Линейные канонические преобразования

Найдем вещественное линейное каноническое преобразование х. [c.125]

ЛИНЕЙНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [c.254]

I Ру находятся в инволюции. Если их постоянные равны нулю, то уравнения движения четырех вихрей оказываются интегрируемыми по Лиувиллю. Идея решения основана на применении подходящего линейного канонического преобразования, хорошо известно- [c.93]

Линейные канонические преобразования [c.361]

Линейные канонические преобразования. Линейные КП фазового пространства г г = Аг называются симплектическими, если А является матрицей, удовлетворяющей условию (26.4). [c.268]

Указание. При построении примера ограничиться линейными каноническими преобразованиями. [c.244]

Пайти производящую функцию (q, р, Ь) и валентность с линейного канонического преобразования д = Ад + Вр, р = Сд + Бр, где [c.244]

Показать, что совокупность линейных канонических преобразований образует подгруппу группы канонических преобразований. [c.258]

Следовательно, невозмущенное движение устойчиво. Теперь при помощи линейного канонического преобразования введем переменные так, чтобы в этих переменных невозмущенный гамильтониан принял нормальную форму, а сами переменные д,, р1 имели нулевой порядок относительно т, что позволяет ввести в новый гамильтониан малый параметр т в явном виде. Искомая замена переменных такова [c.257]

Исключение линейных членов каноническим преобразованием. [c.761]

Линейные вполне канонические преобразования. Если функция V п. 11 не зависит от if и линейна относительно своих 2л аргументов и Z, то и соответствующее вполне каноническое преобразование будет линейным (и однородным). В общем случае, если предположить, что уравнения (20) разрешены относительно новых переменных т , у., эти последние будут выражаться (линейно) через 2п первоначальных переменных р, д. [c.259]

Особого рассмотрения заслуживают те вполне канонические преобразования, при помощи которых вместо п переменных одного из первоначальных рядов, например q, вводятся п наперед заданных их линейных однородных независимых комбинаций с постоянными коэффициентами [c.259]

В следующем пункте мы покажем, как, используя канонические преобразования, можно получить приближенное описание движения рассматриваемой системы вблизи ее положения равновесия. Для этого предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с линейными дифференциальными уравнениями Гамильтона с постоянными коэффициентами. [c.395]

Найдем вещественное линейное унивалентное каноническое преобразование Xj yj j = 1, 2,..., 2n), приводящее систему (30) к ее нормальной форме [c.396]

Постоянные величины /9, 7, содержащиеся в (47), выражаются через коэффициенты Фурье, отвечающие TV-й гармонике некоторой линейной комбинации функций входящих в функцию Гамильтона (29). Вычисления, проведенные согласно каноническим преобразованиям (34), (39) и (46), дают следующие выражения для величин /9, 7 [c.557]

При линейном преобразовании случайной функции, заданной каноническим разложением, ее математическое ожидание подвергается тому же линейному преобразованию, а координатные функции — соответствующему линейному однородному преобразованию, т. е. каноническое разложение случайной функции Y t), связанной с допускающей каноническое разложение (13) случайной функцией X t) линейным преобразованием (12), имеет вид [c.27]

Ударные импульсы (8) при с = 1 (далее речь будет идти только об импульсивных движениях, соответствующих унивалентным каноническим преобразованиям) определяются некоторой функцией П, которую мы назовём потенциалом ударных импульсов. Поскольку поле ударных импульсов (8) образуется как результат наложения двух полей, в функции П также выделим слагаемые, линейно зависящие от qi i = 1,, n) и t [c.133]

В силу леммы 1 мы всегда можем привести такую систему путем надлежащим образом выбранного линейного неособого преобразования к одному из трех указанных в этой лемме видов, которые мы будем называть каноническими. [c.145]

Из результатов 25 следует, что условия возникновения параметрического резонанса в линейной канонической системе с периодически меняющейся функцией Гамильтона состоят как раз в том, что соответствующее симплектическое преобразование фазового пространства перестает быть устойчивым. Из доказанной [c.200]

Эксцентрические и облические переменные. Среди шести переменных (138) аргументом, служащим для определения положения движущейся точки на орбите (кеплеровой или, вообще, оску-лирующей), является средняя аномалия / но иногда оказывается предпочтительнее вместо / ввести так называемую среднюю долготу, т. е. угол X = / -(- > где <в означает долготу перигелия, определенную в п. 25 гл. III, которая тождественна с g -j-B. Линейное каноническое преобразование (п. 13) позволяет тотчас же от переменных (138) перейти к новым переменным [c.355]

Собственными числами являются го 1,..., го . Выполним линейное каноническое преобразование х,у —у и,и с комплексными коэффициентами у = т + и)/ /2, х = и + ги)/ /2. В новых координатах Я = г u jUjVj +. .. Мы докажем теорему 1 в наиболее простом случае двух степеней свободы. Кроме того, пусть о = 1, а <х>2 = и) — иррациональное число. [c.311]

Собственные значения линеариованной системы z = IdHz могут быть четырех типов вещественные пары (а, —а), аФО. чисто мнимые пары (ib, —ib), ЬФО, четверки ( a i6), афО, ЬФО и кратные нулевые числа (см. гл. 6, п. 2.3). В первом и третьем случаях равновесие z=0 заведомо неустойчиво. Мы будем рассматривать случай, когда собственные значения линеаризованной системы чисто мнимы и различны. Можно показать, что тогда существует линейное каноническое преобразование координат р, у, приводящее квадратичную форму [c.125]

Чтобы можно было применить теорему существования 14, нужно сделать корни простыми, что удается сделать иопижепием порядка системы Гамильтона (1) с помощью интегралов движения центра инерции и интегралов площадей. Прежде всего введем линейное каноническое преобразование, аналогичное преобразованию (7 4), (7 5), а имеппо [c.156]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

В п. 36 отмечалось, что некоторые авторы учитывали влияние движения электронов на колебательные частоты путем канонического преобразования, которое исключает из гамильтониана члены, линейные относительно координат фононов. Здесь мы будем следовать с некоторыми изменениями (см. [19]) исследованию Накаджимы, в котором с самого начала включено кулоновское взаимодействие между электронами. Хотя этот метод и аналогичен методу самосогласованного поля, он позволяет обойтись без слишком грубого адиабатического приближения при изучении движения ионов. Накаджима записывает гамильтониан в форме, эквивалентной следующей [c.761]

Линейная форма (7.23) канонического преобразования неременпых q р, и Q , Р, имеет билинейный ковариант [c.232]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Показать, что в одномерном случае невырожденное линейное стационарное преобразование д = ад- - р, р = уд- -рр всегда является каноническим. Найти его валентность с и производяш,ую функцию Г д,р,1). [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...