Двоякоасимптотическое решение

Пусть I — у 1)—двоякоасимптотическое решение невозмущенной вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Положим [c.255]

Если Fi = Яо, то /1(7) = О для любого двоякоасимптотического решения 7 невозмущенной задачи. Действительно, [c.258]

Предположим, что Aq = Aq. Тогда, очевидно, = Л . Пусть X = Xa t), у = ya t) — двоякоасимптотическое решение невозмущенной задачи Xa t) — х , уа ь) — у при t — оо. [c.259]

Покажем, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы не совпадают при малых г ф О, что ведет, в свою очередь, к неинтегрируемости (3.7). Действительно, интеграл J Ho, Н] dt, вычисленный на двоякоасимптотических решениях (3.8), не обращается тождественно, в нуль. Так, при to = тг/(2 / ) он равен [c.272]

Пусть у функции Но имеются две гиперболические критические точки (не обязательно различные), соединенные сепаратрисой Ло эта кривая — траектория однопараметрического семейства двоякоасимптотических решений невозмущенной задачи — задается уравнениями х = Xa t - fi), у = Уа Ь - /i), где fi — вещественный параметр. Функции Ха -), Уа ) голоморфны в некоторой полосе [c.276]

Выпишем формулы двоякоасимптотических решений для равномерного вращения (7.1) [c.298]

Случай Эйлера. В 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные М, а, /3,7). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось 0Z направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем [c.321]

Уравнение (8) имеет в области D двоякоасимптотическое решение Хо(/)- х при /- оо (рис. 58). [c.236]

При е = О эта система автономна и поэтому вполне интегрируема. Предположим, что имеются две критические точки функции Ф, соединенные сепаратрисой Ло. Эта кривая является траекторией семейства двоякоасимптотических решений невозмущенной задачи [c.304]

Если Л+ и Л , трансверсально пересекаются, то возмущенная система (1.15) не имеет вещественно-аналитического первого интеграла [10]. Пусть Xa t),ya t) двоякоасимптотическое решение невозмущенной задачи Xa t) х , ya t) У при t сх). Достаточным условием трансверсального пересечения сепаратрис при малых /л является наличие [c.375]

Из (1.9) следует, что соотношения (1-11) при е = О имеют вид /1(7) =. .. = /71(7) = О где 7 — двоякоасимптотическая траектория невозмущенной задачи, проходящая через точку р,д) = = (0,5 ). Если они выполнены, то наличие решения уравнений [c.258]

Мы также приводим некоторые неустойчивые периодические решения, порождающие семейство двоякоасимптотических движений, поведение которых является наиболее сложным и даже при наличии дополнительного интеграла выглядит неупорядоченным. При возмущении такие решения разрушаются в первую очередь и вблизи них в фазовом пространстве появляются целые области, заполненные уже настоящими хаотическими траекториями. [c.18]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем 323 решений для равномерных вертикальных вращений следующие [c.323]

Тип а характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис соответствующие двоякоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклини-ческими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепаратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа получится при добавлении квадратичного по х слагаемого в выражение для восстанавливающей силы. [c.235]

Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Я = Но г) + Н1 г,Ь) + о ), периодическим по времени. Здесь 2 = (х,у) — набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия с различными вещественными собственными значениями, а также, что точки соединены двоякоасимптотическим решением t — Zo(t), I е Е. [c.264]

В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае (-М, 7) = с 7 О в этой задаче существует три типа неподвижных точек эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных с имеют вид (а + г/3), а, /3 К, а/З = О и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при с = О, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие /3 = 0, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации. [c.324]

Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом Я(г, е) =Яо(2)+еЯ1(г, 0+О(е ) в предположениях п. 2.1. В частности, невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия г , соединенных двоякоасимптотическим решением t Zo t), tfiR. [c.239]

Замечание. А. Пуанкаре разделил двоякоасимптотические решения на два типа гомоклинные (когда 2+=г ) и гете-роклинные (когда г+Фг-). Если п—, то при малых е возмущенная задача всегда имеет гомоклинные решения (если, конечно, они были при е = 0). [c.242]

Рис. 2. Фазовый портрет системы (1.15) при /X = 0. 1 - сдвоенные сепаратрисы, образованные гомоклин-ными двоякоасимптотическими решениями 2,3 — пары совпадающих сепаратрис, состоящие из гетероклинных двоякоасимптотических решений.

При 1л = О система (1.15), без учета симметричных случаев, имеет три пары совпадающих асимптотических поверхностей. Сдвоенные сепаратрисы, отмеченные на рис. 2 цифрой 1, образованы гомоклинными двоякоасимптотическими решениями, пары сепаратрис 2 и 3 соответствуют гетероклинной ситуации. Интеграл J(а) был найден численно в предположении, что Жо,(0) = О в случае 1 и уо,(0) = О — в случаях 2 и 3 [c.375]

Рис. 4. Фазовый портрет системы (2.15) при в = 0. 1 — сдвоенные сепаратрисы, образованные гетероклинными двоякоасимптотическими решениями.

ПpиJ =Е+ решение (34.10), (34.11) переходит в солитонное , двоякоасимптотическое (при г к решению (34.8) с Ао I < А = 1/ /3 [c.242]

Предложение Г). При всех значениях параметров, кроме удовлетворяющих условию Гесса—Аппельрота (3.6), при малых е ф О для каждого возмущенного неустойчивого решения существуют по меньшей мере по два двоякоасимптотических гомоклинных) решения г1 е) и г2 е). В случае Гесса — Аппельрота таких решений нет. [c.290]

Теорема 3 [24]. Пусть (M,T,V) —обратимая механическая система, М компактно, метрика Т не зависит от времени, а потенциальная энергия V М х Mt — М периодична по t. Если V x,t) < V xQ,t) для всех х ф xq и t Е R, то существует такое двоякоасимптотическое (гомоклинное) решение х(-), чтох Ь) — жо при t — 00. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...