Форма квадратичная собственная

Здесь функция С х, х ) представляет собой так называемую функцию Грина для уравнения на собственные значения и" (х) == = — Ки с граничными условиями ц (0) = ц (Ь) = О ). Так как Ф является интегральной формой, квадратичной по (х), то вычисление (х) (х ) эквивалентно обращению этого интегрального ядра. (См. замечание к решению задачи 2. Хотя там рассмотрены лишь матрицы конечного порядка, однако по аналогии нетрудно провести обобщение на бесконечномерный случай.) Это в сущности те же функции Грина типа (8). Относительно функций Грина см., например, [7] ). [c.421]

Эта книга в течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. [c.161]

Решим теперь задачу другим способом, основывая решение не на алгебре квадратичных форм, а на уравнениях движения. Если корни уравнения периодов простые, то уравнение (9.2.2) определяет собственные значения единственным образом с точностью до скалярного множителя условия ортогональности (9.2.34), (9.2.35) при этом выполняются автоматически. [c.153]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Квадратичную форму для кинетической энергии сателлитов в относительном движении (относительно оси, проходящей через собственный центр инерции сателлита) [c.137]

Таким образом, при пошаговом интегрировании уравнений (6.2) или (6.4) по достижении некоторых нагрузок (собственного состояния или бифуркационных) может наступить момент времени, когда касательная матрица жесткости вырождается, т. е. выполняется равенство (7.4), при этом появляются нулевые элементы на главной диагонали матрицы D в разложении (6.8). Число этих элементов соответствует числу линейно независимых собственных векторов задачи (7.3) . Выполнение достаточного критерия единственности (устойчивости) означает положительную определенность квадратичной формы [c.213]

Пример. Рассмотрим торсовую оболочку, заданную в виде (1.72) с ребром возврата (1.87), для которой коэффициенты квадратичных форм поверхности получены в форме (4.30). При учете действия только собственного веса оболочки поверхностная распределенная нагрузка принимается в виде (6.47). [c.237]

Пример 1 [63]. Определим напряженное состояние оболочки в форме линейчатой резной поверхности Монжа от действия собственного веса, опертой по краям Р = Ро и p = pi на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и гибкие из плоскости. В данном случае краевые условия записываются как =0 при Р = Ро и p = pi. Будем считать, что срединная поверхность задана в виде (1.154), тогда коэффициенты квадратичных форм необходимо определять по формулам (4.35). [c.249]

Функция 5 представляет собой квадратичную форму с коэффициентами, являющимися почетными степенями вещественных частей собственных чисел матрицы А. Составим полную производную от 5 по в силу дифференциальных уравнений системы (3.11), [c.56]

Чтобы неравенство (5) было справедливо для любого механического процесса деформации, квадратичная форма е С е должна быть неположительна. Это условие выполняется, если все собственные числа матрицы С неположительны. [c.358]

Линейные консервативные системы. Собственные частоты и нормальные колебания. Зависимость собственных частот от параметров системы. Согласно результатам п. 2 настоящего параграфа задача о малых колебаниях консервативной системы около положения равновесия приводится к интегрированию уравнений Лагранжа, в которых кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, а [c.250]

Уравнения Лагранжа механической системы имеют вид Aq + Bq + q = О, где А, В и С — постоянные матрицы, причем А и С — симметрические матрицы, отвечающие положительно определенным квадратичным формам, а В — диагональная матрица с элементами Ри = Р > О, = О (г 7 1). Показать, что те значения со, нри которых годограф Михайлова /(i o) характеристического полинома системы f X) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при р 0. [c.181]

Пайти собственные числа и собственные функции из(1) этого оператора в пространстве квадратичных форм, т. е. функций у х) [c.287]

Задача. Пусть квадратичная форма А (е) на евклидовом пространстве R непрерывно дифференцируемо зависит от параметра е. Покажите, что каждое собственное число дифференцируемо зависит от е, и найдите производные. [c.102]

А. Нормальная форма консервативной системы вблизи положения равновесия. Предположим, что в линейном приближении положение равновесия гамильтоновой системы с п степенями свободы устойчиво, и что все п собственных частот (О1,. . ., различны. Тогда квадратичная часть гамильтониана приводится [c.352]

Вообще, кратный спектр в типичных семействах квадратичных форм наблюдается лишь при двух или более параметрах, а в однопараметрических семействах общего вида спектр при всех значениях параметра простой. Практически это проявляется в том, что при изменении параметра в типичном однопараметрическом семействе собственные числа могут тесно сближаться, но, подойдя достаточно близко одно к другому, как бы начинают отталкивать друг друга и снова расходятся, обманув надежду меняющего параметр лица добиться кратного спектра. [c.394]

Приведенное рассуждение о собственных числах двупараметрических семейств квадратичных форм объясняет странное поведение собственных частот при изменении одного параметра вообще говоря (исключая случаи совершенно особые) при изменении одного параметра собственные частоты могут подходить близко друг к другу, но не могут обгонять друг друга, а должны, сблизившись, снова разойтись в разные стороны. [c.398]

Квадраты собственных частот мембраны — это собственные числа квадратичной формы II в конфигурационном пространстве, метрика которого задана с помощью кинетической энергии. Мы примем, что типичной мембране отвечает типичная квадратичная форма (предположение это означает трансверсальность многообразия квадратичных форм, соответствующих разным мембранам, многообразию форм с кратными собственными числами). Если поверить в это свойство общего положения, то мы приходим к следующим выводам. [c.399]

В самом деле, на главной оси любой квадратичной формы В, отвечающей собственному числу Я, форма В — "КЕ обращается в О вместе со своим градиентом. Обращение в О самой этой формы в точке пересечения главной оси с гиперплоскостью означает, что [c.437]

Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма 2, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения aSi положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной Я. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re Я > О, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки Я = О или Я = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке Я = О действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности. [c.185]

Пример 43.1. Найта собственные частоты системы с двумя степенями свободы путем приведения к каноническому виду квадратичных форм (43.4) и (43.6). [c.243]

Отношение квадратичных форм в правой части (4) имеет максимум одновременно с максимумом формы в числителе. Последний же достигается для направления е, соответствующего наибольшему собственному значению 0д тензора 0. Итак, [c.363]

Замечание П29.11. То же рассуждение доказывает признак параметрической устойчивости симплектическое отображение А параметрически устойчиво в том и только том случае, если все собственные значения лежат на окружности Хи = 1, / 1, и на каждом инвариантном подпространстве, соответствующем кратным собственным значениям Л, Л, квадратичная форма [А , положительно (или отрицательно) определена. [c.224]

Если матрица А симметрична, а ее собственные векторы ортонор-мированы, то 8 = 8 . Это дает возможность привести квадратичную форму (х, Ах) к каноническому виду [c.117]

Произведем вначале диагонализацию квадратичной формы. С этой целью найдем решение уравнения tmnUn = Kiim- Обозначая 612 = = jei2 e получим собственные векторы [c.269]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

В [1-3] было показано, что проблемы математической совместности, унитарности, а также ряд вопросов динамического описания могут быть решены в НТП положительным образом. К числу оставшихся нерешенными относятся вопросы сходимости и макроскопической причинности (а также градиентной инвариантности в электродинамике). Как было показано еще Блохом [4], в НТП с жестким форм-фактором в вершинной части лагранжиана взаимодействия появляются специфические расходимости по углам псевдоевклидова пространства, связанные с нарушением правил обхода Фейнмана из-за акаузальности теории. Другими словами, расходимости связаны с большими значениями пространственных и временных компонент виртуальных импульсов при небольшой величине их четырехмерного квадрата. Анализ, основанный на сформулированной в [3 диаграммной технике, показывает, что форм-фактор устраняет лишь логарифмические расходимости локальной теории (в частности, расходимости собственной энергии фермиона, см. также [5]). Квадратично же расходившиеся матричные элементы остаются расходящимися и в НТП при этом дело не сводится к появлению бесконечной константы, а расходимость возникает лишь при определенных (пространственноподобных) импульсах диаграммы. Таким образом, рассматриваемый вариант НТП оказывается во всяком случае неприменимым к весьма актуальному случаю неперенормируемой теории. [c.143]

Кинетическая Т д, д) = д Ад/2 и потенциальная П(д) энергии системы являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все собственные частоты системы сох, СО25 , ( г Ф к) и соответствующие им амплитудные векторы их, и2,. .., и . К системе приложено внешнее воздействие Qi = (г = 1, п). Найти движение системы, если в начальный момент она находилась в покое. [c.194]

В гомогенной смеси с с компонентами термодинамическое состояние имеет с-4-1 степень свободы (см. гл. 6, 6, п.1). Если критическое состояние определено наложением двух дополнительных условий, соответствующих (Б.7) или (Б.9), та оно будет иметь соответственно с — 1 степень свободы. Обычное условие устойчивости гомогенной системы состоит в том, что некоторая квадратичная форма должна быть положительной. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения этой формы были положительными. В критической точке эта квадратичная форма вырождается, т. е. одно из собственных значений стремится к нулю (или к бесконечности) при асимптотическом приближении к некоторому состоянию. Если форма, определяющая устойчивость, представляет собой сумму квадратов, то это условие совпада ет с условиями (Б.7) или (Б.9). Если число компонентов больше двух, то возникает осложнение, связанное с тем. что в форме, определяющей устойчивость, могут появиться перекрестные члены д Р1дЫ дЫ Ф О (см. гл. 6. 8). В этом случае необходимо сначала привести форму к главным осям. Переменная, являющаяся неопределенной в двух- [c.200]

Здесь мы рассмотрим общий вопрос о том, при каких значениях параметров спектр собственных чисел вырождается, т. е. соответствующий эллгшсоид становится эллипсоидом вращения. Заметим, что собственные числа квадратичной формы в евклидовом пространстве (или длины осей эллипсоида) непрерывно меняются при непрерывном изменении параметров системы (коэффициентов формы). Кажется естественным ожидать, что в зависящей от одного параметра системе при изменении параметра в отдельные моменты одно из собственных чисел будет сталкиваться с другим, так что при отдельных значениях параметра система будет иметь кратный спектр. [c.393]

Этот парадокс становится, быть может, более понятным из следующего вычисления. Квадратичные формы Ах + 2Вху + Су с равными собственными числами образуют в трехмерном пространстве с крординатамп А, В, С многообразие, заданное одним уравнением где (А, В, С) — соб- [c.396]

Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости систелш. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному. Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением. [c.396]

Из (110.10) —(110.15) непосредственно видно, что квадратичная форма (116.4) является квадратичным инвариантом при преобразованиях q с помощью унитарных преобразований из группы . Следовательно, чтобы установить, как преобразуется полная собственная функция колебаний рещетки под действием унитарных пространственных преобразований, нужно исследовать только преобразование BTOiporo множителя в (115.9). [c.368]

Разложение поля по модам (по плоским волнам в случае бесконечного пространства или по собственным тинам колебаний в случае замкнутой полости с зеркальными стенками) позволяет представить гамильтониан поля в виде диагональной квадратичной формы (3.2.15), так что (1) факторизуется [c.112]

Отсюда мож о сделать вывод, что значения kj отрицательны при / 1, та/ как в противном случае величина Р (t), описываемая выражением (26.2.22), не могла бы быть вектором вероятностей для больших значений t. Отрицательность собственных значений Kj можно также доказать, показав, что матрице S соответствует отрицательно полуопределеннай квадратичная форма ). Это легко сделать, выражая матричные элементы А (п, тп) через неотрицательные элементы В (п, тп) при помощи соотношения [c.584]

Следовательно, квадратичная форма [А , ] невырождена при < т, включая I = 0. С другой стороны, при < О эта форма положительно определена. Действительно, каждый вектор г есть сумма своих проекций щ на инвариантные плоскости сг/., соответствующие парам собственных значений Л/., Л/., Л . = 1. Из следствия И29.6 мы заключаем, что плоскости ак попарно ортогональны (в смысле [ , ]). [c.223]

Собственные значения линеариованной системы z = IdHz могут быть четырех типов вещественные пары (а, —а), аФО. чисто мнимые пары (ib, —ib), ЬФО, четверки ( a i6), афО, ЬФО и кратные нулевые числа (см. гл. 6, п. 2.3). В первом и третьем случаях равновесие z=0 заведомо неустойчиво. Мы будем рассматривать случай, когда собственные значения линеаризованной системы чисто мнимы и различны. Можно показать, что тогда существует линейное каноническое преобразование координат р, у, приводящее квадратичную форму [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...