ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы 5.5 д. Интегрируемые системы. До эпохи Пуанкаре главная цель классической механики состояла в том, чтобы решить уравнения движения явно и затем изучать возникающую динамику. Это и служило, главным образом, мотивацией к поиску интегралов гамильтоновой системы, поскольку, если известно достаточно много интегралов системы, орбиты системы вполне определяются этими интегралами. А priori для системы с 2п-мерным фазовым пространством нужно было бы иметь 2п — 1 независимых интегралов; тогда множества уровней одномерны, т. е. определяют орбиту. Оказывается, однако, что благодаря симплектической структуре гамильтоновых уравнений, чтобы иметь возможность решать уравнения движения, на самом деле достаточно знать всего лишь п независимых интегралов в инволюции, т. е. с попарно равными нулю скобками Пуассона. Такие системы называются вполне интегрируемыми или часто просто интегрируемыми. В этом случае уравнения движения могут быть решены не только в принципе, но и явно («в квадратурах»). Кроме демонстрации процедуры решения уравнения движения вполне интегрируемой системы, теорема Лиувилля дает законченное описание структуры орбит с точностью до гладкого сопряжения, обосновывая, таким образом, описание, приведенное в § 1.5 без доказательства. Так как эта часть теоремы Лиувилля наиболее интересна для нас и ее доказательство сравнительно несложно, мы приводим здесь это доказательство. [Выходные данные]