Гиперболическое уравнение теплопроводности

Рассмотрение здесь системы (7.13) оправдано тем, что она тесным образом связана с уравнениями второго порядка с частными производными. Кроме того, исследование системы (7.13) представляет самостоятельный интерес, так как некоторые задачи математической физики описываются подобными системами (далее будет приведен пример подобной задачи о гиперболическом уравнении теплопроводности). [c.233]

Гиперболическое уравнение теплопроводности и его решение методом характеристик [c.241]

Рис. 7.6. Область отыскания решения гиперболического уравнения теплопроводности

Рис. 1-3. Сравнение параболического и гиперболического уравнений теплопроводности.

Из вышеуказанного уравнения получается как частный случай гиперболическое уравнение теплопроводности. Если предположить, что р (0) = О и к (в) = О, то [c.92]

Ясно, что значения избыточных температур, полученные по решениям соответствующих одномерных(параболического и гиперболического) уравнений теплопроводности для, одной и той же координаты J , должны заметно различаться между собой в интервале суммарного времени распространения температурной волны и релаксации вещества, т-.е. при С . При [c.551]

Следует заметить, что решения гиперболического уравнения теплопроводности устраняют противоречия с физической сущностью тепловых явлений, которые имеются в некоторых решениях уравнения теплопроводности параболического типа, из-за пренебрежения скоростью переноса теплоты.. [c.553]

Упрощения, рассмотренные в 5.2 - 5.А-, могут применяться в равной мере к гиперболическому уравнению теплопроводности и его решениям. [c.553]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.21]

Поэтому обобщенное уравнение (6) распространения тепла называют гиперболическим уравнением теплопроводности. Для распространения тепла дополнительный член в уравнении теплопроводности а агг [c.22]

Устойчивый шаг тепловой части. Определение шага устойчивого счета для тепловой фазы покажем на примере простейшего случая, когда уравнения энергии и теплового потока оказываются эквивалентными гиперболическому уравнению теплопроводности [c.177]

Другая картина наблюдается в случае поглощения коротковолнового импульса. В этом случае зона поглощения имеет толщину порядка м, а результаты расчетов по параболическому и гиперболическому уравнениям теплопроводности практически не отличаются. Имеется незначительное изменение формы и амплитуды тепловой волны за характерное время механических процессов, которое считаем порядка [c.181]

Усиление тепловых волн. Численный анализ. Проведенное выше исследование возможности усиления тепловых волн основано на ряде предположений о характере решения уравнений (VI.57), (VI.58). Проверим вывод о возможности усиления тепловой волны, решая без упрощений гиперболическое уравнение теплопроводности численно для [c.183]

Гиперболическое уравнение теплопроводности (5.5) имеет решение, представляющее очерченный фронт волн, перемещающийся с конечной скоростью [3] [c.120]

Заметим, что систему (7.37) можно свести к одному дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, в частности, для температуры. Полученное таким образом уравнение теплопроводности будет принадлежать к гиперболическому типу. [c.242]

В этом случае уравнение теплопроводности будет представлять собой дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными гиперболического типа [c.9]

Явными методами обычно решаются параболические уравнения (уравнение теплопроводности) и гиперболические уравнения (волновое). На наш взгляд, такое деление чисто условно. Как параболические, так и гиперболические уравнения могут быть решены в неявном виде, причем такой способ решения обладает рядом преимуществ. [c.211]

Весьма существенно выяснение условий сходимости ряда (5) и рядов для производных функций и, так как к уравнению (1) не применима теорема Коши-Ковалевской и обычно ряды Тейлора для параболических уравнений (например, для линейного уравнения теплопроводности) расходятся. Оказывается, что вырождение при и, = О уравнения (1) в гиперболическое уравнение и сильная нелинейность (1) позволяют при некоторых условиях на аналитические в окрестности нуля функции (р ш f решить вопрос о сходимости ряда (5) положительно. [c.278]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

Система дифференциальных уравнений термоупругости (1.1) состоит из уравнения движения упругой среды, принадлежащего гиперболическому (вырожденному) типу и из уравнения теплопроводности, относящегося к параболическому типу. Эта система, как уже отмечалось (см. I, 15, п. 1), не входит в известные канонические классы уравнений математической физики. [c.418]

Поэтому данная книга ни в коей мере не заменяет и не дублирует существующий справочник по теплотехнике и теплопередаче, так как, во-первых, методически она построена по иному принципу и, во-вторых, в основном рассматривает взаимосвязанные процессы тепломассопереноса и математическую теорию переноса, которая в одинаковой мере применима к переносу как тепла, так и массы вещества. Вследствие этого вопросы передачи тепла излучением, задачи чистого теплообмена и ряд других разделов теплопередачи в книге не рассматриваются. Большое внимание уделяется аналитической теории переноса тепла и массы, в частности нестационарным задачам теплопроводности (разд. 2), где путем введения обобщенных функций удалось одновременно описать одномерные температурные поля в телах классической формы, по-новому, в более простом виде, описать распространение температурных волн, дать обобщение регулярным режимам теплового нагрева тел и ряд других обобщений. На основе дальнейшего развития аналитической теории теплопроводности приведены последние работы по решениям системы дифференциальных уравнений тепломассопереноса (разд. 6), подробно рассмотрены гиперболические уравнения диффузии тепла и массы с учетом конечной скорости распространения. Установлена связь этого нового направления в описании явлений тепломассопереноса с работами американской школы по диффузии массы в пористых средах. [c.4]

Советскими учеными, и в первую очередь А. В. Лыковым и его школой, разработана аналитическая теория совместного тепло- и массопереноса, позволяющая одновременно определять температурные поля и поля концентрации диффундирующих веществ в твердых телах. Выделение роли кратковременных и импульсных процессов потребовало внесения корректив в феноменологическую теорию диффузионного переноса. В результате разработки основ статистической теории диффузионного переноса выведено дифференциальное уравнение теплопроводности гиперболического типа, учитывающее конечную скорость распространения тепла и предназначенное для расчетов нестационарных температурных полей, формирующихся за промежутки времени, сопоставимые с временем тепловой релаксации. [c.7]

Влияние гиперболичности уравнения теплопроводности. Известно, что распространение тепла описывается уравнением параболического типа. Однако при воздействии на материалы импульсов нано- и пикосекундного диапазона скорость протекающих процессов такова, что энергия, поглощенная веществом, не успевает перераспределиться между поглощающими излучение электронами и более инерционными атомами решетки. Таким образом, за промежутки порядка 10 св микрообъеме среды не сразу устанавливается тепловой поток как это предсказывает классический закон Фурье. При приложении градиента температур поток будет нарастать постепенно от нуля до максимума, и для описания процесса теплопроводности необходимо использовать модифицированное уравнение Фурье (1.13). В этом случае из уравнения энергии после отбрасывания тепловых и электронных слагаемых, а также слагаемых, связанных с деформацией среды, следует гиперболическое уравнение, определяющее Г. Из гиперболичности уравнения вытекает возможность формирования и существования в среде тепловой волны [31, 166]. [c.179]

К, а — постоянные на фронте волны, протекание тепла будет максимально затруднено вследствие равенства нулю теплопроводности среды непосредственно перед фронтом. В то же время на гребне температура максимальна, значит, максимален и тепловой поток. Как и в случае гиперболического уравнения итог один образование крутого фронта тепла. [c.180]

Главы 4, 5, 6 написаны Я- М. Котляром 1, 7, 8 — В. Д. Совершенным 2, 3 — Д. С. Стриженовым. Задача о гиперболическом уравнении теплопроводности и его решение методом характеристик представлены также Д. С. Стриженовым. [c.4]

Эти уравнения называются гиперболическими уравнениями теплопроводности и ди узии они отличаются от обычных параболических уравнений тепло- [c.449]

Решения одиомериого гиперболического уравнения теплопроводности (5.93) выражают избыточные температуры через волновые функции, согласно которым от каждой плоскости (перпендикулярной оси ох ), где возникает тепловое возмущение, распространяется температурная волна со скоростью г/", см/сек, равной средней поступательной скорости микрочастиц (квазимикрочастиц), ответственных за перенос теплоты /. [c.550]

Баумейстер К., Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечном теле.— Теплопередача, [c.304]

Баумейстер К-, Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности Решение задачи в полубесконечном теле.— Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Теплопередача, 1969, № 4, с. 112—119. [c.181]

Конечно, использование уравнений параболического типа, как всегда, не дает возможности учесть время релаксации в каждой из фаз, связанное с конечной скоростью распространения в них тепла, и в предельном случае, при критерии Фурье Fo—>-0, система (3-7) не будет отражать действительности. Очевидно, можно будет сделать описание нестационарной теплопроводности дисперсной системы более тождественным при Fo—)-0,. применив систему гиперболических уравнений. Саму модель можно несколько усовершенствоаать, предусмотрев в ней сплошную прослойку газа около стенки. Этим, правда, мы поставим эту прослойку в исключительное положение по сравнению со всеми остальными прослойками газа, находящимися внутри [c.69]

При вы сокоинтен сивных нестационарных тепловых процессах, как уже отмечалось ранее, гиперболическое уравнение энергии более корректно описывает процесс передачи тепла, чем параболическое уравнение теплопроводности. Решение гиперболического нелинейного уравнения теплопереноса представляет определенные трудности, которые оказываются труднопреодолимыми, особенно в случае сложных и переменных краевых условий. Применение электрических моделей с сосредоточенными параметрами может оказаться полезным при решении этого уравнения. [c.313]

Гиперболическими уравнениями, в которые в качестве основного параметра входит скорость распространения волны (скорость звука или скорость света), описывается распространение звуковых и электромагнитных волн. Эти уравнения выводятся на основе законов сохранения без каких-либо дополнительных гипотез, что объясняется следующим. Параболические уравнения неинвариантны относительно знака у переменной т, т. е. замена времени т на —т изменяет само урабнение, что видно из уравнения теплопроводности [c.87]

В зависимости от скорости протекания теплового процесса, его интенсивности и теплоинерционности рассматриваемого тела уравнение теплопроводности может быть отнесено к уравнениям математической физики параболического (чаще всего), гиперболического или эллиптического типа (стационарная задача). [c.9]

Следовательно, пользование уравнениеи теплопроводности гиперболического типа целесообразно при , если, конечно, значения избыточных температур не сли1Яком налы с точки зрения задач и погрешностей расчета. [c.552]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, решение задачи с условиями типа (43), (44) для уравнений гиперболического типа может быть построено методом ха рактеристических рядов, которые, по крайнем мере, в окрестности точки ж = t = О сходятся. Нетривиальным является вопрос о возможности применения аналогичных степенных рядов для построения решения уравнения (45) с условиями (43), (44) в области, ограниченной полуосью t О и некоторой кривой х = ao(t), которая описЫ вает движение фронта фильтрации по области нулевого давления. Хотя формально такие степенные ряды довольно легко построить, главным и принципиальным вопро сом при этом является вопрос о сходимости таких рядов. Ведь простейшие примеры представления решения задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности [c.233]

Нестационарые задачи были подробно изучены в случаях изотермического течения- В большинстве работ по дозвуковому движению газа в газопроводах при малых числах Маха конвективным инерционным членом в динамическом уравнении пренебрегают. Однако и в этом приближении нелинейная система основных дифференциальных уравнений одномерного движения оказывается гиперболической- По-вйдимому, И. А. Чарным (1951, 1961) впервые было предложено для дальнейшего упрош ения задачи при рассмотрении медленно изменяющ,ихся во времени движений газа отбрасывать также и локальный инерционный член динамического уравнения. В этом приближении задача становится параболической, хотя, вообще говоря, сохраняет нелинейный характер, И для того, и для другого приближений Чарным были предложены различные способы. линеаризации уравнений (в некоторых случаях задача сводится к уравнению теплопроводности). Им же были даны решения некоторых типичных задач в линейной постановке ) [c.735]

Уравнение (2.181а) в нестационарном случае является гиперболическим, определяющим два типа упругих волн — поперечные и продольные (см. [66, 165 31, За] задача 5.6 5) в стационарном случае (равновесие упругих тел) уравнение становится эллиптическим. Уравнение (2.1816) — уравнение теплопроводности в твердых телах. Уравнения движения анизотропных упругих тел анализировались в [66, 31]. [c.408]

В последующих трех параграфах излагается гибридная разностная схема, являющаяся обобщением этих двух алгоритмов и предназначенная для расчета связанной задачи нагружения многослойного препятствия импульсом излучения с учетом плавления и испарения наружного слоя [60]. Причем в предлагаемом виде конечно-разностная методика позволяет учитывать и вязко-пластическое поведение материала, а распространение алгоритма А. А. Самарского с параболического уравнения теплопроводности на гиперболическое дает возможность численно изучать инерционность распространения тепла. Объединение обоих алгоритмов в связанной задаче и включение в общую схему расчета роста микроповрежденности достигается с помощью итерационной процедуры. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...