тел. Таким образом, этих уравнений недостаточно для определения движения. Тринадцатое уравнение получается из условия, что удар заканчивается в момент максимального сжатия, т. е. в момент, когда нормальные скорости точек соприкосновения двух соударяющихся тел равны. [c.166]

Первая теорема Карно ( arnot). Предположим сначала, что ударные силы вызываются только внутренними взаимодействиями тел, составляющих систему, например, два тела могут столкнуться или две точки могут внезапно оказаться связанными нерастяжимой нитью. Эти взаимные действия будут находиться в равновесии, и сумма их возможных работ будет равна нулю для перемещений, которые не изменяют расстояний между взаимодействующими частицами, Предположим, что сталкивающиеся тела неупругие. Тогда непосредственно после удара точки контакта двух тел не будут иметь относительной скорости по нормали к общей поверхности контакта. Следовательно, если в качестве возможного перемещения взять действительное перемещение системы за время dt непосредственно после удара, то сумма возможных работ ударных сил будет равна нулю. Полагая бл = и Ы, бг/ = о б/, бг = w bt, из общего уравнения теории удара получим [c.321]

Изменения касательных напряжений и микропроскальзывания при ударе могут быть найдены пошаговым методом для различных условий соударения. Упругие постоянные двух тел входят в расчет через отношение тангенциальной податливости к нормальной (см. уравнения (7.43) и (7.44)). Определим относительную жесткость к в виде [c.403]

Если рассматривать систему, состоящую из двух соударяющихся тел, то взаимные удары меяаду Э1ими телами будут внутренними, и тогда будет справедлив занон сохранения количеств движения системы. Это и выражает уравнение (23.9) сумма количеств движения соударяюи ихся тел до удара и после удара остается неизменной. [c.414]

Хотя гантель, как всякое свободное твердое тело, обладает шестью степенями свободы, но в отсутствие тангенциальных сил взаимодействия между шарами (сил трения) при ударах гантелей может возникнуть вращение только вокруг осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к оси самой гантели. Поэтому для описания движения гантели 1ребуетея не шесть уравнений, как для свободного твердого тела, а только пять три уравнения движения центра тяжести и два уравнения вращения вокруг двух осей, перпендикулярных друг к другу и к оси гантели. Гантель в рассматриваемом случае ведет себя как тело, обладающее пятью степенями свободы движение, соответствующее шестой степени свободы — вращению вокруг оси самой гантели, — во зникнуть не может. Эта шестая степень свободы не участвует в обмене кинетической энергии, происходящем при соударении гантелей. [c.427]

Некоторая аналогия в механическом поведении гибких нитей и тонких мембран позволила вскоре же после исследования явления удара по гибкой нити перейти к аналогичному анализу гибкой мембраны. Первое приближенное решение при условии пренебрежения кольцевыми напряжениями в круглой мембране получил Д. М. Григорян (1949). В ряде последовавших за этим работ это допущение было снято. Так, М. П. Галин (1949) рассмотрел удар по круглой мембране в одной точке телом с постоянной скоростью движения. Позже рассматривался удар по мембране осесимметричным телом (У. Бектурсунов, 1966). В последнем случае принималось, что радиальные и поперечные движения не связаны друг с другом и что решение задачи может быть получено с помощью раздельного интегрирования двух различных уравнений распространения волн. [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...