Сдвиги на торах

Простейшими примерами ДС могут служить каскад и поток, определяемые одной и той же ф-лой T x=Fr(x + tix), где х — точка п-мерного единичного куба п>1 а — векторный параметр, а Fr(x+ tx) =. v- -ra- [x + tкомпонент вектора х+1<х (из каждой компоненты га, вычтена её целая часть В качестве инвариантной меры берётся я-мерный объём (мера Лебега). Отождествляя К" с и-мерным тором (при и = 1—с окружностью), говорят, что ДС порождена сдвигами на торе (поворотами окружности), Траектории этой системы образуют обмотку тора (рис. 1, на к-ром п = 2), причём [c.626]

Что касается сдвигов на торе, то они не только не [c.629]

Подчеркнем взаимосвязь между сдвигами на торе и линейными отображениями. Пусть отображение А К " задается матрицей [c.46]

Сравним асимптотические свойства отображения и сдвигов на торе, которые мы обсуждали в 1.4. [c.59]

Эти соображения применимы практически дословно к любому сдвигу на торе, где элемент 7 = (7[,..., 7 ) таков, что числа 71,..., 7 и 1 рационально независимы. По предложению 1.4.1 это условие необходимо и достаточно для минимальности Т . В 1.4 мы показали, что то же самое условие является необходимым для топологической транзитивности и, следовательно, поскольку носителем меры Лебега является весь тор, по второму утверждению предложения 4.1.18 это условие также необходимо для наличия эргодичности относительно меры Лебега. [c.156]

Докажите, что любой топологически транзитивный сдвиг на торе обладает односторонним образующим разбиением, состоящим нз двух элементов. [c.188]

Третье утверждение теперь очевидно по построению. Более того, / сопрягает каждый поток с некоторым сдвигом на торе. [c.235]

Используйте минимальность иррациональных сдвигов на торе. [c.749]

Замечание 6.6. При сдвигах на торе (гл. 1, примеры 1.2 и 1.15) существует всюду, если функция / непрерывна или интегрируема в смысле Римана (см. приложение 9). [c.23]

При некоторых общих условиях полностью вычисляется спектр эргодических сложных косых сдвигов на торе, т. е. преобразований вида Т Хи. . . , Хт) = Х1+а, Х2+ 1 Х1),...,Хт+ т-1 Хи...,Хш 1)), [c.41]

Дислокация 2 вводится в поле дислокации 1 с век-тором Бюргерса bi по схеме рис. 27, б, т. е. разрезкой вдоль поверхности А с последующим сдвигом на Ь2. [c.53]

По лемме 1.4.2 каждое топологически перемешивающее отображение топологически транзитивно. С другой стороны, никакой сдвиг не является топологическим перемешиванием. Это следует из того факта, что сдвиги сохраняют метрику на торе, индуцированную стандартной евклидовой метрикой R", и из следующего общего критерия. [c.59]

TJ на п-торе Т" -эквивалентен надстройке сдвига на п- 1)-то-ре, где = [c.77]

Предложение 3.2.1. Топологическая энтропия любого сдвига тора или любого линейного потока TJ на торе равна нулю. [c.130]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Системы со схожим поведением разных орбит и низкой сложностью глобальной структуры орбит. Эта группа включает преобразования поворота окружности ( 1.3), сдвиги ( 1.4) и линейные потоки ( 1.5) на торе и вполне интегрируемые гамильтоновы системы ( 1.5). [c.156]

Для сдвига Tj на торе самый простой способ доказать, что /1д(1 ) = 0, опирается на пятое утверждение предложения 4.3.16. Действительно, если [c.183]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Замечание. Полезно отметить, что дословно то же самое соображение применимо, если ip принимает значения в некоторой абелевой группе, в которой определен аналог абсолютной величины, инвариантный относительно сдвигов, например на торах с обычной функцией расстояния или на любой компактной абелевой группе. Позднее мы применим теорему Лившица в случае, когда уз — функция со значениями на торе. [c.612]

Итерируя эту конструкцию, можно получать сложные косые сдвиги на от-мерном торе [c.30]

Примеры. 1. Т есть эргодический групповой сдвиг на /ге-мерном торе Тх (х1 + щ,..., х + а ) для х=(х1,..х ). Полную систему характеров тора образуют функции Хп,.....= [c.39]

Всякий автоморфизм с чисто точечным спектром, разумеется, имеет квазидискретный спектр. Эргодический косой сдвиг на двумерном торе Т х,у) = х+а, у+х), x,y S а иррационально, — пример автоморфизма с квазидискретным спектром, но не с чисто точечным спектром. [c.40]

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными к служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада Г равносильна отсутствию у оператора II к,-л. собственных ф-ций с собственным значением единица , кроме постоянных все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание — это отсутствие собств. значений, отличных от единицы в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же — счётнократный лебегов-скин спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в ситуация обратная всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром — семейство сдвигов на торе. [c.630]

Предложение 4.2.11. 1. Никакой сдвиг на торе не является перемеш-иванием относительно меры Лебега. [c.163]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

В частности, если М1=Мг=5 Т1Хх=Х1- -а, аб5 , то косое произведение (косой сдвиг) Т(Хх, Х2) = (х1- -с1, Хг- -ч л 1)) называется косым сдвигом на торе. [c.30]

На языке топологии получает естеств. объяснение и наиб, известный линейный дефект в кристаллах — краевая дислокация, возникающая при образовании лишней кри-сталлич. полуплоскости в решетке (рис. 5). Предполагается, что на расстояниях в несколько постоянных рен ётки от линии АВ кристаллич. порядок восстанавливается. Поскольку пространство вырождения не зависит от вида кристалла, то достаточно рассмотреть просгейший кубич. кристалл и смещения лишь вдоль одной из осей, х, с периодом решётки <3,. Состояния кристалла вырождены относительно сдвигов на т. к. гакой сдвиг приводит к совмещению кристалла с самим собой. Иными словами, концы отрезка [О, а ] отвечают одному и тому же состоянию, что позволяет их отождествить. Для смещений, v, лежащих вне отрезка [О, всегда найдётся эквивалентное смещение внутри того же отрезка. В результате приходим к пространству вь[рождения кристалла по оси х в виде отрезка [0. а ] с отождествлёнными концами, что топологически эквивалентно окружности 5. Аналогичное вырождение состояний наблюдается и вдоль осей у и z, т. е, пространством вырождения кристалла в целом будет D = = -многообразие трёхмерного тора. [c.137]

Построение такого диффеоморфизма тора использует свойство вращения граничных окружностей в разные стороны. На каждом соединительном кольце все точки сдвигаются в ту же сторону, что и на обеих окружностях, ограничивающих соединительное кольцо. Поскольку направления сдвига на обоих соединительных кольцах противоположны, величину сдвт а можно подобрать так, чтобы обеспечить сохранение центра тяжести. [c.387]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Рассмотрим отрицательную величину функции высоты на вертикальном торе (см. рис. 1.6.1). Покажите, что риманова метрика на торе может быть возмущена таким способом, что отображение сдвига градиентного потока за единичное время является отображением Купки — Смейла. [c.304]

К разрежению и упорядочению спектра колебаний приводит и эффект синхронизации. При синхронизации моды не подавляют друг друга, но взаимно сдвигают частоты так, что с учетом нелинейных поправок они либо совпадут, либо станут соизмеримыми. На торе вместо квазипериодической обмотки появляются предельные циклы. Взаимная синхронизация мод возможна как по частотам, так и по волновым числам. В последнем случае эффект синхронизации выглядит особенно нетривиально — именно пространственной синхронизацией мод объясняется возникновение сложных упорядоченных структур в неодномодных автоколебательных системах (в частности, шестигранных призматических ячеек Бенара при термоконвекции, о которых будем говорить позднее). [c.348]

Теорема 1.3. Пусть О] и 62 — две недискретные локально компактные аменабельные (т. е. имеющие топологическое инвариантное среднее) группы со счетной базой открытых множеств. Любые два свободных эргодических действия этих групг с инвариантной мерой траекторно изоморфны между собой, и, в частности, изоморфны эргодическому действию группы R сдвигами на двумерном торе. [c.94]

Моделирование с помощью тел - это самый простой в использовании вид трехмерного моделирования. Средства Auto AD позволяют создавать трехмерные объекты на основе базовых пространственных форм параллелепипедов, конусов, цилиндров, сфер, клиньев и торов (колец). Из этих форм путем их объединения, вычитания и пересечения строятся более сложные пространственные тела. Тела можно строить также, сдвигая плоский объект вдоль заданного вектора или вращая его вокруг оси. [c.322]

На рисунке 61 изображены схемы последовательных превращений во всех четырех радиоактивных семействах. По оси абсцисс отложены зарядовые числа Z, а по оси ординат — массовые числа ядер А. В представленной схеме а-распад ведет к смещению влево на два интервала и вниз на четыре интервала, (i-распад ведет к сдвигу по горизонтали направо на один интервал. Семейство урана начинается изотопом и заканчивается стабильным изотопом RaG (старое название), т. е. свинцом РЬ . Семейство тория начинается торием и заканчивается устойчивым изотопом ThD (старое название), т. е. РЬ ° . Конечным продуктом семейства актиния является A D (старое название), т. е. стабильный изотои РЬ . Семейство нептуния заканчивается стабильным изотопом Bi2oa [c.209]

Нижняя часть корпуса переднего блока отлита заодно с всасывающим патрубком корпуса. компрессора. В блоке размещают опорно-упорный вкладыш вала турбокомпрессора реле осевого сдвига масляный выключатель главный масляный насос электромагнитный датчик тахогенера-тора и маслозащитное кольцо. На крышке блока расположены валопово-ротное устройство и вибродатчик, а на переднюю стенку крепят пусковой турбодетандер с расцепным устройством. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...