Конечно-разностные уравнения 105, III в диффузионном приближении

При решении конечно-разностных уравнений диффузионного приближения в двухмерной геометрии, например уравнения (3.60), компоненты потока в данном направлении двухмерно системы можно рассматривать в любой момент времени как неизвестные величины и для их получения использовать одномерные методы. Это приближение известно как метод линейной релаксации . Предложить итерационную схему для решения двухмерных уравнений таким методом. Преимущества этого метода обсуждаются в соответствующей литературе [37]. [c.132]

При выводе конечно-разностных уравнений для Рх-приближения использовались конкретные аппроксимации интегралов, входящих в уравнения (3.14) и (3.15). Другие простые аппроксимации привели бы к разностным уравнениям, аналогичным уравнению (3.20), за исключением того, что коэффициенты пг в них были бы несколько отличными от рассмотренных, однако эти коэффициенты вновь имели бы отмеченные выше свойства. Диффузионное приближение приводит к таким же разностным уравнениям, хотя и с другими коэффициентами. Так как диффузионное приближение используется очень широко, то интересно получить соответствующие конечно-разностные уравнения. [c.110]

Очевидно, что уравнения одного вида, а именно уравнения (3.53) и (3.54) для Рх-приближения и уравнение (3.55) для диффузионного приближения, применимы к плоской, сферической и цилиндрической (бесконечно длинный цилиндр) геометриям. Аналогично, для этих трех одномерных геометрий можно получить конечно-разностные уравнения, которые решаются, если исключить небольшие различия в граничных условиях, методом, описанным в разд. 3.2.3. Задачи в двухмерной геометрии оказываются более сложными, и они будут рассмотрены для диффузионного приближения в следующем разделе. [c.117]

Получить конечно-разностные уравнения для Р - (или диффузионного) приближения в двухмерной (г, г) геометрии [35]. Представить их в матричном виде и доказать, что матрица имеет отмеченные выше свойства. [c.132]

Из-за сложной структуры конечно-разностных уравнений матрицы, используемые в итерациях, оказываются тоже весьма сложными. Поэтому используемые здесь расчетные методы не имеют такой математической наглядности и не развиты так же хорошо, как те, которые применяются в Р -приближении или диффузионном приближении. Эмпирически были получены методы ускорения сходимости итерационного процесса, но формально они не были проанализированы. Одна из причин этого состоит в том, что, как отмечалось в разд. 5.2.6, когда Д велико, то решения уравнений могут не быть положительными для всех значений Гг, Хд. Это означает, что свойство положительности оператора переноса (см. разд. 4.4.3) нарушается этим приближением, и анализ становится более сложным. [c.184]

В приведенном выше обсуждении рассматривались операторы, которые являются сопряженными некоторым дифференциальным операторам. Когда дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям в конечных разностях, то необходимо, чтобы сопряженные конечно-разностные уравнения были действительно сопряженными конечно-разностным уравнениям для потока. Например, в двухмерном диффузионном приближении (см. разд. 3.4.2) поток [c.213]

В частном случае диффузионного приближения показано, что матрица А симметрична. Следовательно, А+ = А, и конечно-разностные уравнения оказываются самосопряженными. [c.213]

Уравнение (9.1) или система уравнений (9.2) и (9.3) представляют точное описание изменения потока нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов. В принципе эти уравнения можно решить прямыми конечно-разностными методами, т. е. заменяя производные конечными разностями. На практике указанным способом получены в диффузионном приближении решения ряда задач [c.370]

Конечно-разностные уравнения,аппроксимирующие урав-ненття диффузионного и Р1-приближений, можно вывести для систем, требующих геометрического представленп.я в двух (или трех) измерениях. Как и в разд. 3.2.3, систему конечно-разностных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, которое можно обращать для получения потока иейтронов в точках двухмерной пространственной сетки. Матрица, однако, оказывается гораздо сложнее, чем для одномерной геометрии, так что на практике обращать ее прямы.ми методами нецелесообразно. Вместо них нужно использовать итерационные методы. Кроме того, матр1ща в этом случае обычно имеет более высокий порядок, так как для аппроксимации двухмерной системы требуется значительно больше пространственных точек (обычно порядка 10 ). Для трехмерной геометрии число счетных точек, конечно, еще больше. [c.117]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

При решении реальных реакторных задач, включая нахождение пространственно-временного распределения потока нейтронов, обычно используются простые приближения уравнений переноса (малогрупповое или диффузионное приближение). Для этих приближений многое известно о высших собственных функциях уравнений (см. разд. 4.4.3 и далее). Больше того, когда эти приближения выражены в форме конечно-разностных уравнений, показано (см. разд. 6.1.12), что собственные функции этих уравнений образуют полную систему, т. е. разложение вида (10.1) допустимо. [c.421]

Устойчивость схемы Дюфорта — Франкела можно считать обусловленной наличием гиперболического члена в уравнении дифференциального приближения (Дюфорт и Франкел [1953]). Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.167) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (т. е. при Ах О, А О стремится к модельному уравнению (2.18), содержащему конвективный и диффузионный члены) только в том случае, когда Ах- О, А/- 0 так, что А /Ах- 0. Если же Ах О, Л - 0, но А1/Ахф , то конечно-разностное уравнение (3.167) будет аппроксимировать уравнение (3.168) гиперболического типа. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...