Закон больших чисел

Согласно закону больших чисел величина стремится к математическому ожиданию случайной величины при неограниченном возрастании числа наблюдений. (Здесь и далее предполагается, что выборка однородна и наблюдения независимы.) Выборочные оценки, сходящиеся по вероятности к соответствующим характеристикам закона распределения, называются состоятельными оценками. [c.263]

Если рассматривать перечисленные отступления как случайные, меняющиеся в известных пределах, то, пользуясь законами больших чисел, можно предсказать вероятность выхода конструкции из строя. Если окажется, что эта вероятность практически равна нулю или, во всяком случае, мала, то следует считать, что конструкция надежна. [c.37]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

В этом заключается закон больших чисел, установленный в общей форме в середине XIX в. выдающимся русским математиком П. Л. Чебышевым. На основе этого закона для оценки всей совокупности или партии необязательно испытывать все предметы, а можно пользоваться выборочной средней х, вычисляемой из ограниченного количества испытаний. Достаточным количеством считается для различных условий от 25 до 500 наблюдений. [c.165]

Отдельные экземпляры продукции, взятые порознь, могут иметь случайные отклонения и значительное различие между собой. Однако при определении средней арифметической даже в небольшой части совокупности (но при достаточном количестве наблюдений) случайные отклонения или ошибки в ту или другую сторону частично погашаются. Закон больших чисел, таким образом, устанавливает, что с увеличением количества наблюдений влияние на среднюю арифметическую случайных факторов исключается. В результате отклонения выборочной средней х от средней во всей совокупности (М) при увеличении п оказываются весьма незначительными. [c.165]

Так как математическое ожидание случайной величины X связано со средним арифметическим выборочных значений случайной величины при большом числе испытаний и согласно закону больших чисел [c.205]

Закон больших чисел I (1-я) — 290 [c.295]

Частость W(А) является случайным проявлением основной, присущей данному явлению закономерности, характеризуемой вероятностью Р (А). По мере увеличения числа испытаний частость со всё большей точностью выражает вероятность (см. закон больших чисел, стр. 290). [c.280]

Закон больших чисел и предельные теоремы [c.290]

W (А) называют статистической вероятностью, Р(А) — теоретической или математической вероятностью. При увеличении числа испытаний частость приближается к вероятности (см. закон больших чисел, стр. 328). [c.324]

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ и ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА [c.328]

Закон больших чисел устанавливает близость между вероятностью случайного события и частостью появления его при большом числе испытаний. Наиболее общая форма этого закона дана П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым. [c.328]

В качестве примера можно рассмотреть возможные колебания давления воздуха в закрытом сосуде при комнатной температуре, вызываемые числом ударов молекул воздуха в данный момент времени об один квадратный сантиметр стенки сосуда. Это число ударов при атмосферном давлении около 10 , т. е. миллион миллионов. На основании закона больших чисел это число ударов не может в различные моменты отличаться друг от друга на величину более квадратного корня из 10 , т. е. на 1 млн. Таким образом, давление на квадратный сантиметр поверхности стенки сосуда в разные моменты будет меняться лишь на 0,0001% (р = = 100/ / = 0,0001%). Реально не существует таких приборов, которые могли бы обнаружить столь малые 14 [c.14]

Одним из выводов теории вероятностей и статистического закона больших чисел является закон действия масс, согласно которому скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Пусть, например, реагируют два вещества - -водород и хлор. Реакция заключается в удачном столкновении их молекул, которое вызывает образование нового соединения хлористого водорода. Схематически все это выражается так H2 + I2-+2HQ. Если рассматривать одну молекулу водорода, то очевидно, что число столкновений с ней будет тем больше, чем больше в данном объеме присутствует молекул хлора. К такому выводу мы придем, если будем рассматривать число столкновений с одной молекулой хлора это число будет тем больше, чем больше в Данном объеме присутствует молекул водорода. Значит, общее число столкновений будет тем больше, чем больше произведение концентраций реагирующих агентов. Если коэффициент удачных столкновений, т. е. вызывающих наступление реакции, обозначить через К, то скорость данной реакции может быть выражена формулой v = К [Н2] [Ог]- Это и есть выражение закона действующих масс применительно к данной реакции. [c.20]

Каким же образом и почему в результате реализующихся в химической реакции соударений молекул возникают такие когерентные структуры Этот вопрос кратко обсуждается в разделе, посвященном закону больших чисел. Я постараюсь подчеркнуть то обстоятельство, что обычная химическая кинетика соответствует теории усредненного поля , очень похожей на теорию Ван-дер-Ваальса, выражением которой являются уравнения состояния, и на теорию ферромагнетизма, разработанную Вейссом. Совершенно так же, как и эти теории, теория усредненного поля перестает быть справедливой при приближении [c.124]

Закон больших чисел и статистическое рассмотрение химических реакций [c.138]

Что понимается под законом больших чисел Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим типичный способ вероятностного описания системы, играющий важную роль во многих областях науки и техники, — так называемое распределение Пуассона. Это распределение рассматривает переменную величину X, которая может принимать целочисленные значения X = О, 1, 2, 3. .. Согласно распределению Пуассона вероятность того, что случайная величина принимает значение X, равна .. X [c.139]

В случае распределений других типов среднее квадратичное отклонение уже не равно среднему значению, как это следует из уравнения (22). Тем ПС менее в любых случаях, для которых закон больших чисел справедлив, величина среднего квадратичного отклонения имеет тот же порядок. Поэтому [c.140]

Исходя из результатов проведенных исследований можно сделать заключение, что изменение высот неровностей литой поверхности происходит по кривой нормального распределения и подчиняется закону больших чисел. Использование методов математической статистики позволяет обрабатывать данные экспериментальных замеров высоты микронеровности литой поверхности. [c.133]

Предельная теорема Чебышева (закон больших чисел). Пусть ь 2,gn — последовательность попарно независимых случайных величии, имеющих конечные дисперсии, ограниченные в совокупности некоторой постоянной. Тогда для любого е>0 [c.114]

Повторяя серию из п опытов многократно, будем получать для накопленной частости случайного события А различные значения. Однако они будут колебаться около одного и того же числа, являющегося вероятностью события, причем так, что значительные отклонения от этого числа будут редкими. При возрастании числа опытов в соответствии с законом больших чисел указанные отклонения будут встречаться все более и более редко. [c.5]

Видимое противоречие разрешается, если вспомнить, что мы никогда не имеем дела с отдельной молекулой или отдельным магнитиком. Во всех процессах участвует колоссальное количество таких микроскопических объектов и в силу вступают законы больших чисел. С их действием мы уже знакомы на примере с подбрасыванием монет. Как бы случайно ни подбрасывалась каждая отдельная монета, из большого числа монет почти ровно половина упадут на орла ... [c.115]

Если в процессе принимает участие колоссальное количество частиц — порядка Постоянной Авогадро, то законы больших чисел делают отступления от вероятностного сценария невозможными. Совсем другое дело, когда речь идет о сравнительно небольшом чиС г ле частиц. [c.209]

Наилучшие результаты оптимизационные подходы указанного выше типа дают в тех задачах, где предельно допустимый риск отказа достаточно высок и где можно говорить о применимости закона больших чисел. Примером служат расчеты эффективности антисейсмических мероприятий. Значения безусловной функции надежности сооружений в сейсмических районах должны быть достаточно высоки и сопоставимы с таковыми для несейсмических районов. Однако значения условной функции надежности, соответствующей крайне редко встречающимся сильным землетрясениям, не обязательно очень высоки. [c.59]

Вместе с тем, было бы неправильно придавать этим методам абсолютное значение и противопоставлять вероятностно-статистические методы обычным нормативным методам. По своему назначению крупные технические объекты - машины и системы машин, энергетические станции, магистральные трубопроводы и т.п. должны обладать высокой степенью надежности. Наступление предельного состояния для конструкций, работающих в нормальных условиях, не может рассматриваться как массовое событие. При этом оказываются неприменимыми закон больших чисел и статистическое истолкование вероятности. Кроме того, мы почти нигде не располагаем настолько обширными статистическими материалами, чтобы с уверенностью судить о столь малых вероятностях. Поэтому при использовании вероятностно-статистических методов приходится прибегать к не- [c.63]

Стандартная статистическая задача в формулировке определения 1 замкнута в том смысле, что для любого сколько-нибудь разумного решения при увеличении объема наблюдений вследствие действия закона больших чисел уменьшается возможность ошибки неизвестное распределение Р может быть сколь угодно точно восстановлено по выборке достаточно большого объема п, эмпирическая функция распределения fn ) [c.497]

Для экспериментального определения величины организуют К случайных блужданий со случайными траекториями (к = 1,.. -, К) с начальным состоянием f j и каждый раз регистрируют значение, соответствующее значению случайной величины Если испытания независимы между собой и величина имеет ограниченную дисперсию, то в силу закона больших чисел при достаточно большом К с вероятностью, близкой к 1, будет справедливо неравенство [c.302]

Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Если мы не хотим входить в детали динамики системы многих частиц, то единственное утверждение, которое можно высказать относительно столкновений, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны как по своей силе, так и по направлению. Вопреки первому впечатлению, это утверждение ни в коем случае не является ни негативным, ни обескураживающим. Напротив, если мы готовы отказаться от детерминизма в описании прогресса, то это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятности. Мы не можем считать силу А (t) заданной функцией времени однако можем сделать разумные предположения о влиянии столкновений, усредненном по большому числу макроскопически одинаковых ситуаций (т. е. по ансамблю). Аналогично мы не можем предсказать скорость или положение броуновской частицы в каждый момент времени t, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (11.2.2) отличается от традиционной детерминированной начальной задачи для дифференциального уравнения. Уравнение (11.2.2) является типичным (и знаменитым) представителем класса так называемых стохастических (или случайных) уравнений движения. По имени [c.11]

В современной математической теории свойства вероятностей вводятся аксиоматическиа вывод о существовании предельных частот, сколь угодно близких к вероятности, получается уже как следствие этих аксиом и носит название закона больших чисел. [c.24]

Вычислить вероятности событий можно лишь в том случае, когда известно, сколько событий какого типа возможно. В приведенном примере с урной нужно знать число содержащихся в ней белых (п ) и число черных и красных (тгь) шаров. Часто мы этого не знаем и решаем обратную задачу - по частоте появления шаров того или иного цвета в описанном выше опыте определяем вероят ность появления белого, черного или красного. Пусть мы проделали А/ испытаний, т.е. /V раз доставали шар из урны, каждь1й раз записывали его цвет и возвращали обратно в урну. Пусть при этом мы К раз вытащили белый шар, тогда К/Ы называется частотой появления белого шара. Основной закон теории вероятностей — закон больших чисел - утверждает, что при достаточно бол1 шом числе испытаний Ы частота появления события (с вероятностью, близкой к достоверности) как угодно мало отличается от вероятности этого события, иначе говоря, если [c.28]

Использовать весь патентный материал невозможн) и поэтому для анализа делается выборка. Действующи закон больших чисел нивелирует отдельные отклош ния в динамике патентования. [c.198]

Надёжность использования на практике правил теории вероятностей основана на теоремах закона больших чисел, устанавливающих близость между вероятностью случайного события и частостью появления его при большом числе испытаний или же близость других аналогичных теоретических и соответствующих им эмпирических величин. Полные фирмулиравки и доказательства теорем см. в указываемых ниже источниках. [c.290]

Необходимость накопления большого числа наблюдений по каждой из частостей, входящей в соответственную эмпирическую характеристику, "для того чтобы они в соответствии с законом больших чисел достаточно надежно представляли соответственные вероятности, приводит к тому, что на практике пользование указанными выше эмпирическими характеристиками осуществимо обычно только для однородных простых и малосвязных сложных цепей при небольшом числе возможных состояний (т. е. когда малы 5 и /С, определяющие порядок матрицы перехода, числа измерений 5-мерных распределений и т. д.). В остальных случаях вместо приведенных исчерпывающих эмпирических характеристик обычно пользуются менее полными. [c.206]

Закон больших чисел. Статистический закон больших чисел является одним из основных выводов теории вероятностей, изучающей закономерности в системах, состоящих из огромного числа частиц. При этом возможные изменения в таких системах носят вероятностный, статистический характер. Согласно этому закону скорость колебания, с какой меняется среднее число случаев, в которых наступает то или иное явление, равна квадратному корню из этого числа случаев. По мере возрастания числа рассматриваемых случаев, естественно, повышается точность предсказания протекания данного явления. Если среднее число таких случаев N, то по законам теории вероятности эта величша в отдельные моменты может колебаться на величину уМ. Отсюда эти колебания составляют р, %, от N, т. е. [c.14]

Для иллюстрации статистического закона больших чисел в процессах водообра-Йотки рассмотрим наиболее часто встречающиеся процессы растворения в воде твердых и газообразных веществ. [c.15]

Принцип стохастнческого детермииязма. Гарантии в условиях случайных воздействий обеспечивают, используя устойчивость результатов массовых случайных явлений. Обидае формы такой устойчивости нашли свое выражение в законе больших чисел и предельных теоремах теории вероятностей. Явление это названо стохастическим детерминизмом. Явление стохастического детерминизма во многих случаях облегчает построение и изучение моделей сложных массовых явлений, позволяя легко учитывать или пренебрегать, когда это допустимо, элементом случайности. Так, при исследовании вещества от стохастических моделей на молекулярном уровне переходят к детерминированным характеристикам (например, плотности и давлению) на макроуровне. [c.490]

Следствие теоремы Лапласа — тс орем а Берну л Л и (закон больших чисел) при достаточно болызом числе испытаний с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что частота события А будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности, [c.70]

При известных условиях невынолнение условия независимости может привести даже к невынолнению закона больших чисел. [c.30]

Теплотехнический справочник том 1 издание 2 (1975) -- [ c.70 ]

Основы метрологии, точность и надёжность в приборостроении (1991) -- [ c.54 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.587 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) -- [ c.223 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...