Стокса простое

Как было сказано в 19, Стокс просто предполагал, что К = —2ц/3. Однако ясно, что надежнее ввести в рассмотрение величину ц = Я, + 2ц/3 и исследовать ее экспериментально. С физической точки зрения X и вторая вязкость ц не имеют смысла, пока они не определены и не измерены экспериментально. [c.70]

В рамках феноменологического подхода для нахождения закономерностей изменения неизвестных наблюдаемых величин в пространстве и во времени используются общие физические законы (такие, например, как законы сохранения, постулаты термодинамики и др.) в сочетании с соотношениями между наблюдаемыми величинами, вид которых получен в результате обработки экспериментальных данных. Основу феноменологического подхода для описания гидродинамики систем газ—жидкость составляют законы классической гидромеханики, которая строго описывает движение каждой фазы (см. разд. 1.3). Однако применение строгих результатов, полученных из фундаментальных соотношений гидромеханики (таких, как уравнение Навье—Стокса), к расчету газожидкостных течений является практически невыполнимой задачей, за исключением ряда простых примеров, рассмотренных во второй и третьей главах книги. [c.184]

Некоторые решения уравнений Навье—Стокса являются одновременно и решениями более простых уравнений гидродинамики. Возникает возможность выделять из классов решений таких более простых уравнений те, которые реализуются и в случае вязких течений. Вначале будут рассмотрены изобарические течения [3, 4], а затем, в других разделах, и течения более обших видов. [c.183]

В каждой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, имеем тензор напряжений П и тензор скоростей деформаций 5. Первоначально были сформулированы и экспериментально проверены простейшие частные случаи зависимости компонентов этих двух тензоров, как, например, закон Ньютона для касательных напряжений. Эти зависимости оказались линейными. Это привело к предположению, что линейная зависимость соблюдается и в общем случае. Для жидкостей эта линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций носит название обобщенного закона Ньютона или закона Навье—Стокса. [c.553]

К одному из простых частных случаев точного решения уравнений Навье — Стокса мы приходим в случае так называемых слоистых течений, когда сохраняется лишь одна составляющая скорости, а остальные две всюду равны нулю [c.86]

Заметим, что это простое решение является точным решением полных уравнений Навье — Стокса. Поскольку на пластине в рассматриваемом случае формируется пограничный слой, опре- [c.274]

Главная трудность возникает при решении уравнений Навье— Стокса (2.29), (2.30), (2.31), которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Кроме того, три уравнения содержат четыре неизвестных Wy, и р. Только при больших упрощениях эти уравнения удалось решить. Известны, например, решения [83] для плоскопараллельного и осесимметричного течения вблизи критической точки, возникшего при натекании жидкости из бесконечности на бесконечную стенку, поставленную поперек течения, и еще для нескольких простых случаев. [c.102]

Во внешнем потоке 2 (см. рис. 7.1) градиент скорости dW ldy в реальных условиях не равен нулю, но мал по сравнению с градиентом скорости dw ldy в пограничном слое 1 и поэтому касательные напряжения (1.15) также малы, и силами трения можно пренебречь. Здесь течение можно считать потенциальным (без вязкости) и для расчета такого течения пользоваться вместо сложных уравнений Навье — Стокса (2.29), (2.30) и (2.31) более прост>ши уравнениями Эйлера (2.32). [c.104]

Итак, разбивая исследуемый поток жидкости на две области (пограничный слой и внешний поток) и делая перечисленные выше допущения, получим возможность описать течение в каждой из областей более простыми уравнениями, чем уравнения Навье —Стокса. Решая уравнение Эйлера, для внешнего потока найдем распределение скорости Wy на внешней границе пограничного слоя. Отметим, что распределение давления вдоль пограничного слоя р =f(х) считается заданным-. Давление по толщине пограничного слоя, т. е. вдоль оси у, принимается постоянным и равным давлению на его внешней границе (обоснование дано ниже в 7.1). Результаты решения для внешнего потока принимаются за граничные условия на внешней кромке пограничного слоя. Эти граничные условия используются при решении уравнений динамического пограничного слоя. [c.104]

Произведем упрощение уравнений Навье —Стокса (2.29, 2.30), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая плоского течения жидкости вдоль поверхности малой кривизны. Пусть контур тела совпадает с осью X, тогда система уравнений, описывающая движение жидкости, имеет вид [c.105]

Итак, разбивая исследуемый поток жидкости на две области (пограничный слой и внешний поток) и делая перечисленные выше допущения, получим возможность описать течение в каждой из областей более простыми уравнениями, чем уравнения Навье — Стокса. [c.255]

Рассмотрим обтекание плоской бесконечно тонкой пластинки несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть вдали перед пластинкой жидкость движется поступательно с постоянной скоростью Ид. Пластинка имеет бесконечную длину и расположена вдоль по потоку параллельно скорости Задача плоская движение установившееся жидкость занимает всю плоскость вне пластинки. Эта задача о движении вязкой жидкости является самой простой, но, несмотря на это, она не поддаётся точному решению с помощью уравнений Навье —Стокса ввиду больших математических трудностей. Мы разберём эту задачу с помощью уравнений Прандтля, которые получаются из общих уравнений движений вязкой жидкости с помощью некоторых приближений ). [c.122]

Представление о пограничном слое оказалось плодотворным по двум главным причинам. Во-первых, появилась возможность производить построение теории движения вязкой жидкости и газа на основе известных решений уравнений для идеальной жидкости и газа. Во-вторых, сложные уравнения Навье — Стокса в тонком пограничном слое оказалось возможным заменить более простыми уравнениями теории пограничного слоя. [c.254]

Решение общих уравнений Навье — Стокса даже при простой геометрии течения связано со значительными математическими трудностями. Качественный скачок, имеющий огромное практическое значение, произошел, когда Л. Прандтль установил, что в большинстве прикладных задач силы вязкости сосредоточены лишь в области очень малой толщины, непосредственно прилегаю- [c.33]

Выбор в качестве основного потока аналитически довольно простого плоского потока с критической точкой , который описывается весьма точным решением полных уравнений Навье —Стокса в локальных координатах, удобен тем, что в результате мы получаем относительно простой закон вихревых возмущений. Этот закон является соответствующим видоизменением закона, полученного из более ранней теории [1] неустойчивости пограничного слоя на вогнутых стенках. [c.261]

Седиментация зернистой взвеси подчиняемся более простым закономерностям, чем неустойчивой взвеси, но эти же закономерности с определенными допущениями применяют для расчета осаждения и неустойчивой взвеси. Поэтому прежде рассмотрим осаждение зернистой взвеси, которое описывается линейным законом Стокса [c.155]

Для уравнений плоского двумерного нестационарного движения вязкой среды построен скалярный потенциал - аналог линии частицы жидкости - являющийся переменной лагранжева типа. Дано применение уравнений гидродинамики, записанных в этих переменных, к различным классам конвективных динамических и тепловых процессов. Рассматривались реологические модели жидкостей ньютоновская несжимаемая и сжимаемая, нелинейно-вязкая, вязкоупругая, а также турбулентный поток. Для изотермического процесса удалось построить простое преобразование уравнений А.С. Предводителева (жидкость дискретной структуры) к классическим уравнениям Стокса. [c.128]

Если предположить, что течение происходит только в направлении X, уравнения Навье — Стокса сводятся к простому скалярному уравнению [c.50]

В качестве простого примера применения этих соотношений покажем, как можно вывести закон Стокса (2.6.3), хотя, разумеется, реальное значение этих соотношений более важно в сложных случаях, когда получение решений в замкнутой форме невозможно. Рассмотрим сферу с центром в начале координат, обтекаемую жидкостью с постоянной скоростью и вдоль оси X, Чтобы сфера находилась в покое, в направлении —х должна действовать некоторая сила. В результате возмущение, обусловленное удерживанием сферы в покое, будет влиять на основное течение. Бюргере предположил, что вид этого течения не будет сильно отличаться от вида течения, генерируемого точечной силой, приложенной в начале координат. Тогда компонента которая в данном случае отрицательна, создает поле скоростей, описываемое уравнениями (3.4.31) — (3.4.33). Если рассматривать сферу произвольного радиуса а, наличие которой вызывает силу, то можно потребовать, чтобы средняя величина скорости U и, v,w) исчезала на поверхности. Вследствие симметрии средние величины v и IV будут автоматически удовлетворять этому условию. Что касается U, запишем [c.104]

Таким образом, поле vf снова оказывается просто полем Стокса в системе координат iZ, 0, Ф. В принятых обозначениях оно выражается посредством (6.3.57), где гармонические функции имеют вид [c.303]

Таким образом, Fs = iv, т. е. сила давления просто равна сопротивлению, соответствующему закону Стокса при установившейся скорости твердых частиц, или же равна кажущемуся весу слоя с учетом плавучести. [c.422]

При более высоких значениях числа Рейнольдса отклонение становится сильнее, причем скорость оседания, оцененная из закона Стокса, оказывается завышенной. Из соображений динамического подобия многочисленные результаты, относящиеся к частицам разной формы и разным жидкостям, можно привести на графике, где по одной из осей откладывается число Рейнольдса, а по другой — еще один безразмерный параметр, коэффициент сопротивления который определяется как отношение сопротивления частицы к произведению динамического напора жидкости на площадь поперечного сечения частицы [32, 61]. В простом случае, когда справедлив закон Стокса, [c.476]

Приближение Озеена и высшие приближения. Полностью безынерционное обтекание сферы является адекватным эксперименту лишь в предельном случае Ке 0. Уже при Ке = 0,05 по данным [219] погрешность оценки сопротивления по формуле (2.2.19) составляет 1,5 ч- 2%, а при Ке = 0,5 находится в пределах 10,5 ч- 11%. По этой причине оценкой для коэффициента сопротивления f = 12/Ке можно пользоваться только при Ке < 0,2 (максимальная погрешность в этом случае не превышает 5%). Попытка улучшить приближение Стокса простым итерационным учетом конвективных членов приводит к уравнению, для которого нельзя построить решение, удовлетворяющее условию на бесконечности. Этот факт известен как парадокс Уайтхеда, происхождение которого связано с сингулярностью решения на бесконечности. [c.52]

Уравнение (34,32) имеет простой смысл оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулентного движения. Второй член в правой стороне отрицателен он определ>.ст убыль энерпш, связанную с диссипацией. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье — Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру — ее переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам с большими значениями к. Спектральная (но к) плотность энергии Е к) имеет максимум при /г 1// в области вблизи максимума (область энергии — см. 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения. Плотность же дисси- [c.205]

Полностью поляризованный свет (линейно, циркулярно или эллиптически) удобно изображать с помощь.ю сферы, предложенной в конце XIX в. Пуанкаре. Кроме сферы Пуанкаре существует еще несколько методов описания поляризованного света (параметры Стокса, вектор Джонсона, квантовомеханпческое представление), однако мы остановимся на методе Пуанкаре, поскольку он прост, нагляден и позволяет кратчайшим путем решать проблемы, возникающие при использовании различных оптических поляризационных устройств >. [c.35]

В случае несжимаемой жидкости (р = onst) последние члены в уравнениях Навье — Стокса (26) и (27) отсутствуют (divW = 0), вследствие чего этп уравнения принимают более простой вид [c.69]

Следовательно, для решения задач тепло- и маесообмег а с большими вдувами нельзя применять обычную теорию пограничного слоя и необходимо использовать полные уравнения Навье — Стокса. Поскольку эти уравнения Be bN a сложны, возникает проблема разработки методики решенр я задач с большими вдувами с помощью относительно простых уравнений. [c.423]

Согласно закону Стокса, состоящему в том, что вязкие напряжения, возникающие в любой точке сплошной среды, зависят только от относительного движения жидкости вблизи этой точки, связь между тензором вязких напря-. жений и тензором скорости сдвига в простейшем случае имеет вид [c.79]

BOM пространстве даже весьма простых течений. Наиб, известный пример—конвекция в подогреваемой тороидальной полости, расположенной в вертикальной плоскости. Образом хаотич. колебаний вращат. движения жидкости внутри такой полости служит странный аттрактор— аттрактор Лоренца. По совр. представлениям, в фазовом пространстве для ур-ний Навье—Стокса при определ. условиях должен существовать странный аттрактор, движение по к-рому соответствует режиму установившейся Т. [c.183]

Наиб, успехи в использовании динамич. подхода достигнуты при исследовании перехода от ламинарного к хаотическому во времени течению жидкости. Наиб, распространённые сценарии перехода к хаосу в простых ситуациях (течение Тейлора—Куэтта между вращающимися цилиндрами, термоконвекция)—это разрушение квазипериодич. движений перемежаемость бесконечная последовательность удвоений периода. В экспериментах наблюдаются и более сложные сценарии, однако обнаружение именно этих канонич. сценариев в реальных течениях обосновало справедливость представлений о дннамнч. характере процессов в области перехода к Т. Эти же сценарии обнаружены и в численных экспериментах с полными [точнее, моделируемыми на компьютере с достаточно большим числом (>10 ) ячеек сетки] ур-ииями Навье—Стокса при числах Рейнольдса Ю . [c.183]

Дальнейший этап упрощения уравнений Нгвье —Стокса состоит Б переходе от общего течения к более простому 46 [c.46]

X, = [.t /(1 - Д)] -1-, / 7 1, / ,х° - onst, i = 1,2,3, а для плотности и кинематической вязкости применять значения р = р - /3), V = v(l - / ) , то из (1.23) получим уравнения, совпадающие по форме записи с обычными изотермическими уравнениями Навье-Стокса. Значит, это простое преобразование позволяет на основе имеющихся в литературе решений классических уравнений гидродинамики получать точные решения обобщенных уравнений движения вязкой жидкости. Изложенный подход дает также возможность моделировать течения, подчиняющиеся уравнениям Предводителева-Стокса (1.23), течениями жидкостей, определяемыми классическими уравнениями. [c.10]

Для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью (р = onst, ц = onst, div н = 0) уравнения Навье—Стокса принимают более простой вид [c.18]

Эти величины квадратичны относительно пульсаций скорости, их называют вторыми моментами пульсаций. Одной из возможностей решения проблемы незамкнутости системы является использование простых полуэмпирических соотношений (см. п. 1.9.1). Другая возможность заключается в составлении (только на базе уравнений Навье— Стокса) математически строгих осредненных уравнений для старших (вторых, третьих и выше) моментов гидродинамических полей [58, 59, 86]. Роль этих уравнений заключается в том, что, проанализировав физический смысл их слагаемых, можно получить информацию о внутренних процессах в турбулентном потоке и на этой основе построить более совершенные полуэмпирические модельные [c.50]

Ламинарное круговое движение жидкости, заключенной между вращающимися круговыми цилиндрами, уже давно привлекает внимание исследователей. Течение несжимаемой жидкости, возникающее при относительном вращении двух цилиндров, известно как течение Куэтта. Так как линии тока располагаются по концентрическим окружностям и, следовательно, частицы жидкости ускоряются, инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса не должны быть равны нулю. Эти нелинейные члены, однако, полностью компенсируются радиальным градиентом давления, и поэтому метод решения результирующих уравнений достаточно прост. В частности, если ввести цилиндрические координаты (г, ф, х), то не равной нулю компонентой скорости будет лишь тангенциальная составляющая которая будет являться функцией только радиального расстояния г. Таким образом, уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, а уравнения Навье — Стокса сводятся к двум oбыкнoвeI ным дифференциальным уравнениям [c.48]

В случае двумерного течения, перпендикулярного оси кругового цилиндра, не существует решения уравнений Стокса, обращающегося в нуль на поверхности цилиндра и остающегося конечным вдали от него. Эта двумерная задача сильно отличается от трехмерной задачи об обтекании сферы. Указанное обстоятельство иногда называют парадоксом Стокса. Тот факт, что этот парадокс должен возникать в двумерном случае, можно просто продемонстрировать при помощи элементарных соображений, следующих из теории размерности. Так, при обтекании кругового цилиндра радиуса а необходимо рассматривать не силу, действующую на все тело, как это имеет место для трехмерных течений, а только силу, действующую на единицу длины тела, скажем F. Так как в уравнениях Стокса плотность жидкости р не входит в качестве параметра, то F может зависеть только от [л, а, и. Возможна только одна безразмерная комбинация FlyiU из этих переменных. Отсюда следует, что F iU = onst. Такая связь, очевидно, невозможна, так как из нее получается, что сила на единицу длины не зависит от размера цилиндра. Если положить а - 0, что соответствует исчезновению цилиндра, то сила [c.65]

Следует отметить, что существует небольшое число точных. (аналитических) ргшений уравнений Навье-Стокса. Большинство из них относится к достаточно простым каналам, когда существенно не проявляется нелинейность этой системы, [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...