Ортогональное преобразование обратное

Сравнивая выражения (Ь ) и (Ь), можно непосредственно написать условие ортогональности для обратного преобразования [c.249]

Матрица преобразования (38) является ортогональной. Формула обратного преобразования имеет вид [c.61]

Симметричные тензоры с одинаковыми главными инвариантами называются подобными такие тензоры переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием (см. (5)а). Обратно, если два симметричных тензора переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием, то их главные инварианты совпадают, так что они подобны. Следовательно, левый и правый тензоры Коши — Грина подобны.—Прим. ред. [c.102]

При преобразованиях координат, представляющих собой повороты прямоугольных систем координат, обратная матрица совпадает с транспонированной в силу известных свойств ортогональных преобразований [22, 38]. Поэтому матрица получается из матрицы Л, определяемой выражением (2.1), просто заменой строк столбцами, т. е. [c.16]

Квадратная матрица в правой части равенства (2.616) называется матрицей вращения. Ее мы будем обозначать символом К. Обратная матрице вращения матрица входит в равенство (2.61а). Можно показать, что матрица, обратная К, равна ее транспонированной матрице (это верно для любых ортогональных преобразований [3]). [c.64]

Векторное равенство инвариантно относительно любого ортогонального преобразования координат, а это означает, что если в силу данного соотношения для некоторой траектории нагружения установлена траектория деформирования, то для другой траектории нагружения, которая получается из первой с помощью поворотов и отражений (виды ортогонального преобразования), траектория деформирования восстанавливается из первой траектории деформирования теми же поворотами и отражениями. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение если принимается (А. А. Ильюшин, 1954), что любые траектории в векторном пространстве удовлетворяют указанному свойству (постулат изотропии), то отвечающее такой среде тензорное соотношение содержит только три названные выше операции [c.37]

Далее рассмотрим частичное приведение матрицы F с помощью обратной связи по состоянию и ортогональных преобразований координат. Цель состоит в приведении каждой ненулевой подматрицы матрицы F к нижней треугольной или трапецеидальной форме. Как будет показано, это позволит преобразовать многосвязную задачу PG3 к набору одномерных задач меньшего порядка. Для частичного приведения используется, следующий алгоритм. [c.289]

Комментарий. На данном шаге применялась процедура плоских вращений (эквивалентная ортогональным преобразованиям подобия) совместно с обратной связью по состоянию для обнуления определенных элементов матрицы Ф Цель этих операций состоит в приведении подматриц Ф5 р= 1,. .. [c.290]

В алгоритме 2 для приведения каждой из подматриц матрицы F к нижней треугольной или трапецеидальной форме использовалась обратная связь по состоянию в сочетании с ортогональными преобразованиями координат. Матрицы обратной связи по со стоянию определялись в результате решения систем линейных уравнений, а матрицы ортогональных преобразований — по соответствующим операциям плоского вращения. Проблема решения систем линейных уравнений подробно описана в литературе по численному анализу (см., например, [9, 11 ]), и достаточно сказать, что она, безусловно, может быть решена с помощью численно устойчивого алгоритма. Фактически в рассматриваемом случае решение для системы линейных уравнений может быть получено непосредственно обратной подстановкой , поскольку 306 [c.306]

Получите преобразование Лоренца, в котором скорость образует с осью 2 бесконечно малый угол с1в, применив для этого к (6.15) преобразование подобия. Покажите с помощью непосредственной проверки, что полученная матрица является ортогональной и что обратная ей матрица получается посредством замены v на —ч. [c.237]

Если в схемах, показанных на рис. 169, б, д, после призмы-расщепителя или перед призмой-анализатором поместить четвертьволновую фазовую пластинку Q, эффект подавления аддитивной составляющей сигнала перестает зависеть от азимута призмы-анализатора. Это происходит в силу преобразования линейных ортогонально-поляризованных пучков в ортогональные циркулярно-поляризованные пучки. В схеме на рис. 169, е [26], работающей на обратном рассеянии, функции расщепителя и анализатора совмещены в одной призме. Поляризационная развязка приемной и формирующей частей в дифференциальных схемах позволяет легко осуществить последовательно измерение двух ортогональных проекций скорости. Переход от измерения одной [c.293]

Нетрудно показать, что (х [ д) равно (д х), т. е. функции, совершающей обратное преобразование. В самом деле, умножим (х п) на х д ) и проинтегрируем по х. Тогда в силу ортогональности и нормировки функций (х I д) получим (. [c.125]

Свойство 4. Поскольку операция произведения матриц является ассоциативной, то из предыдущих двух свойств вытекает, что множество всех ортогональных матриц образует группу. (Напомним, в алгебре группой называется любое множество элементов, в котором есть единица и для каждого элемента существует обратный в силу единственной ассоциативной операции. См. гл. 11.) Эта группа имеет стандартное обозначение 0(3). Множество ортогональных матриц с положительным детерминантом образует подгруппу. Ее обозначают 50(3). Читается это обозначение так специальная, ортогональная группа преобразований трехмерного пространства в себя. [c.28]

Заметим, что уравнения (6.17) линейны и однородны относительно производных, поэтому формулы (6.18) и (6.19), которые являются следствием (6.17), не зависят от периода функции Л таким образом, выполнены условия частного случая, рассмотренного выше. Следовательно, множество 3 лежит на координатных осях. Совершая обратное преобразование с ортогональной матрицей получим, что точки исходного множества 3 лежат на двух прямых, ортогонально пересекающихся в начале координат. Теорема 3 полностью доказана. [c.414]

ИЗ которого следует, что матрица Л является ортогональной Л Л . Обратное преобразование имеет вид [c.11]

Видно, что (76.10) выражает ортогональность собственных векторов, относящихся к различным множествам (различным значениям аналогично определению (74.9) для коэффициентов преобразования из одного множества. Используя определение обратного поворота, можно, по-видимому, установить, что [c.202]

Для доказательства подставим в интегральное уравнение (8.1) функции ф(ж), /(ж) И m, t) в виде (8,2), (8.6), (8.8). Используя далее спектральное соотношение (7,21) и условие ортогональности (8,4), придем к (8.11). Наоборот, производя обратные преобразования и учитывая неравенство (см, (6,22) гл. 2) [c.166]

Преобразование координат в случае ортогональных координатных осей обладает свойством [Г][Г] ==1], где И] — единичная матрица, т. е. диагональная матрица, все элементы которой равны единице. Так как, по определению обратной матрицы, [Г][Г] 1=[1], то [c.58]

Для упрощения преобразований на некоторых этапах решения задач формообразования поверхностей деталей и профилирования режущего инструмента удобно от ортогональной системы декартовых координат перейти к криволинейным координатам в пространстве, а после решения задачи в криволинейных координатах совершить обратный переход к прямоугольным декартовым координатам. Возможность упрощения при этом формы записи уравнений очевидна из следующего простого примера. Если в декартовой [c.186]

Преобразование параметров. В случаях, когда исходная форма аналитического описания поверхности детали не удобна для решения задачи синтеза наивыгоднейшего формообразования, можно соответствующим образом изменить вид параметризации поверхности Д. Например, от произвольной перейти к ортогональной параметризации, в том числе и к такой, при которой координатные линии совпадают с линиями кривизны на Д. Использование ортогонально параметризованных поверхностей Д И) упрощает аналитическое описание прямого и обратного преобразований координат переход от подвижной локальной системы [c.504]

Проверим известный факт, что матрица направляющих косинусов ортогональна. Из формулы (П3.6) вытекает формула обратного преобразования [c.559]

Заметим, что диагональные элементы матрицы г равны нулю, а отличные от нуля элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга лищь знаком. Такие матрицы называются антисимметричными или кососимметричными. Это свойство присуще не только той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице е бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица А равна 1—е. Но при ортогональном преобразовании обратная матрица А совпадает с транспонированной матрицей А, равной 1 + е. Следовательно, [c.145]

Верно и обратное при равенстве всех трех инвариантов двух симметричныч тензоров (/ (Р) =/) (Q), /г=1,2, 3) существует ортогональное преобразование, связывающее эти тензоры (P = Q ) [См. 10]. [c.434]

Замечания. Можно заметить, что алгоритм А подобен <3 -алго-ритму с явным сдвигом. Фактически алгоритм А несколько проще, так как в нем сдвиги есть не что иное как требуемые собственные значения, которые известны заранее, в то время как в С -алго-ритме сдвиги определяются в процессе вычислений. Еще одно отличие состоит в том, что вектор обратной связи (шаг 3) находится из условия соответствия сдвига и требуемого собствен-ногр значения. Алгоритм, разработанный Миминисом и Пейджем [5] для решения задачи РСЗ в одномерных системах, также основан на ( -алгоритме. Его отличие от алгоритма А состоит в том, что исходной является матрица замкнутой системы Р1 = = Р — где пара (Р, ) представлена в верхней форме Хессенберга, а вектор подлежит определению. Другими словами, в матрице Р неизвестной является первая строка. Затем в соответствии с алгоритмом 15] вначале с помощью сдвигов и ортогональных преобразований требуемые собственные значения располагаются на диагонали верхней (блочной) треугольной матрицы (действительной формы Шура), в которой неизвестными являются наддиагональные элементы. На втором этапе определяются эти неизвестные элементы и в результате — неизвестная первая строка матрицы Р и вектор обратной связи к . [c.299]

В работе описан метод размещения собственных значений для многосвязных систем с помощью обратной связи по состоянию. Он включает в себя четыре алгоритма алгоритм I применяют для сведения заданной многосвязной системы к сжатой форме — верхней блочной форме Хессенберга посредством ортогональных преобразований координат aлгopнtм 2 позволяет осуществлять частичное сведение матрицы коэффициентов, представленной в верхней блочной форме Дёссенбёрга, с помощью обратной связи по состоянию й Ортогональных преобразований координат алгоритм 3 используют для перестановки строк и (или) столбцов полученных матриц а алгоритм 4 — для решения задач РСЗ в одномерных системах. Было показано, что в результате применения алгоритмов 1—3 исходная задача РСЗ для многосвязной системы приводится к ряду соответствующих одномерных задач (их количество равно числу независимых управляющих переменных) ДЛЯ систем, порядок которых равняется индексам управляемости многоСвязнОй Системы. Для получения требуемых собственных значений предназначен алгоритм 4, который основан на хорошо известном -алгоритме. В работе рассмотрены вычислительные аспекты метода. В частности, в алгоритмах 1—4 были использованы только ортогональные преобразования. Предложенный метод особенно эффективен для многосвязных систем высокого порядка, поскольку фактически процедура размещения 308 [c.308]

В статье описаны вычислительные методы для решения задачи размещения собственных значений в линейных многосвязных системах. Заданную систему с многими входами сигнала приводят к верхней блочной форме Хессенберга посредством ортогональных преобразований координат. С помощью последовательности матриц обратной связи по состоянию и ортогональных преобразований координат может быть получена результирующая матрица состояний блочной треугольной структуры, в которой диагональные матрицы являются квадратными матрицами в верхней форме Хессенберга, и их размерности равны индексам управляемости многосвязной системы. Более того, структура соответствующей матрицы входа такова, что задача размещения собственных значений в многосвязной системе может быть разбита на несколько задач для одномерных систем, размерности которых равны индексам управляемости многосвязной системы. Для решения задачи в случае одномерной системы предложен С/ -алгоритм (с неявным сдвигом). [c.339]

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =f z), обладает свойством, что в окрестности точки 2, для которой w z O, бесконечно малые векторы всех направлений )) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное w (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w. Фигуры в бесконечно малой оэласти преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным, оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры в частности, координатные линии л = onst, у — = onst преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых изотермическая сетка), которая преобразуется в декартову прямоугольную сетку. [c.201]

Пусть Г (I, т]) — комплексная функция, описывающая результат регистрации волнового поля голограммой. Это может быть либо амплитудный коэффициент пропускания оптической голограммы, зарегистрированной на фотоносителе, либо результат измерения синфазной и ортогональной к опорному сигналу компонент радиополя или акустической волны. В случае регистрации голограммы в дальней зоне распределение комплексной амплитуды поля Ъ (х, у) на объекте может быть найдено с помощью обратного Фурье-преобразования функции Г %, т]) [c.162]

Анизотропное упругое тело называется ортотропным, если существует такая ортогональная система координат х , в которой координатные плоскости (точнее, проведенные параллельно координатным в любой точке тела) — плоскости упругой симметрии. Если в этой системе координат изменить направление какой-нибудь оси, например Хь на обратное, то упругие постоянные не должны изменяться. При таком преобразовании нормальные деформации 8ц, 822, езз и напряжения сти, О22, (Тзз сохраняют знаки (так как каждый индекс у 8//, оц входит дважды), сдвиги 812, б1з и касательные напряжения (Т12, Ст1з изменяют знаки на обратные, б2з и (Т23 сохраняют знаки. Аналогичные следствия будут при изменении направлений осей Х2 и хз на обратные. Следовательно, в рассматриваемых осях нормальные напряжения могут зависеть только от нормальных деформаций, касательные же — только от соответствующих сдвигов (<Т12 — от 812 И Т. Д.), Т. е. в (15.20)1 Ец,тп ОТЛИЧНЫ ОТ НуЛЯ ДЛЯ ТОЛЬКО при т=п, а для — [c.206]

Оно выражает, что тензор О eg, задающий преобразование отсчетной неискаженной конфигурации v в отсчетную также неискаженную конфигурацию v переставйм с тензором искажений U деформации v—>-v. Доказывается обратное предложение при условии (10) тензор б в (5) —ортогональный (б-б = ). Иначе говоря, группа равноправности geo, если geo. Заменив для [c.97]

Как известно, по определению группы симметрии куба 6/4 полная система матрщ типа (3.6) для каждой из матриц системы (3.5) образует полную группу матриц преобразований симметрии куба для группы 6/4, состоящей из 6 X 8 = 48 матриц, которые ортогональны. Таким образом, всякая матрица, соответствующая решению системы уравнений (3.1) может быть только одной из матриц системы (3.6), состоящей из 48 матриц. С другой стороны, легко убедиться в том, что верно и обратное предложение каждая матрица из найденной системы 48 матриц дает решение системы уравнений (3.1). [c.448]

Таким образом, преобразования, ие меняющие физического смысла матрицы параметров, оказываются аналогичными тем преобразованиям которые используются обычно для приведения квадратичной формы к главным осям за счет ортогонального поворота системы координат разница состоит лишь в том, что в последнем случае обе ортогональные матрицы были бы взаимно обратны гр => —ф. Зато наша матрица параметров отличается от матрицы квадратичной формы тем, что ие обязана быть симметричной, Pi = аг. Лишняя степень произвола в допустимых преобразованиях идет как раз на уничтожение лишнего коэффициента первоначальной матрицы, и ререзультат оказывается тем же самым — описанные допустимые преобразования всегда позволяют привести матрицу параметров к виду [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...