Теория Закон больших чисел

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Одним из выводов теории вероятностей и статистического закона больших чисел является закон действия масс, согласно которому скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Пусть, например, реагируют два вещества - -водород и хлор. Реакция заключается в удачном столкновении их молекул, которое вызывает образование нового соединения хлористого водорода. Схематически все это выражается так H2 + I2-+2HQ. Если рассматривать одну молекулу водорода, то очевидно, что число столкновений с ней будет тем больше, чем больше в данном объеме присутствует молекул хлора. К такому выводу мы придем, если будем рассматривать число столкновений с одной молекулой хлора это число будет тем больше, чем больше в Данном объеме присутствует молекул водорода. Значит, общее число столкновений будет тем больше, чем больше произведение концентраций реагирующих агентов. Если коэффициент удачных столкновений, т. е. вызывающих наступление реакции, обозначить через К, то скорость данной реакции может быть выражена формулой v = К [Н2] [Ог]- Это и есть выражение закона действующих масс применительно к данной реакции. [c.20]

Каким же образом и почему в результате реализующихся в химической реакции соударений молекул возникают такие когерентные структуры Этот вопрос кратко обсуждается в разделе, посвященном закону больших чисел. Я постараюсь подчеркнуть то обстоятельство, что обычная химическая кинетика соответствует теории усредненного поля , очень похожей на теорию Ван-дер-Ваальса, выражением которой являются уравнения состояния, и на теорию ферромагнетизма, разработанную Вейссом. Совершенно так же, как и эти теории, теория усредненного поля перестает быть справедливой при приближении [c.124]

Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Если мы не хотим входить в детали динамики системы многих частиц, то единственное утверждение, которое можно высказать относительно столкновений, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны как по своей силе, так и по направлению. Вопреки первому впечатлению, это утверждение ни в коем случае не является ни негативным, ни обескураживающим. Напротив, если мы готовы отказаться от детерминизма в описании прогресса, то это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятности. Мы не можем считать силу А (t) заданной функцией времени однако можем сделать разумные предположения о влиянии столкновений, усредненном по большому числу макроскопически одинаковых ситуаций (т. е. по ансамблю). Аналогично мы не можем предсказать скорость или положение броуновской частицы в каждый момент времени t, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (11.2.2) отличается от традиционной детерминированной начальной задачи для дифференциального уравнения. Уравнение (11.2.2) является типичным (и знаменитым) представителем класса так называемых стохастических (или случайных) уравнений движения. По имени [c.11]

Можно показать, что данное предположение эквивалентно предположению о том, что распределение переменной А (t) описывается гауссовым законом, который связан с законом больших чисел (или с центральной предельной теоремой) теории вероятностей. [c.13]

Расчеты на надежность и закон больших чисел. Иногда чрезмерно подчеркивают те принципиальные трудности, которые возникают при применении теории надежности к системам, осуш,ествляемым в небольшом количестве экземпляров. Действительно, к таким системам не применим закон больших чисел и статистическое истолкование вероятности. Тем не менее, вычисляемая методами теории надежности вероятность безотказной работы и здесь сохраняет смысл объективной характеристики надежности системы. [c.169]

При изучении свойств тел, состоящих из огромного числа отдельных частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в беспрестанном и хаотическом движении, получили широкое распространение за последнее столетие теория вероятностей и ее основной закон больших чисел. [c.8]

Однородность. Широко применяемые для сплошных сред методы теории упругости и термо-вязко-упругости могут использоваться только для однородных материалов. Технические резины, как правило, изготовляются из смеси каучука с разными наполнителями и поэтому, казалось бы, рассматривать их как однородные среды невозможно. Однако, если в испытаниях наименьшим исследуемым объемом будет объем, величина которого значительно больше размеров неоднородных частиц, то в эксперименте получаются усредненные показания. Так как наименьший исследуемый объем содержит очень большое количество неоднородных частиц, можно, на основании закона больших чисел, принять, что усредненные показатели для объема являются постоянными, Этими постоянными мы и будем пользоваться при расчетах. [c.6]

Один из основных законов теории вероятностей, на котором основываются выводы статистики, — это закон больших чисел, открытый в середине прошлого столетия великим русским математиком П. Л. Чебышевым. [c.181]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Особо следует отметить рэлеевское решение задачи о сложении колебаний со случайными фазами, содержащееся в 42 а, добавленном при втором издании Теории звука (1894 г.). В этот параграф Рэлей включил результаты своей работы О результирующей большого числа колебаний одинаковой высоты и произвольной фазы =), развив при этом существенно новый подход к вопросу. В одномерном случае, когда складываемые колебания различаются только случайным знаком, нахождение средней интенсивности сводится к классической задаче Бернулли в ее простейшей формулировке. Однако и здесь, проведя элементарный подсчет средней интенсивности и высказав чрезвычайно четкое предостережение против неправильного понимания закона больших чисел (стр, 57), Рэлей ставит и решает задачу по-новому. Он вводит функцию распределения /(п, х) для результирующей амплитуды л при наличии п колебаний, составляет для /(п, х) разностное уравнение и затем переходит от него к дифференциальному уравнению (5). Если образование результирующего колебания представлять себе как итог последовательного добавления единичных колебаний со случайной амплитудой (- -1 или —1), то /( , х) представляет собой распределение х после п сложений, или, как говорят в задаче о случайных блужданиях частицы, после п шагов. Иными словами, / п, х) представляет собой то, что теперь пазы- [c.14]

В данном подразделе для всех показателей надежности приведены два определения — вероятностное и статистическое. Через г обозначен статистический показатель, соответствующий аналогачному показателю г. При этом имеется в виду, что по закону больших чисел теории вероятностей всякое выборочное среднее с увеличением числа опытов N сходится к математическому ожиданию соответствующей случайной величины, т.е. для всякого сколь угодно малого е выполняется условие [c.128]

Качественная схема механизма турбулентности, введенная Л. Ричардсоном, позволяет предположить, что для достаточно больших чисел Рейнольдса статистический режим мелкомасштабных пульсаций в известном смысле однороден, изотропен и практически стационарен. Это важное положение дало возможность А. Н. Колмогорову построить в 1941 г. теорию развитой локально изотропной турбулентности описывающую уже значительный круг реальных турбулентных движений В основу математической теории им были положены гипотезы о характере зависимости распределения вероятностей относительных скоростей в турбулентном потоке от средней удельной диссипации энергии и вязкости. Гипотезы Колмогорова привели к ряду важных количественных выводов и, в частности, к так называемому закону двух третей (средний квадрат разности скоростей в двух точках при некоторых средних расстояниях между ними пропорционален этому расстоянию в степени V3) и его спектральному аналогу ( закон пяти третей ). Выводы теории локально изотропной турбулентности были подвергнуты тщательному экспериментальному изучению в лабораторных и натур-300 ных условиях и получили в общем удовлетворительное подтверждение [c.300]

Необходимо отметить, что при обработке разнообразных деталей на универсальных станках распределение длин обработки подчиняется законам теории вероятностей для больших чисел, так как [c.88]

ПУАССОНА ТЕОРЕМА — теорема теории вероятностей — частный случай больших чисел закона если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в /с-м испытании равна то [c.246]

В описываемой работе [22] было произведено 17 измерений спектральной функции Vrr (х) при различных условиях (в работе приводится функция ф (х) = 2F,r(x)). На рис. 12 приведен в логарифмическом масштабе один из таких спектров. Левая верхняя часть графика на рис. 12 представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом — 5/3, соответствующим теории Колмогорова — Обухова. В области больших волновых чисел заметно отступление от прямолинейного закона, обусловленное влиянием вязкости. Используя измеренную функцию Vrr (х), можно вычислить величину е. Ла рис. 13 приводятся в полулогарифмическом масштабе функции х Vrr ) и x Vrr (х). Площадь под первой кривой в используемых координатах пропорциональна энергии турбулентности [c.126]

В современной математической теории свойства вероятностей вводятся аксиоматическиа вывод о существовании предельных частот, сколь угодно близких к вероятности, получается уже как следствие этих аксиом и носит название закона больших чисел. [c.24]

Вычислить вероятности событий можно лишь в том случае, когда известно, сколько событий какого типа возможно. В приведенном примере с урной нужно знать число содержащихся в ней белых (п ) и число черных и красных (тгь) шаров. Часто мы этого не знаем и решаем обратную задачу - по частоте появления шаров того или иного цвета в описанном выше опыте определяем вероят ность появления белого, черного или красного. Пусть мы проделали А/ испытаний, т.е. /V раз доставали шар из урны, каждь1й раз записывали его цвет и возвращали обратно в урну. Пусть при этом мы К раз вытащили белый шар, тогда К/Ы называется частотой появления белого шара. Основной закон теории вероятностей — закон больших чисел - утверждает, что при достаточно бол1 шом числе испытаний Ы частота появления события (с вероятностью, близкой к достоверности) как угодно мало отличается от вероятности этого события, иначе говоря, если [c.28]

Надёжность использования на практике правил теории вероятностей основана на теоремах закона больших чисел, устанавливающих близость между вероятностью случайного события и частостью появления его при большом числе испытаний или же близость других аналогичных теоретических и соответствующих им эмпирических величин. Полные фирмулиравки и доказательства теорем см. в указываемых ниже источниках. [c.290]

Закон больших чисел. Статистический закон больших чисел является одним из основных выводов теории вероятностей, изучающей закономерности в системах, состоящих из огромного числа частиц. При этом возможные изменения в таких системах носят вероятностный, статистический характер. Согласно этому закону скорость колебания, с какой меняется среднее число случаев, в которых наступает то или иное явление, равна квадратному корню из этого числа случаев. По мере возрастания числа рассматриваемых случаев, естественно, повышается точность предсказания протекания данного явления. Если среднее число таких случаев N, то по законам теории вероятности эта величша в отдельные моменты может колебаться на величину уМ. Отсюда эти колебания составляют р, %, от N, т. е. [c.14]

Принцип стохастнческого детермииязма. Гарантии в условиях случайных воздействий обеспечивают, используя устойчивость результатов массовых случайных явлений. Обидае формы такой устойчивости нашли свое выражение в законе больших чисел и предельных теоремах теории вероятностей. Явление это названо стохастическим детерминизмом. Явление стохастического детерминизма во многих случаях облегчает построение и изучение моделей сложных массовых явлений, позволяя легко учитывать или пренебрегать, когда это допустимо, элементом случайности. Так, при исследовании вещества от стохастических моделей на молекулярном уровне переходят к детерминированным характеристикам (например, плотности и давлению) на макроуровне. [c.490]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Пуассон (Poisson ) Симеон Дени (П81- ЪА0) — французский математик, механик и физик. Окончил Политехническую школу в Париже (1798 г.). Сформулировал частный случай закона больших чисел и одну из предельных теорем теории вероятностей предложил названное его именем распределение вероятностей случайных величин. Разработал математическую теорию электростатики, обобщил уравнения Навье — Стокса на случай сжимаемой ияэкой жидкости с учетом теплопередачи, обобщил уравнения теории упругости па анизотропные среды, решил ряд задач теории упругости, ввел скобки Пуассона и доказал ряд важных теорем динамики. В теории потенциала изучил носящее его имя уравнение. Доказал устойчивость планетных движений. Написал Курс механики (1811 г.), многократно переиздававшийся. [c.108]

Для объяснения причины этого как будто неожиданного процесса, носящего название диффузии, рассмотрим, что будет происходить с молекулами соли на границе условно взятого в стакане сечения а—а (рис. 1-9). Процесс диффузии не связан с какой-либо силой, которая якобы заставляет молекулы соли передвигаться вверх, т. е. в область с меньшей их концентрацией в воде. Каждая молекула соли ведет себя независимо от других молекул соли, с которьши о а встречается очень редко. Каждая молекула соли, где бы она ни находилась— ниже сечения а — а или выше его, испытывает непрерывные толчки со стороны молекул воды, в результате которых она может продвигаться вниз от этого сечения или вверх от него. Но тут вступает в силу теория вероятностей и ее основной закон больших чисел, широко применяемый в настоящее время естественными науками (и в первую очередь физикой и химией) при изучении свойств тел, состоящих из огромного числа отдельных частиц (молекул, атомов, ионов и др.). [c.47]

Для иллюстрации значения теории вероятности и статистического закона больших чисел в процессах водо-приготовления рассмотрим наиболее часто встречающиеся процессы растворения в воде твердых и газообразных веществ. На рис. 0-2 изображен стакан с водой, на дне которого находятся кристаллы поваренной соли (ЫаС1). [c.8]

Пусть на >1 задана а-инвариаптная вычислимая (см. [7]) мера ц, иапример бернуллиева мера. Следуя идее А. Н. Колмогорова, Мартин-Лёф [47] показал, что существует такой универсальный тест , что еслн последовательность Э = = й)л п О удовлетворяет этому тесту, то для нее верны все эффективно проверяемые законы теории вероятностей (например, закон больших чисел и т. п.), которые должны иметь место для распределения вероятностей, задаваемого мерой д. Последовательность Э, обладающую такими свойствами, он предложил называть случайной. Действительно, наблюдая за такой последовательностью нулей и единиц, мы никаким конструктивным способом ие сможем признать ее менее случайной , чем аналогичную последовательность, получаемую подбрасыванием монетки. [c.203]

Как мы имели случай убедиться в 13 гл. III, для принципиального обоснования всей нашей теории имеет основное значение оценка дисперсий сумматорных функций. Именно малость (относительная) средних квадратических отклонений сумматорных функций позволяет обосновать репрезентативность их средних значений, т. е. утверждать, что каждая такая функция с подавляющей вероятностью получает значение, близкое к ее среднему значению в терминах теории вероятностей можно выразить это, говоря, что сумматорные функции при безгранично возрастающем числе молекул подчиняются закону больших чисел. После расчетов предыдущего параграфа эта задача не вызывает уже существенных затруднений. [c.104]

Согласно одному известному утверждению теории вероятностей (закону больших чисел) частота появления каждого из внешних состояний стабилизируется с ростом числа наблюдений на соответствующей вероятности, т. е. при i Z oo имеет место RZwlRZ qw, так что [c.59]

К атому примеру непосредственно примыкает одна из первых (и важнейших) предельных теорем В, т,— теорема Бернулли (простейшая форма больших чисел закона), согласно к-рой вероятность значит, уклонения часч отн успехов от вероятности р яри больших п становится сколь угодно малой. Т.о., рассматриваемая матем. модель случайных явленнй приводит и согласующемуся с практич. набл)0дсыпями выводу [c.260]

Весьма удобным для практических расчетов является прием, предложенный Рэлеем и использованный затем Лэмбом, но которому движение частицы жидкости тормозится силой, пропорциональной ее относительной скорости, т. е. скорости в системе координат, связанной с резервуаром. По словам Лэмба, этот закон трения совершенно не претендует быть вполне тождественным с действительностью, но он достаточен для того, чтобы грубо охарактеризовать влияние малых сил трения, и имеет математическое преимущество, так как не нарушает безвихревого характера движения . Использование приема Рэлея в сочетании с экспериментальными данными для логарифмических декрементов колебаний поверхностных волн позволяет получить необходимые практические результаты по гидродинамическому расчету различных резервуаров на динамические нагрузки. Эта феноменологическая теория вязкой жидкости для больших чисел Рейнольдса (маловязкая жидкость) дает хорошее совпадение с экспериментальными данными. [c.85]

В основе теории ошибок лежит математич. модель, согласно к-рой до опыта совокупность всох мыслимых результатов измерения трактуется как множество значений нек-рой случайной величины. Поэтому важную роль приобретает теория О. с. Выводы теории ошибок иосят статистич. характер. Смысл и содержание таких выводов (как, впрочем, и выводов теэрии О. с.) проявляются лишь в свете больших чисел закона (пример такого подхода — статистич. толкование смысла коэффициента доверия, указанное вьше). [c.576]

Эксперименты Перрена были весьма трудоемкими и требовали большой тщательности. В микроскоп можно было четко наблюдать уменьшение числа взвешенных частиц с высотой (рис. 13). Фокусируя микроскоп на отдельные слои взвеси, можно было сфотографировать, а затем подсчитать число частиц в каждом слое. Для пяти слоев, отстоящих друг от друга на 5, 35, 65 и 95 мкм, подсчет дал следующие цифры 100, 47, 22, 6 и 12. Теоретически предсказанные значения были 100,46, 23, И и 1 [50]. В нижних слоях взвеси, где число броуновских частиц велико, совпадение теории с экспериментом было полным. Расхождение в числах для верхних слоев объясняется тем, что по законам теории вероятностей именно в области малых чисел отклонения числа частиц от средних значений (флуктуации) в соответствии со статистикой могут быть значительными. Перрен пишет, что он испытал сильное волнение, когда после первых попыток... получил те же числа, к которым кинетическая теория приходила совершенно другим путем. Теперь становится весьма трудшлм отрицать объективную реальность молекул. Атомная теория торжествует . [c.90]

Однако в пучках витых труб эта связь практически не реализуется [39] Это можно объяснить как влиянием конечности размеров источника и неравномерности поля скорости в ядре потока, так и загромождением исследуемого потока витыми трубами. Это приводит к тому, что нагретые частицы вблизи устья струи успевают пройти большое число не коррелированных между собой различных путей от источника до рассматриваемой точки, хотя распределения пульсационных скоростей при числах Ее > Ю" в ядре потока и приближаются к нормальному закону распределения. При числах Ее < Ю наблюдается отклонение пульсаций скорости от закона Гаусса в пучке витых труб, что свидетельствует об анизотропности турбулентности в таких пучках в этом диапазоне чисел Ее. Поэтому в закрученном пучке витых труб метод диффузии тепла от источника использовался только для определения коэффициента а. его применение оправдьшалось совпадением экспериментальных распределений температур с гауссовским распределением, хотя основные допущения теории Тэйлора в данном случае не выполняются строго. В экспериментах источник диффузии имел радиус, примерно в три раза превышающий радиус витой трубы. В этом случае свойства потока индикаторного газа (нагретого воздуха) и основного потока одинаковы, Это позволяет получить достаточно надежные опытные данные по коэффициенту В то же время если в работе [39] для прямого пучка витых труб, где радиус источника, бьш равен радиусу витой трубы, удалось оценить значение интенсивности турбулентности по уравнению (2.9), то в данном случае это исключается из-за больших размеров источника. Для увеличения точности определения коэффициента опыты по перемешиванию теплоносителя в закрученном пучке проводились при неподвижном источнике диффузии, а для определения полей температуры на различном расстояниии от него в витых трубах были установлены термопары. При этом измерялась температура стенок труб (т.е. температура твердой фазы в терминах гомогенизированной модели течения). Эта методика измерений могла приводить к погрешностям в определении коэффициента ) г, поскольку распределения температур в ядре потока теплоносителя и стенки труб различны, а следователь-различны и среднестатистические квадраты перемещений, а также и причем это различие, видимо, носит систематический характер. Подход к учету поправки в определяемый коэффициент Df при измерении температуры стенки изложен в разд. 4.2. [c.55]

Прошло ок. 20 лет с момента создания теории Колмогорова и выдвижения им гипотезы, что при больших числах Рейнольдса Т. является локально (т. е. для достаточно мелкомасштабных движений) однородной и изотропной, прежде чем она получила эксперим. подтверждение. Эксперименты, выполненные к 1962 в следе за островом в канале около Ванкувера во время прилива, при числах Рейнольдса = 3 10 , продемонстрировали закон /с для волновых чисел, изменяющихся на три порядка. В последующие годы универсальность чтого закона была подтверждена экспериментами во многих др. течениях при больпшх числах Рейнольдса в струях, сдвиговых слоях, в лаб. и атм. пограничных слоях, в следе за цилиндром и т. п. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...