Движение в абсолютном пространстве

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

Движение в абсолютном пространстве. Явная зависимость направляющих косинусов от времени может быть получена следующим образом. Выберем неподвижную систему координат, один из ортов которой направлен вдоль вектора кинетического момента, неподвижного в абсолютном пространстве, а два других ему перпендикулярны [c.97]

Рис. 52. Рисунок, иллюстрирующий квазипериодическое движение в абсолютном пространстве (показано движение главной оси Оу) для решения Горячева при к > 1 к = 1.7), [c.139]

Общим выводом относительно случая Горячева-Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем. [c.142]

Этого и следовало ожидать, так как точка, участвуя в описанном сложном движении, остается неподвижной в абсолютном пространстве.О Пример 2.16.2. Найдем ускорение точки, движущейся относительно поверхности Земли. Пренебрегая сжатием Земли, примем ее за шар, радиус которого Я = 6371,1км. Так как Земля совершает оборот вокруг своей оси за одни сутки, то модуль Г2 угловой скорости ш вращения Земли ( о) = О] будем считать равным [c.142]

Пусть две точки А и А твердого тела закреплены неподвижно в абсолютном пространстве. Прямая АА, определенная единичным вектором вз, остается неподвижной во все время движения по отношению как к самому твердому телу, так и к абсолютному реперу. [c.453]

Когда функции р(<), q t), r t) известны, можно определить закон движения твердого тела. Учтем, что вектор К кинетического момента неподвижен в абсолютном пространстве, и направим вдо.аь него единичный базисный вектор ез. Разложим e3.n0 базису репера Oe je eg, жестко связанного с телом [c.475]

Пусть лагранжевы координаты задают конфигурацию механической системы в подвижном репере. Изменения лагранжевых координат никак не влияют на положение базисных векторов в абсолютном пространстве и характеризуют лишь относительное движение. [c.549]

Дифференциальные уравнения (28) представляют собой обобщенные уравнения Эйлера движения твердого тела около неподвижной точки, отнесенные к осям координат, подвижным как в абсолютном пространстве, таки по отношению к рассматриваемому телу. Пользуясь обобщенными уравнениями (28) Эйлера, нетрудно получить простые (необобщенные) уравнения Эйлера, широко используемые при изучении движения самолета, ракеты, корабля и др. [c.39]

Однако способность быстровращающегося гироскопа сохранять направление оси 2 его ротора неизменным в абсолютном пространстве проявляется не только у гироскопов. Если представить себе, что угловая скорость 2 собственного вращения гироскопа, подвешенного на идеальной (без трения) опоре, совмещенной с центром тяжести ротора, равна нулю, то и в этом случае ось г ротора негироскопического твердого тела, неподвижная в начале движения, остается неподвижной и сохраняет неизменное направление в абсолютном пространстве при движении точки опоры. Следовательно, в принципе и негироскопическое (йг = 0) твердое тело может служить указателем заданного направления в абсолютном пространстве. Однако практически не представляется возможным создать идеальную опору без трения, а также точно совместить центр тяжести С (см. рис. 11.8) ротора с точкой О его опоры. При этом на негироскопическое твердое тело будут действовать моменты внешних сил, отклоняющие ось 2 его ротора от заданного направления пространстве. [c.79]

По-прежнему трехгранник xyz свяжем с внутренней рамкой. Направление оси у i, совпадающей с осью наружной рамки карданова подвеса, считаем неизменным в абсолютном пространстве. Положение гироскопа по отношению к трехграннику Xiy z определяем углами а, Р и ф (см. рис. II.1 ф — угол поворота ротора вокруг оси 2, отсчитываемый от оси х). В соответствии с этим необходимо составить три дифференциальных уравнения движения такой системы. [c.119]

Возникновение собственной скорости прецессии гироскопа в кардановом подвесе существенно отличает его свободное движение от свободного движения гироскопа без карданова подвеса (см. гл. II), совершающего нутационные колебания малой амплитуды около направления, неизменного в абсолютном пространстве. [c.142]

Составляющие а и Р угловой скорости поворота рамок карданова подвеса гироскопа относительно самолета можно представить как сумму составляющих и Р угловых скоростей поворота рамок карданова подвеса гироскопа, возникающих вследствие движения крена самолета, когда ось Z ротора гироскопа неподвижна в абсолютном пространстве, и составляющих age и Рабе угловой скорости поворота оси z ротора гироскопа в абсолютном пространстве [c.179]

Для определения кинематики движения рамок карданова подвеса в первом приближении положим, что ось Z ротора гироскопа сохраняет неизменное направление в абсолютном пространстве. Угловую скорость у раскладываем на направления осей х и Zo [c.190]

Уравнения движения гироскопа в абсолютном пространстве принимают вид [c.356]

Уравнения движения гироскопа в абсолютном пространстве после подстановки а = а бс + примут вид [c.357]

Уравнения движения гиростабилизатора в абсолютном пространстве будут [c.360]

Угол поворота оси 2 ротора гироскопа в абсолютном пространстве за полный цикл его движения (на участке 1—5) будет [c.364]

Рассмотрим движение полюса Е гироскопа на изображающей плоскости, оси т , I которой неподвижны в абсолютном пространстве. [c.423]

Движение платформы вокруг оси г не стабилизировано и платформа поворачивается вокруг этой оси вместе с самолетом, При этом повороты самолета вызывают отклонение рамок карданова подвеса гиростабилизатора в абсолютном пространстве, что приводит к возникновению инерционных моментов (см. гл. IV), являющихся наряду с моментами трения в опорах осей рамок карданова подвеса моментами внешних сил по отношению к гироскопам, уста- [c.435]

Если = 0ц(,=0о, а 6 = 90°, то в процессе движения ось г платформы описывает в абсолютном пространстве круглый конус [c.522]

Непрерывное движение. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в теле есть некоторая линейчатая поверхность 2, уравнение которой может быть получено путем исключения t из уравнений (О) этих осей в подвижной системе координат. Геометрическое место тех же осей в абсолютном пространстве, т, е. относительно неподвижной системы координат, представляет собой другую линейчатую поверхность, уравнение которой получается из уравнений (D ). В произвольный момент времени обе эти поверхности имеют общую образующую, которая является мгновенной винтовой осью для этого момента. Более того, они касаются друг друга вдоль этой образующей. В самом деле, вообразим некоторую точку М, описывающую на неподвижной поверхности произвольную кривую таким образом, что в каждый момент времени I она находится на мгновенной оси, являющейся для этого момента общей образующей. Эта же точка описывает относительно движущегося тела некоторую кривую, расположенную на связанной с телом подвижной поверхности Е. В момент I абсолютная скорость этой точки М касается в М поверхности 21, а ее относительная скорость относительно тела касается в М поверхности Е. Наконец, переносная скорость Vg, возникающая вследствие движения тела, направлена вдоль общей образующей МО, так как все точки тела, принадлежащие этой образующей. являющейся мгновенной винтовой осью, только скользят вдоль нее. Так как вектор есть геометрическая сумма векторов V,. и Vg, то все эти три вектора лежат в одной плоскости. Плоскость и Vg, т. е. плоскость и МО, касается поверхности Е1 плоскость У и Уд, т. е. плоскость У и МО, касается поверхности 2. Так как обе эти плоскости совпадают, то поверхности 2 и, 21 касаются друг друга в точке М. Но эта точка взята на образующей произвольно. Следовательно, поверхности 2 и 21 касаются вдоль всей образующей. [c.74]

Эго уравнение, в котором р , Qi, г рассматриваются как текущие координаты, показывает, что точка ю постоянно лежит на сфере S с центром на оси Oz . Точка ш описывает, следовательно, в абсолютном пространстве сферическую кривую Ну. Для определения этой кривой необходимо обратиться к уравнениям (3) и вывести из них дифференциальное уравнение проекции кривой Ну на одну из координатных плоскостей. Но тогда движение можно представить следующим образом [c.204]

При движении твердого тела в общем случае изменяется положение полюса О, а также изменяется ориентация тела в абсолютном пространстве. Поэтому iio и А в (2) — функции времени будем их считать дважды непрерывно дифференцируемыми. [c.49]

Отметим, что при = О или = тг линия узлов ON и углы ср и ф не определены, а определена только их сумма ср + ф. Эта особенность углов Эйлера делает их малопригодными для исследования движений, при которых ось Oz тела может принимать направления, близкие прямой, проходящей через ось 0Z. Избежать этих трудностей можно, применяя другие углы, определяющие ориентацию тела в абсолютном пространстве, или модифицируя углы Эйлера так, чтобы угол в до оси Oz отсчитывался не от оси 0Z, а, например, от ОХ или 0Y. [c.51]

Таким образом, в данный момент времени скорости точек тела таковы, какими они были бы, если бы тело вращалось с угловой скоростью (jj вокруг неподвижной оси, на которой в данный момент времени лежит вектор и). Эта ось называется мгновенной осью вращения а вектор а — мгновенной угловой скоростью. Все точки мгновенной оси вращения имеют скорости, равные нулю. Мгновенная ось вращения перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. В связи с этим заметим, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки (и в общем случае движения свободного твердого тела) ио не является производной некоторого угла так как нет такого направления, вокруг которого поворот на угол (р совершается. [c.61]

При своем движении мгновенная ось вращения описывает в теле коническую поверхность — подвижный аксоид а в абсолютном пространстве коническую поверхность — неподвижный аксоид. Вершины этих аксоидов совпадают с неподвижной точкой О. Аксоиды касаются один другого по образующей, совпадающей с мгновенной осью вращения. Можно показать, что при движении тела подвижный аксоид катится по неподвижному без скольжения. [c.61]

Будем считать, что постоянная го равна нулю тогда частное решение (12) отвечает поступательному движению твердого тела в абсолютном пространстве (в орбитальной же системе координат тело вращается вокруг оси динамической симметрии с угловой скоростью ф = —п). [c.541]

В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации особо замечательных решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. [c.17]

Свазипериодические (двухчастотные) траектории приведенной системы определяют в общем случае трехчастотные квазипериодические движения в абсолютном пространстве, которые могут иметь довольно запутанный вид. Тем не менее, эти движения являются регулярными в отличие от хаотических движений, которые порождаются хаотическими траекториями приведенной системы, неупорядоченное поведение тела в этом случае требует вероятностного описания. [c.92]

Плоскость V, касательная к эллипсоиду инерции в апексе, неподвижна в абсолютном пространстве. Движение твердого тела в случае Эйлера можно представить качениел эллипсоида инерции по неподвижной плоскости V без проскальзывания. [c.468]

Уравнение (15) представляет собой теорему о моменте количества движения для тела, положение центра инерции О которого не совпадает с неподвижной точкой О, а точка О движется в абсолютном пространстве с ускорением Шд. В дальнейшем будем пользоваться уравнением (14), полагая, что если точка О движется с ускорением Шд, то момент — га х ЗЛшд) должен быть добавлен в правую часть к моментам внешних сил, действующим на тело Т вокруг точки О. [c.34]

В целях I более наглядного сравнения способности оси 2 быстровращающегося ротора гироскопа и оси 2 твердого негироскопического тела сохранять заданное направление в абсолютном пространстве, рассмотрим двингения гироскопа и твердого тела, нагруженного моментом внешних сил. Представим гироскоп (рис. 11.9), движение которого около неподвижной точки для наглядности осуществляется с помощью карданова подвеса с невесомыми рамками, нагруженный моментом Мх = Рг внешних сил, где Р — вес груза, подвешенного на шнуре, перекинутом через ролик, а г — радиус ролика. [c.79]

Момент при р>0иу< 0в1и1У четвертях затягивает ось Z ротора гироскопа к совмещению с осью i/j наружной рамки карданова подвеса, а во II и III четвертях выталкивает ее из совмещенного положения. Особенно неблагоприятным является случай (например, движение гироскопа в III четверти, представленное на рис. VII.15), когда в момент сближения осей ротора и наружной рамки наружная рамка карданова подвеса вращается в такую сторону, что и инерционный момент и момент трения затягивают ось z ротора гироскопа в совмещенное положение. В момент совмещения осей ротора и карданова подвеса (ось yi) гироскоп теряет одну степень свободы и как простое негироскопическое твердое тело вращается вокруг оси У1 наружной рамки карданова подвеса по инерции. Если при зтом ось у1 наружной рамки поворачивается в пространстве, то момент Ма удерживает ось z ротора гироскопа в совмещенном положении с осью г/i (инерционный момент равен нулю), ось z остается совмещенной с осью j/i и, следовательно, в процессе эволюций самолета ось Z ротора гироскопа не сохраняет неизменного направления в абсолютном пространстве. [c.196]

Моменты трения Ma и в подшипниках осей карданова подвеса являются пассивными моментами, так как они сами не могут быть первопричиной движения гироскопа. При этом астатический гироскоп, установленный на основании, неподвижном в абсолютном пространстве, при любых значениях координат а и Р остается неподвижным (а = tto = onst р = Ро = onst). [c.202]

Кинематика движения рамок карданова подвеса гиростабилизатора подобна кинематике движения рамок карданова подвеса астатического гироскопа, установленного на качающемся основании. Только здесь неизменное направление в абсолютном пространстве сохраняет ось г, перпендикулярная плоскости платформы (см. рис. XVII. ), а не ось 2 ротора гироскопа. [c.441]

Говорят, что поверхность 5 катится и вертится по поверхности 51, если в каждый момент времени t скорость точки А касания этих поверхностей равна нулю. В это.м случае VI равно нулю и скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно совершало вращение Аы вокруг оси, проходящей через А. Следовательно, мгновенная винтовая ось проходит через А и скольжение не происходит. Геометрическое место осей Аш образует в теле 5 иек торую линейчатую поверхность 2, а в абсолютном пространстве — некоторую линейчатую поверхность 21, Движение тела получится, если заставить катиться поверхность 2 по поверхности 21. Геометрическое место точек А на поверхности 5 есть кривая С пересечения поверхностей 2 и 5 геометрическое место точек А на поверхности 5х есть кривая С1 пересечения поверхностей 21 и 51. Эти две кривые С и [c.76]

При движении тела мгновенный центр скоростей перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. Геометрическое место его положений на неподвижной плоскости называется неподвижной центроидощ а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в самой движущейся плоской фигуре называется подвижной центроидой. Можно показать, что при движении тела подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения. [c.66]

Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движения Эйлера-Пуансо. После того как в п. 102 величины р, г были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат OXYZ. Задача сильно упрощается, если, как и в п. 100, ось 0Z направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Bq Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ож, Оу Oz вычисляются, согласно рис. 96, по формулам [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...