Матрица вращения (поворота)

Выразить элементы матрицы вращения А через углы Эйлера [формула (4.46)], выполнив для этого умножение матриц последовательных поворотов. Убедиться с помощью непосредственной проверки, что элементы матрицы удовлетворяют условиям ортогональности. [c.160]

Для определения угла поворота коромысла вокруг оси его вращения выберем неподвижную систему координат той же ориентации, что и прочие системы, направив ось г] параллельно плоскости хОу. Матрица вращения системы хуг относительно системы имеет вид [c.223]

Через цилиндрические зубчатые передачи приводится во вращение главный распределительный вал 22 (см. рис. 4.25, а), от которого вращение передается кулачкам привода механизмов поворота и переноса заготовок и выталкивателя 16 т матриц. Механизм поворота и переноса заготовки приводится в движение от цилиндрического пазового кулачка 20 посредством рейки 13 и шестерни 9. Магнитный захват 12 располагается у отрезной матрицы 11. Нож 10 шарнирно закреплен на высадочном ползуне 8. Такое крепление обеспечивает прижим ножа к торцу отрезной матрицы по мере возрастания усилия отрезки. [c.178]

Угол этого поворота обозначим ip и назовем углом собственного вращения. Матрица оператора имеет вид [c.91]

Следующим происходит поворот на угол нутации г) вокруг первой координатной оси. Для него параметры Эйлера имеют вид до = со8( 1/2), 91 = 8ш( 1/2), 92 == 0, 93 = 0. Отсюда получается формула для матрицы Q , задающей вращение по углу нутации. [c.109]

МЫ лишь искали его компоненты в двух различных системах координат. Поэтому вектор г в левой части формулы (4.18) мы заключили в скобки, подчеркивая тем самым, что в- обеих частях этого равенства фигурирует один и тот же вектор, изменяются только его составляющие. Мы видели, что в двумерном случае это преобразование является обычным вращением, а матрица А совпадает с оператором поворота в рассматриваемой плоскости. [c.117]

Элементы полного преобразования А можно теперь получить,, перемножая матрицы трех описанных вращений, каждая из которых имеет сравнительно простой вид. Первый поворот, который совершается вокруг оси [c.125]

Легко видеть, что для вращения вокруг оси у получается матрица такого же вида, как (4.72), но вместо Ог здесь будет стоять Оу. Таким образом, все матрицы элементарных вращений имеют аналогичные выражения, в которые входят только единичная матрица 1 и соответствующие матрицы а. Поэтому каждая спиновая матрица Паули связана с вращением вокруг некоторой оси и может рассматриваться как оператор единичного поворота вокруг этой оси. [c.134]

Направляющие косинусы оси вращения можно получить теперь, полагая в уравнениях (4.76) X = 1 и разрешая их относительно X, Y, Z ). Угол поворота Ф также может быть найден без особого труда. Для этого представим себе, что мы перешли к системе координат, в которой ось z направлена вдоль оси вращения. В этой системы мы вместо матрицы А будем иметь [c.141]

Бесконечно малые повороты. Целесообразно попытаться установить соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие некоторому повороту, должен, конечно, иметь определенное направление —направление оси вращения и определенную величину, например равную углу поворота. Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие оказывается невозможным. Предположим, что А и В будут двумя такими векторами , связанными с преобразованиями А и В. Тогда, поскольку это векторы, они должны обладать свойством коммутативности при сложении, т. е. для них должно выполняться равенство [c.142]

Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам dQ, определяющим эти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора dQ и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений. [c.150]

Покажите, что комплексные собственные значения ортогональной матрицы, описывающей собственное вращение, равны где Ф — угол поворота. [c.160]

Отсюда и следует справедливость теоремы Шаля. Действительно, перемещение твердого тела можно представить как поступательное, определяемое перемещением полюса, плюс вращение, задаваемое матрицей А. Причем из предыдущего видно, что матрица А не зависит от выбора полюса, но из доказательства теоремы Эйлера следует, что ось вращения и угол поворота определяются только элементами матрицы А. Поступательное же перемещение зависит от полюса. Из приведенного выше равенства видно, что для разных полюсов О и Oi поступательные перемещения, задаваемые векторами Rq и связаны соотношением [c.54]

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ. Пусть дано семейство поворотов П(0 (вращение) с матрицей Q(t), гладко зависящей от времени. В результате репер ( j, е , е ) как-то вращается. [c.196]

Поворотом системы координат вокруг оси В , перпендикулярной плоскости B N, на угол X до совпадения оси Вх с продольной осью коромысла ВС, а затем вокруг оси Вх на угол "п до положения оси у, параллельного оси вращения коромысла ВС, переведем систему координат в положение Bx y Zr . Соответствующие матрицы имеют вид [c.141]

Рассмотрим, далее, конечные элементы лонжерона, описанные в 8.3 (см. рис. 8.3). Так же как и при выводе матрицы жесткости, вначале отнесем элемент к местной системе координат X, у VL введем в каждом узловом сечении по три степени свободы Up = и- и— р). Пользуясь независимой аппроксимацией перемещений и-, и- и угла поворота сечения и пренебрегая инерцией вращения, можно получить согласованную матрицу масс т, определяемую соотношениями [c.355]

Механизм периодического поворота блока матриц выполнен в виде мальтийского креста и имеет механический привод от коленчатого вала пресса, что обеспечивает взаимодействие ползуна пресса и матричного блока таким образом, что при рабочем ходе пресса блок неподвижно зафиксирован на столе пресса, а при ходе ползуна пресса вверх производится поворот его на один шаг. Вертикальный вал привода выполнен разрезным, и в него встроена шариковая предохранительная муфта, срабатывающая в случае рассогласования вращения коленчатого вала пресса и матричного блока. [c.363]

Если падающий свет линейно поляризован вдоль медленной или быстрой оси пластинки, то в соответствии с (5.4.11) свет будет оставаться линейно поляризованным вдоль локальной медленной или быстрой оси. В этом смысле вектор поляризации отслеживает вращение локальной оси, при условии что вектор поляризации направлен вдоль одной из осей. Действие матрицы Джонса на любой вектор поляризации можно разделить на два этапа. Сначала матрица фазовой задержки действует на вектор Джонса падающей волны, причем для света, линейно поляризованного вдоль одной из главных осей, действие этой матрицы приводит только к фазовому сдвигу светового пучка, а состояние его поляризации сохраняется неизменным. Затем матрица R (ф) поворачивает вектор Джонса на угол ф. В случае линейно поляризованного света такой поворот приводит к тому, что вектор поляризации оказывается параллельным главной оси на выходной грани пластинки. Таким образом, если падающий пучок света поляризован вдоль направления нормальных мод во входной плоскости (г = 0), то вектор поляризации световой волны будет отслеживать вращение главных осей и оставаться параллельным локальной медленной (или быстрой) оси, при условии что коэффициент кручения мал. Это явление называется адиабатическим отслеживанием и имеет важные применения при создании световых затворов на жидких кристаллах. Ниже мы рассмотрим принцип работы таких световых затворов. [c.158]

Покажем теперь, каким образом можно любую матрицу, соответствующую вращению с заданными значениями параметров а>2 и а>з, выразить через инфинитезимальные матрищл. Для этого рассмотрим однопараметрическую группу поворотов относительно оси, направленной по вектору а(а1, аг, з)- Интересующая нас матрица соответствует повороту относительно этой оси на угол а = + причем, очевидно. [c.126]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Параметры Кэйли —Клейна можно выразить через углы Эйлера G помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и tp. Однако проще и более поучительно образовать сначала матрицы Qполную матрицу. Так, например, при повороте на угол ф вокруг оси Z мы для величин х+, л и 2 будем иметь следующие формулы преобразования [c.132]

Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с телом, то перемещение твердого тела не вызовет смещения связанных с ним осей, а лишь изменит их ориентацию, Тогда согласно этой теореме систему осей, связанных с телом, можно в каждый момент времени t получить посредством одного поворота начальной системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Иначе говоря, операция, которую выражает матрица А, описывающая перемещение этого твердого тела, является вращением. Но характерной чертой вращения является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений, именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь пропорциональные составляющие. Другое необходимое условие, характеризующее вращение, состоит в том, что величины преобразуемых векторов при этом не изменяются. Это условие автоматически обеспечивается условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы Эйлера достаточно показать, что существует вектор R, имеющий одинаковые [c.136]

Из формулы (4.94) видно, что влиянию рассматриваемого бесконечно малого преобразования не подвергаются лишь те векторы, которые параллельны d i. Однако Известно, что векторы, не изменяющиеся при вращении, должны быть направлены вдоль оси этого вращения, следовательно, эта ось направлена так же, как dQ. Что касается величины вектора dQ, то ее легко найти с помощью матрицы е в случае, когда ось г совпадает с осью вращения. Сравнивая формулы (4.90) и (4.91), мы видим, что величина вектора будет в этом случае равна углу поворота с ф. Но так как величина вектора (или псевдо-оектора) инвариантна относительно ортогональных преобразо- [c.150]

Теперь найдем упоминаемый в теореме угол поворота вокруг оси. Для этого удобно перейти от системы OXYZ к системе OXYZ, у которой ось 0Z направлена вдоль оси вращения. В этой системе матрица А, задающая поворот на угол а, имеет вид [c.53]

Разложим перемещение твердого тела на поступательное вместе с некоторым полюсом О и на вращение вокруг полюса. Согласно теореме Шаля, направление оси вращения и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса. Для удобства вычислений ось абсолютной системы координат направим по оси вращения, и пусть в исходном положении тела соответствующие оси абсолютной OaXYZ и связанной с твердым телом Oxyz систем координат совпадают. Если а — угол поворота, то матрица А, определяющая ориентацию тела в его конечном положении относительно абсолютной системы координат, имеет вид [c.54]

Можно нойти дальше и получить с помощью матрицы I явные формулы для угла поворота и направляющих косинусов оси вращения. (Мы имеем в виду направляющие косинусы по отношению к неподвижной системе OXiXoX , хотя на самом деле они не отличаются от направляющих косинусов по отношению к осям 0YiY2Y-j.) Уравнение [c.107]

Теперь рассмотрим не отдельный поворот, а вращение — процесс, в ходе которого все точки тела совершают гладкое движение (элементы матрицы поворота в репере e yez —гладкие функции времени). Пусть из положения в мгновение / в положение в мгновение /+т тело можно перевести поворотом вокруг вектора itii) на угол %i(x). При т = 0 этот поворот является тождественным. [c.28]

Рис. 3.56. Схема прокатки шестерен в неподвижной обойме с вращающейся зубчатой матрицей. Нагретая заготовка кольцевой формы надевается на гладкий валок 3. Поворотом кулака 4 зубчатая матрица 2 обоймы / сближается с валком 3 (схема а), а затем ири вращении валка зубья матрицы, внедряясь в тело заготовки, фop п pyют на последней зубья (схема б).

Рис. 3.56. <a href="/info/136459">Схема прокатки</a> шестерен в неподвижной обойме с вращающейся зубчатой матрицей. Нагретая заготовка кольцевой формы надевается на гладкий валок 3. Поворотом кулака 4 зубчатая матрица 2 обоймы / сближается с валком 3 (схема а), а затем ири вращении валка зубья матрицы, внедряясь в тело заготовки, фop п pyют на последней зубья (схема б).

Второе преобразование есть вращение Sj вокруг нового положения, полученного после поворота С оси Ах на угол и матрица его верзора С" строится по образцу (10. 126) [c.131]

Вращательное движение кривошипного звена осуществляется зубчатым или ремённым приводом от электродвигателя или трансмиссии (в более ранних конструкциях прессов). Привод выполняется однрступенчатым и многоступенчатым. К нижней плоскости ползуна, движущегося возвратно-поступательно в направляющих станины, крепится подвижная часть штампа—верхние матрицы. Неподвижная часть штампа — нижние матрицы — устанавливается на столе пресса. Штамповка на кривошипных прессах происходит в ограниченных пределах угла поворота кривошипа. Рабочие углы обычно равняются от 90° до 0° (отсчёт ведётся от нижнего крайнего положения против вращения кривошипа). При предельном рабочем угле близком к 90°, как [c.505]

Концы ленты зажимаются между рифленой поверхностью фиксатора 7 накатанным роликом 6 при помощи эксцентриковой втулки 4 поворотом рычага 11. Затем вращением рычага 10 через храповой механизм собачкой 9 лента натягивает1ся, вторая собачка 8 храпового механизма препятствует обратному вращению ролика и ослаблению ленты. При повороте рычага 12 с эксцентриком. пуансоны 1 и матрица 2 надрезают и одновременно отгибают концы ленты, образуя четыре шипа. После этого ленты скрепляют специальной скобой, которая одновременно может быть и пломбой. По окончании цикла рычаги [c.117]

При выводе (9.27) в матрицу перемещений и были включены не только нормальное перемещение и , но также и тангенциальные перемещения ы, Uy, обусловленные поворотом нормального элемента при деформации пластины. Тем самым в матрице масс учтена инерция вращения элементарных параллелепипедов, выделяемых из пластины плоскостями х = onst и у = onst. Для тонких пластин можно пренебречь инерцией вращения по сравнению с инерцией поступательного движения параллелепипедов вдоль оси г при этом матрица в (9.27) будет заменена на матрицу [c.345]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...