Планетная устойчивость

Эволюция и устойчивость в планетной задаче трех тел [c.363]

Обратимся теперь к изучению устойчивости в планетной задаче трех тел в рамках предложенной модели, учитывающей размеры и форму планет и сохранение наклона оси вращения планет в пространстве. Будем считать эксцентриситеты и наклонности планет малыми ( 10 ), как в реальной системе. [c.368]

Теоремы Лапласа — Лагранжа и Пуассона указывают лишь на устойчивость в смысле Лагранжа (см. 103) планетных орбит на конечном промежутке времени. Чем меньше возмущающие массы, тем больше этот промежуток. [c.839]

Теоремы об устойчивости планетных орбит [c.839]

Анализируя эти интегралы, Лаплас доказал теорему об устойчивости планетных орбит в первом приближении. [c.839]

Теорема Лапласа, конечно, не позволяет сделать вывод о том, что гипотетическая планетная система (и, в частности, Солнечная система) устойчива в смысле Лагранжа для 1 (1о,ао), так как, во-первых, строго не известно, выполняется ли условие 3) для всех е(/о, оо) [известно лишь, что в первом и во втором приближении большие полуоси не имеют вековых возмущений (см. 3.09)], а во-вторых, интегралы (10.3.24) и (10.3.25) являются интегралами приближенных уравнений. [c.840]

Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальных условий не только в первом, но и в любом приближении. [c.841]

Если определить вероятность устойчивости в смысле Лагранжа планетной системы как [c.841]

Замечание 1. Р=1 не влечет за собой устойчивость в смысле Лагранжа планетной системы, так как в этом случае остается множество меры нуль, которое может, вообще говоря, порождать неограниченные движения. [c.841]

В астрономии обычно используются только относительные координаты и получающиеся для них оскулирующие эллипсы. Из (21) находим, что вывод Лапласа относительно устойчивости нашей планетной системы справедлив также и для этих элементов, но только с точностью до первых степеней относительно масс (вклю- [c.223]

Точное интегрирование этих дифференциальных уравнений до сих пор выполнить не удалось, несмотря на продолжающиеся усилия крупнейших математиков последних 150 лет. Неизвестно, будут ли оставаться колебания больших полуосей оскулирующих эллипсов в любой момент времени в конечных границах, и неизвестно также, насколько далеко могут отклониться со временем элементы , т), р, q, и т. д. от тех малых значений, которые они имеют в нашей планетной системе в настоящее время. Так называемое доказательство устойчивости Лапласа, к которому мы ниже возвратимся, не содержит строгих рассуждений о том, что изменения Л и Л должны оставаться всегда малыми, и утверждает только — и это представляет в высшей степени важный вклад в проблему устойчивости, — что если изменения Л и Л малы, то это должно иметь место также и для , т) и т. д. [c.252]

Слова устойчивое и неустойчивое применяются здесь в связи с существованием или несуществованием малых колебаний относительно положения равновесия или периодических орбит Этот тип устойчивости иногда называют устойчивостью по Пуанкаре, чтобы отличить его от таких задач устойчивости, как, например, задача Пуассона, связанная с вековой неизменностью больших полуосей планетных орбит. [c.232]

Если основываться на недоказанном предположении, что планетная система абсолютно слабо устойчива, то можно сделать следующее заключение. Если планетная система захватывает материальную точку, приходящую из бесконечности, например, частицу ныли, то система, образованная добавлением этой частицы, не будет более абсолютно слабо устойчивой. Отсюда следует, что новая система не будет также слабо устойчивой в будущем, если исключить некоторое множество начальных значений, имеющее меру нуль. Следовательно, тогда пылевая частица — или планета, или Солнце, — должны быть опять выброшены, или же произойдет столкновение. Но для обсуждения важности этого результата нужно все же задуматься, действительно ли образуют абсолютно слабо устойчивые решения задачи п тел нри п > 2 множество положительной меры. [c.364]

Границы, внутри которых должно лежать а, таким образом вполне определены, что справедливо также и для каждой другой планеты. С этой степенью приближения (поскольку это касается больших полуосей) планетная система должна была бы быть устойчивой в том смысле, что она продолжала бы существовать с этими особенностями, не изменяясь. [c.127]

Устойчивость солнечной системы. Этот вопрос тесно связан с наличием вековых членов в больших полуосях, эксцентриситетах и наклонах планетных орбит. Методами небесной механики вопрос об устойчивости солнечной системы не может быть полностью решен, так как ряды небесной механики являются расходящимися и пригодны для ограниченного интервала времени. Кроме того, уравнения небесной механики не содержат малые диссипативные факторы (например, непрерывная потеря Солнцем его массы), которые могут играть существенную роль на больших интервалах времени. [c.8]

Эти элементы не могут изменяться так, что происходит увеличение всех величин а, 1—e ostp. Некоторые из них могут увеличиваться, но другие при этом должны умень-ша1ься, так чтобы сумма (72) оставалась равна некоторой постоянной величине. Эта постоянная представляет собою как бы некоторый неизменный фонд, отпущенный на все планеты и распределяемый между ними. Такая неизменность уже отчасти предсказывает устойчивость планетной системы. [c.245]

Пуассон (Poisson ) Симеон Дени (П81- ЪА0) — французский математик, механик и физик. Окончил Политехническую школу в Париже (1798 г.). Сформулировал частный случай закона больших чисел и одну из предельных теорем теории вероятностей предложил названное его именем распределение вероятностей случайных величин. Разработал математическую теорию электростатики, обобщил уравнения Навье — Стокса на случай сжимаемой ияэкой жидкости с учетом теплопередачи, обобщил уравнения теории упругости па анизотропные среды, решил ряд задач теории упругости, ввел скобки Пуассона и доказал ряд важных теорем динамики. В теории потенциала изучил носящее его имя уравнение. Доказал устойчивость планетных движений. Написал Курс механики (1811 г.), многократно переиздававшийся. [c.108]

Устойчивость Солнечной системы. Решение этой задачи тесно связано с вопросом о наличии вековых членов в разложениях больших полуосей, эксцоптриситетов и наклонов планетных орбит. Методами Н. м. вопрос об устойчивости Солнечной спстемы по может быть решен, т. к. ряды, применяемые в Н. м., являются расходящи.мпся и пригодны только для ограпичепных интервалов времени. [c.365]

Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хйтя, быть может, и весьма большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет условно-периодический характер. Такие движения Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче [36] (они, естественно, отличны от лагранжевых равновесных решений). Существенное добавление к решению проблемы устойчивости принадлежит Арнольду. [c.840]

Пусть, например, планетная система устойчива в прошлом . Если она захватывает новое тело, скажем, пылинку, приходящую из бесконечности, то образовавшаяся система тел уже потеряет свойство устойчивости с вероятностью единица либо произойдет столкновение, либо одно из тел снова уйдет в бесконечность. Причем совсем ие обязательно, что именно пылшка покинет Солнечную систему. Уйти может Юпитер или даже Солнце. [c.91]

Можно ли теперь ответить на вопросы, поставленные в разд. 8.1 Мы видели, что и геофизика, и селенофизика, и солнечная астрофизика для возраста Земли, Луны и Солнца дают зна-чепия порядка 4,5-10 лет. В то же время ископаемые остатки сложных форм жизии иа нашей планете говорят о том, что на протяжении послед1шх 2-10 лет орбита Земли существенно ие изменялась. Что по этому поводу могут сказать специалисты по небесной механике Теперь они уже совсем не так уверены в ответе, как когда-то, во времена категорических утверждений относительно устойчивости и правильного поведения планетных орбит. [c.278]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

В последние годы в математической работе Зигеля и А озера f3I I было показано, что некоторые классические разложения в ряды в небесной механике являются сходящимися и с их помощью можно описать решения задачи п тел, справедливые на всем интервале времени. Эта работа прояснила связь рядов Ньюкома с большинством типов планетных движений. Как отметил Басс [21 Для всех существенно нерезонансных начальных состояний ряды Ньюкома сходятся (неравномерно), и, таким образом, эти движения являются квазипериодическими однако они не обладают орбитальной устойчивостью, и поэтому произвольные малые возмущения начальных условий могут вызвать беспорядочные движения. Если движения являются резонансными пли почти-резо-иансными, то ряды могут сходиться равномерно (орбитально устойчивое квазипериодическое движение) или неравномерно (орбитально неустойчивое квазипериодическое движение), либо ряды могут расходиться (беспорядочное движение) . [c.279]

В работах Хиллса и Овендена было показано, что после непродолжительного периода беспорядочного движения планетная система приходит к такому установившемуся состоянию, в котором распределение орбит очень похоже на распределение орбит в соизмеримой конфигурации типа конфигурации Боде. Затем под действием других сил, таких, как приливное трение, система слегка изменяет свою конфигурацию и приходит в действительно устойчивое состояние, в котором она может находиться весьма длительное время. Действительно, при выполнении численного интегрирования в обратном по времени направлении мы можем, отмечая какое-то время беспорядочное движение системы, получить в конце концов систему, поведение которой будет по-прежнему правильным (как будто период беспорядочного движения отсутствовал). [c.279]

ЭТОТ элемент) будет уоеличиваться с постоянной угловой скоростью X, где ). — малая величина порядка/ 1,. Если X отрицательно, то долгота узла будет уменьшаться с постоянной скоростью X. Аналогичные замечания можно сделать относительно каждого из остальных элементов, исключая а, который не имеет векового члена. Следствие из этого последнего результата имеет важное значение. Так как в первом приближении решение дается в виде в = ао- -п. ч., то большая полуось колеблется с малой амплитудой около среднего зн1-чения Оц. Если бы имелся вековой член, скажем Xt, и если предположить на время, что решение является точным, то большая полуось прогрессивно увеличивалась бы или уменьшалась в зависимости от того, положительно или отрицательно X. В первом случае а стремилось бы к бесконечности, т. е. планета вышла бы из-под влияния Солнца. Во втором v yчae а уменьшалось бы до такого размера, что планета в конце концов была бы поглощена Солнцем (если бы она предварительно не испарилась). Отсутствие такого векового члена обеспечивает общую устойчивость планетных орбит (если только наше предположение справедливо), так как возмущения большой полуоси приведут только к ее колебаниям с малой амплитудой около среднего значения Из этого также следует, что в первом приближении среднее движение п не имеет векового члена. [c.119]

Если отбросить ограничения, упомянутые в начале этого параграфа, то проблема устойчивости планетной системы в том смысле, что элементы а, е и 7 представимы сходящимися периодическими рядами, очень сложна и до сих пор не получила точного решения. С другой стороны, буквенное решение Делонэ в задаче о движении Луны указывает на гравитационную устойчивость в указанном смысле (хотя вопрос о сходимости различных полученных рядов и является крайне сложным) и, в частности, показывает, что вековые и смешанные члены мэгут быть представлены в виде чисто периодических членов. [c.284]

Наличие орбитальной устойчивости в движении планет установил Лагранж. Эллиптическое движение планеты возмущается силами притяжения других планет. Лагранж вывел дифференциальные уравнения возмущенного движения планеты в оскулирующих переменных и разработал способы их приближенного интегрирования. Большие планеты движутся почти по Крутовым орбитам, плоскости которых составляют малые углы с плоскостью эклиптики. Устойчивость планетной системы в смысле Лагранжа есть свойство планет сохранять свои эксцентриситеты и наклонения близкими к нулю. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...