Квантование переменных

Так как различие между энергетическими состояниями очень мало, сумма всех энергетических состояний между О и е может быть представлена почти как объем эллипсоида для положительных значений переменных (Квантованные числа являются действительными и положительными целыми числами). [c.105]

При квантовании поля канонические переменные Q и Р заменяют соответствующими операторами Q и Р, При этом, согласно (2.4.16), гамильтониан поля излучения может быть представлен в виде [c.253]

Изменение внешних параметров системы со скоростью, малой по сравнению с собственной частотой, называют адиабатическим изменением. Поэтому переменная I в этом маятнике будет адиабатическим инвариантом. Вообще, можно доказать, что если система не вырождается, то переменные являются адиабатическими инвариантами, т. е. не изменяются под действием медленного изменения внешних условий. Заметим, что в квантовых процессах каждое состояние системы также является адиабатическим инвариантом, так как медленное изменение внешних параметров не приводит к переходу из одного состояния в другое. Это дает еще одно указание на целесообразность пользования переменными У( при описании квантования системы. [c.344]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Так определенные величины, очевидно, не являются инвариантами преобразования Лоренца. Это создает принципиальную трудность в связи с переходом к квантовой теории. Как уже было указано в связи с механикой сплошных сред, правила квантования обычно вводятся определением значений коммутаторов для операторов, изображающих сопряженные переменные ). Если квантовое поведение нужно описать в релятивистских понятиях, то эти коммутаторы должны быть инвариантными в понятиях же, связанных с выбранным нами определением, они не будут таковыми. [c.167]

Для квантования динамической системы необходимо ввести систему линейных операторов, соответствующих динамическим переменным д 1л р и их функциям. Классическим переменным — скоростям и переменным, содержащим т, не могут быть поставлены в соответствие операторы. Операторы действуют на векторы у) в гильбертовом пространстве, причем их представители в любом представлении (волновые функции) задают состояния квантовой системы. Вещественные классические переменные соответствуют эрмитовым операторам. Соответствие между классическими и квантовыми величинами основано на двух принципах, которые, обозначая соответствующие классические и квантовые величины одинаковыми буквами, сформулируем следующим образом [c.719]

Особенно интересно выяснить, могут ли такие системы описываться формализмом Лагранжа или Гамильтона, поскольку этот формализм служит весьма удобной основой для квантования. Существуют различные подходы к установлению этого формализма для непрерывных систем. Один из способов, довольно часто применяемый, состоит в том, что, скажем, упругий стержень сначала рассматривают как систему точечных частиц, а затем совершают предельный переход к сплошной системе. Полученный в этом частном случае результат обобщ,ают затем на произвольные системы. Другой способ заключается в выборе в качестве отправного пункта соответствующим образом обобщенного вариационного принципа. Наконец, третий способ, который мы здесь и используем, состоит в том, чтобы использовать вместо Q(x) их фурье-коэффи-циенты в качестве обобщенных переменных. [c.206]

В 1916 г. А. Зоммерфельд, работая над воровской атомной моделью, ввел новый способ квантования электронных систем с помощью двух переменных ( главного и побочного квантовых чисел) и получил для движения электронов необходимые эллиптические орбиты. Благодаря уточнению модели атома Бора были объяснены некоторые спектроскопические данные. Далее Бор в духе классической механики принял массу движущегося электрона постоянной. Зоммерфельд же учел поправки, которые требовала теория относительности, и ввел в теорию Бора релятивистскую массу электрона, заметно меняющуюся в зависимости от изменения громадной скорости электрона, движущегося внутри атома. В результате этого стало ясно, что электронная орбита движется в данной плоскости вокруг фокуса, занятого ядром, т. е. она приобрела вид розетки. Теперь Зоммерфельд смог объяснить тонкую структуру не одного только спектра водорода, но и спектра рентгеновских лучей. Тем самым при построении атомной модели стали учитывать и теорию относительности Эйнштейна. Однако и это новое видоизменение теории Бора, развитое Зоммерфельдом, не давало возможности охватить все опытно наблюдаемые спектральные линии, а модели, содержащие три и более тел (например, гелия), она не в силах была точно рассчитывать. Здесь все время сохранялось противоречие теории фактам, как бы ни усложнялось классическое в своей основе представление об электронной орбите. Только квантовая механика позднее разрешила это противоречие, отказавшись в принципе от классических представлений об электроне как миниатюрном шарике и о точной орбите его движения. [c.454]

Специфика квантования в КЭД связана с тем, что эл.-маги. поле описывается не векторами напряжённостей электрич. I J) и магы. (Н) нолей (ср. значения к-рых являются физически наблюдаемыми величинами), а потенциалом А , содержащим избыточные — продольные и временные — степени свободы. Для исключения соответствующих лишних динамич. переменных при классич. рассмотрении обычно накладывают на А, те или иные дополнит, условия (наир., условие Ло- [c.318]

Можно описывать условный экстремум и методом перебора всех комбинаций независимых переменных, квантуя переменные некоторым произвольным образом. Все комбинации независимых переменных можно перебрать на вычислительной машине, подставляя их в уравнение регрессии. Программа составляется так, чтобы в памяти машины сохранились коэффициенты только тех точек, для которых получены выдаю-ш,иеся значения эффективности Е. При этом координаты условного экстремума будут найдены с точностью, ограниченной интервалом квантования. [c.62]

Чтобы вычислить матричный элемент, входящий в формулу для вероятности захвата (11.7), заметим, что спиновая волновая функция начального состояния антисимметрична, а спиновая функция конечного состояния симметрична относительно спиновых координат. Поэтому только третье слагаемое в выражении для оператора магнитного момента, будучи антисимметричным относительно спиновых переменных обеих частиц, имеет отличные от нуля матричные элементы, отвечающие переходам между состояниями с различными значениями полного спина (член, содержащий [ е]У=7г, можно не учитывать, так как, выбрав в качестве оси квантования ось г, направленную по [хе], мы приведём оператор к диагональной форме). [c.101]

Представление чисел заполнения называется также представлением вторичного квантования. Отметим, что во всех интересных слз чаях оно содержит бесконечное число переменных, ибо для каждой частицы существует бесконечное число разрешенных уровней т (например, разрешенные значения импульса, атомных состояний и т. д.). Однако в каждом состоянии JV-частичной системы отлично от нуля лишь конечное число переменных так как очевидно, что [c.36]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

В квантовой механике любая динамическая переменная представляется эрмитовым оператором, имеющим некоторый спектр собственных значений. Поэтому в квантовом случае соотношения (1.2.77) естественно интерпретировать как соотношения для собственных значений координат и импульса частицы. Иначе говоря, будем считать, что в результате применения операции обращения времени к собственным состояниям операторов координат, мы получаем состояния с теми же собственными значениями, а в результате применения этой операции к собственному состоянию оператора импульса получается состояние, в котором частица имеет противоположно направленный импульс. Повым обстоятельством в квантовой механике является то, что частица может обладать спином. В этом случае ее квантовое состояние характеризуется дополнительной дискретной переменной — проекцией спина а на некоторую ось квантования. По аналогии с моментом импульса, проекция которого меняет знак при обращении [c.39]

Чтобы показать, какую конкретную пользу дает введение 5-частичных матриц плотности, напомним, что в представлении вторичного квантования (см. параграф 1.2) любая динамическая переменная А может быть записана в виде разложения [c.266]

Экранирование кулоновского взаимодействия возникает из-за флуктуаций концентрации электронов. Фурье-компоненты динамических переменных, описывающих эти флуктуации, в представлении вторичного квантования имеют вид [c.21]

Чтобы вывести уравнения баланса для наблюдаемых, нам потребуются явные выражения для базисных динамических переменных и операторов, входящих в гамильтонианы (7.1.55) - (7.1.57). В представлении вторичного квантования гамильтонианы электронной и фононной подсистем можно записать как [c.101]

С помощью этих соотношений нетрудно преобразовать любой вторично-квантованный оператор. Папример, при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью v (r), базисные динамические переменные (8.4.2) и (8.4.20) преобразуются по правилам [c.193]

При малых значениях интервала квантования по времени Г в сравнении с постоянной времени различие между значениями выходной переменной, рассчитанными по (7.10), и точными значениями в моменты времени Г, = iT оказывается пренебрежимо малым. [c.528]

Цифровые регуляторы не только заменяют по нескольку аналоговых, но они могут реализовать также дополнительные функции, выполнявшиеся ранее другими устройствами, или совершенно новые функции. Упомянутые дополнительные функции включают, в частности, программируемую проверку номинальных режимов, автоматический переход к обработке различных управляемых и регулируемых переменных, подстройку параметров регулятора, осуществляемую по разомкнутому циклу в соответствии с текущим режимом работы системы, контроль предельных значений сигналов и т. п. Можно привести и примеры новых функций — это обмен информацией с другими регуляторами, взаимное резервирование, автоматическая диагностика и поиск неисправностей, выбор требуемых управляющих алгоритмов, и в первую очередь реализация адаптивных законов управления. На основе цифровых регуляторов могут быть построены системы управления любых типов, включая системы с последовательным управлением, многомерные системы с перекрестными связями, системы с прямыми связями. При этом программное обеспечение подобных систем можно без труда корректировать как в предпусковой период, так и в процессе их эксплуатации. Немаловажно и то, что цифровые регуляторы позволяют изменять их параметры в весьма широких диапазонах и способны работать с практически любыми тактами квантования. Таким образом, все вышесказанное позволяет утверждать, что цифровая измерительная и управляющая техника со временем получит самое широкое распространение и в значительной степени вытеснит традиционную аналоговую технику. [c.8]

Квантование — построение квантово-механического описания физической системы, отвечающего данному классическому, состоящее в том, что динамическим переменным системы сопоставляются операторы в некотором пространстве состояний, подчиняюцщеся определенным коммутационным соотношениям, в Квантовые числа — числа, через которые выражаются возможные значения наблюдаемых. [c.268]

Условия (8.4.27) называются квантовыми условиями Зоммер-фельда — Вильсона (1915). Они не отвечают на вопрос о том, что происходит в случае систем с неразделяющимися переменными. Более того, квантование зависело от использованной системы координат изменение системы координат приводило к совершенно другим механическим траекториям. В 1917 г. Эйнштейн предложил удивительно эффектную новую интерпретацию квантовых условий Зоммер-фельда — Вильсона, оперируя не с линиями тока в плоскостях Ph, а с самой S-функцией. Заметим, что ввиду (8.3.2) фазовые интегралы (8.4.10) могут быть заменены на Д5д,,т.е. на изменение Sf. за один полный виток. Следовательно, в квантовых условиях содержится нечто, связанное с многозначностью функций Sf,. Эйнштейн ввел сумму всех квантовых условий [c.290]

Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания , но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе — в своем содержании и математической форме — указанные аксиомы . Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения — обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимул интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [c.872]

Переменные действие —угол ). Переменные действие — угол были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позже они оказались чрезвычайно удобньиси для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная — действие полагалась равной целому кратному постоянной Планка h. [c.347]

Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его фурье-разложений оказываются только частоты ниже определенного значения, скажем v,,, которое меньше, чем любая частота, соответствующая воровским условиям для квантовых переходов, то за время изменения параметра никакие квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане, не могут изменяться квантовые числа тем более не могут изменяться квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для квантования фактически именно для них были предложены правила квантования Вильсона — Зом-мерфельда. [c.173]

Это ур-ние является гамилыоновым и вполне интегрируемым. Переход от непрерывной ф-ции i(x, t) к дискретной переменной часто используется при квантовании Ш. у. н. [c.473]

Для дальнейщих вычислений удобно формально рассматривать электронный газ как систему с переменным числом частиц. В соответствии с результатами 63 (формула (63.50)) мы должны при этом заменить в каноническом распределении Гиббса энергию E i) разностью E i N)— pN, а химический потенциал определить из условия нормировки N =Td(ya.Q)l др. В аппарате вторичного квантования это значит, что мы должны заменить гамильтониан разностью d/t — poyV, [c.372]

Множество всех возможных собственных значений (отвечающих всем возможным собственным состояниям т)) интерпретируется как множество тех значений, которые может принимать в некотором эксперименте наблюдаемая, связанная с Ь. Вообще говоря, такое множество значений дискретно в этом заложено определенное различие между классической и квантовой механикой. В квантовомеханической системе динамические переменные (такие, как энергия) могут принимать только некоторые строго определенные значения в этом состоит сущность квантования. Другое важное замечание заключается в следующем так как собственные значения bjn должны представлять наблюдаемые численные значения динамических функций, они с необходимостью должны быть вещественными числами. Это означает, что операторы Ь, представляющие наблюдаемые, обязательно должны быть зрмитовыми, т. е. [c.26]

Имея явное выражение (2.2.40) для квазиравновесного статистического оператора, квазиравновесное среднее значение любой динамической переменной, заданной в представлении вторичного квантования, можно выразить через одночастичную матрицу плотности. Такие средние удобно вычислять с помощью так называемой теоремы Вика-Блоха-Доминисиса (или, как часто говорят для краткости, — теоремы Вика )). Здесь мы лишь сформулируем эту теорему для ферми- и бозе-систем. Доказательство приводится в приложении 2А. [c.99]

Чтобы понять, какого рода динамические переменные нужно включить в базисный набор для описания многочастичных корреляций, напомним разложение (4.2.6) для квантовомеханических операторов в представлении вторичного квантования. Применяя это разложение к оператору энтропии S t) запишем квазиравновесный статисти- [c.288]

Р1,. .., Рп, то в шредингеровском представлении квантовой механики аналогичная система описывается уравнением Шредингера для волновой функции г1з( 1,. .., д , Рь . Рп, t). Установление соответствия между кваптовыми и классическими уравнениями на основе этого представления является затруднительным. Традиционным приемом в этом случае является рассмотрение квазиклассического приблиячепия, которое связывает волновую функцию с квазиклассическими траекториями. Однако эта связь является простой лишь для полностью интегрируемых систем, для которых осуществляется независимое квантование функций действия, соответствующих разделяющимся переменным, по правилам, отвечающим квантованию стационарных орбит по Бору — Зоммерфельду [247]. В случае - же систем, в которых в классическом пределе возможны стохастические движения, простого соответствия между стационарными волновыми функциями и классическими траекториями не существует. [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...