Разложение диаграммное

До сих пор рассматривались итерации отдельных диаграмм при решении уравнений (3.2.9). Теперь мы намерены получить диаграммное представление корреляционных функций в форме, удобной для практических приложений. Рассмотрим с этой целью структуру диаграмм в разложении корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. [c.188]

Добавим еще одно замечание относительно формулы (3.2.16). Так как одночастичная функция распределения Д пропорциональна концентрации п, каждый член диаграммного разложения, описывающий процесс с участием s частиц, дает вклад, пропорциональный. Следовательно, формулу (3.2.16) можно рассматривать как разложение корреляционных функций по степеням параметра плотности. [c.191]

До сих пор ради простоты мы считали, что оператор Лиувилля не зависит явно от времени. Поэтому полученные выше выражения справедливы для изолированных систем или систем в стационарных внешних полях. Однако диаграммные представления корреляционных функций и интеграла столкновений легко могут быть обобщены и на системы частиц, взаимодействующих с внешним переменным полем. В этом случае одночастичные операторы Лиувилля L ( ) явно зависят от времени через внешнее поле, поэтому аналитическое выражение (3.2.14) для диаграммы в разложении корреляционной функции уже несправедливо. Возвращаясь к выводу этой формулы, заметим, что теперь все операторы эволюции вида ехр — г(г2 — ri)L должны быть заменены упорядоченными по времени экспонентами [c.193]

Новые диаграммные разложения корреляционных функций и оператора столкновений даются формулами (3.2.16) и (3.2.18), в которых оператор эволюции ехр(—zrL) группы частиц, вовлеченных в процесс, заменяется оператором [c.194]

Как и раньше, удобнее всего начать с диаграммного разложения вспомогательной функции G xi x2]z t — т) определяемой формулой (3.3.7). Если учитывать только двухчастичные процессы, то получим G = где функция представляется первым рядом диаграмм, изображенных на рис. 3.14. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид [c.202]

Согласно формуле (3.4.17), диаграммное разложение функции Gab по степеням взаимодействия начинается с члена первого порядка [c.222]

В данной статье ЭКС-метод разработан применительно к задаче пион-ядерного рассеяния. Предложена новая итерационная схема (17) для вычисления амплитуды рассеяния, допускающая простую диаграммную интерпретацию (см., например, рис. 1). Этот ряд представляет собой разложение по точному двухчастичному матричному элементу взаимодействия пиона с отдельным нуклоном ядра. В отличие от теории [c.297]

Для вычисления (6.48) необходимо преобразовать эту величину к виду, удобному для диаграммного разложения. Такое преобразование выполняется аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте при этом следует найти явное выражение для гамильтониана ангармонического взаимодействия Жа, которое определяется структурой и симметрией кристалла [см. (6.21) и (6.22)]. Далее, подобно тому, как это сделано в т. 1, ПО, следует разложить операторы электрического дипольного момента. Разложение, аналогичное (6.23), определяется формулой типа (т. 1, 110.12) [c.75]

Ясно, что, рассматривая кластеры, содержащие все большее и большее число атомов, можно найти последовательные поправки к выражению (2.38). На этом основаны различные диаграммные разложения, предназначенные для вычисления термодинамических величин ( 6.5). При плотностях, характерных для жидкости, такой ряд, однако, не сходится должным образом, и просуммировать его удается только с помощью аналитического продолжения суммы некоторой бесконечной подпоследовательности его членов. По этой причине полученные таким путем формулы оказываются не строгими, и относиться к ним с излишним почтением не следует. [c.108]

Диаграммные разложения (5.165) и (5.178) сходятся при высоких температурах, когда числа р и ц малы. Другой возможный подход, справедливый при низких температурах, состоит в том, чтобы исходить из упорядоченной фазы при Т = О, а затем рассматривать, что происходит при опрокидывании все большего числа спинов. Статистическую сумму для модели Изинга (5.22) можно тогда написать в виде [c.229]

В том же духе можно построить и диаграммные разложения для спиновых корреляционных функций. Например, при высоких температурах можно, исходя из формул (5.63) или (5.128), воспользоваться равенством (5.173), чтобы выразить искомую величину в форме, аналогичной (5.175) и (5.178) [c.231]

Наша трактовка диаграммных методов в статистической механике беспорядка замещения лишь в малой степени воздает должное весьма обширному, быстро развивающемуся и сложному разделу теоретической физики. Однако при более близком знакомстве с ним (см. особенно подробный обзор [1, т. 3]) читателя захлестывает обилие сугубо математических теорем из теории графов, аналитических приемов определения коэффициентов разложения и радиусов сходимости рядов, а также численных результатов для различных физических характеристик тех или иных моделей. Большая часть этого материала представляет лишь технический интерес, будучи связана в основном со вспомогательными вопросами, которые приходится решать при попытках раз- [c.233]

Однако тонкие особенности этого критического явления до сих пор не вполне выяснены, и они требуют тщательного математического исследования. Так, чтобы найти положение точки перехода, необходимо использовать весь аппарат диаграммных разложений (ср. с 5.10) с экстраполяцией из областей высоких темпера- [c.542]

Практическое вычисление Z можно провести непосредственно по теории возмущений, разлагая в (10.10) функционал о(1А + Ь) в ряд по степеням А и затем вычисляя гауссовы континуальные интегралы. В результате получим диаграммную технику, введенную в 1. Это соответствие является общим и можно, в частности, показать, что аналогичное разложение в континуальном интеграле для гейзенберговской модели порождает диаграммную технику для спиновых операторов, описанную в 2 (см. [37, 38]). [c.114]

НЫХ уравнений с двумя ядрами, имеющими бесконечное число членов. Для случая, когда показатель преломления является центрированной гауссовской величиной, диаграммное разложение для <С> имеет вид [c.396]

Тот факт, что ряд (2.186) имеет структуру геометрической прогрессии, нетривиален и является следствием того, что в диаграммном разложении (2.164)-(2.168) отсутствуют топологически эквивалентные диаграммы, то есть диаграммы, [c.77]

Решение общих задач статистической физики сопряжено с большими численными сложностями. Поэтому вначале были рассмотрены так называемые идеальные системы как для классического, так и для квантового случая. Наряду с рассмотрением идеальных систем исследуются и слабо неидельные системы, т. е. системы, свойства которых не сильно отличаются от идеальных. В 1927 г. Урселом впервые получено разложение по степеням плотности (вириальное разложение) [21]. В дальнейшем оно было развито Дж. Майером, который ввел диаграммный метод [22]. Н. Н. Боголюбовым предложен эффективный способ рассмотрения слабонеидельных систем на основе решения цепочки уравнений заложением функций распределения в ряд по степеням соответствующего малого параметра [И]. [c.213]

При вычислении вкладов в Qn от взаимодействия различных трупп используется диаграммная техника каждому члену разложения (15.10) сопоставляется геометрический образ — диаграмма -ИЛИ граф переменным qi,. .., qw приводится в соответствие пронумерованный кружо к, а множителям fa — линия, соединяющая i-ый И /-ЫЙ кружки. Например, [c.268]

Таким образом, в применении к газам метод Боголюбова при разложении бинарной функции по степеням плотности приводит к результатам теории группового разложения iMaflepa без использования сложной комбинаторики и диаграммной техники. [c.277]

Более точйое количеств, описание, учитывающее конечный радиус обменного взаимодействия, достигается с помощью раэл. вариантов теории возмущений (напр., разложения по степеням 1/г ) и соответствующей диаграммной техники для спиновых операторов 1-3]. Хорошие результаты даёт также метод ур-нип диижения дли двухвременных температурных Грина функций, приводящий К самосогласованному описанию статнч. и динамич. свойств магнетиков в широком интервале темп-р [4]. [c.695]

Вывод вириального уравнения состояния из законов статистической механики был одной из крупных вех на пути развития этой науки. Впервые оно было получено Урселлом в 1927 г. В дальнейшем Майер в 1937 г., введя диаграммную технику, раз вил и упростил этот вывод ). Позднее вириальное разложение изучалось Многими авторами (см. библиографию в конце главы). [c.241]

Трехмерная проблема Изинга не может быть решена точно даже в отсутствие магнитного поля. Однако в последние годы для решения проблемы были развиты численные методы, позволяющие получать чрезвычайно точные анпроксимации. Их идея состоит в вычислении коэффициентов разложений в ряды Тейлора, пригодных либо при высоких, либо при низких температурах. Эти коэффициенты получаются с помощью диаграммных методов, приводяш их к чрезвычайно сложным комбинаторным задачам. Прогресс в этой области был достигнут лишь благодаря использованию ЭВМ. В настоящее время во многих случаях приходится иметь дело с очень длинными рядами (в некоторых задачах они насчитывают от 30 до 80 членов). Затраты большого труда на вычисление таких длинных рядов не обусловлены просто прихотью. Оказывается, что коэффициенты в этих рядах принимают чрезвычайно нерегулярные значения если же ряды вообще сходятся, то они сходятся очень медленно. Чтобы дать представление об этом, приведем первые члены низкотемпературного разложения (по степеням и = е в ) намагниченности в нулевом поле для модели Изинга с d = 3 в случае гранецентрированной решетки (это разложение было получено Фишером в 1965 г.) [c.360]

Но одна идея влечет за собой другую Вильсон вскоре понял, что математический прием с использованием значения d = 4 — е, который дал возможность столь сильно упростить РГ-уравнения, может быть применен и в других, более традиционных методах. В частности, многие авторы изучали критические явления, производя диаграммные разложения по степеням малого параметра [например, в (10.8.1)] эти методы исходят из идей, развитых в гл. 6. Интегралы, соответствуюш ие отдельным диаграммам, очень сложны. Вильсон, однако, замечает (в четвертой из серии своих работ), что если эти интегралы далее разложить по степеням е, то получаемые при этом коэффициенты могут быть вычислены точно. Используя такое вычисление совместно с методом ренормализа-ционной группы, он смог точно вычислить критические показатели 7 и т для класса моделей типа (10.2.1) со спинами произвольной размерности D. Его результаты имеют следуюшдй вид [c.400]

Несмотря на то что конечные цели равновесной и неравновесной теории различаются весьма сильно, математические методы, используемые в обеих областях, удивительно похожи. Мы старались подчеркнуть это сходство при нашем изложении, поскольку оно представляет собой общее специфическое свойство, придающее статистической механике в целом ее своеобразное неповторимое очарование. Для примера такого сходства назовем методы разложения в ряды, диаграммную технику, а также метод ренормировки и частичного суммирования. Несмотря на то что эти методы применялись к различным объектам, они обладают существенным структурным сходством. Именно по этим соображениям мы сначала решали большинство задач (точно или приближенно) для равновесного случая, а затем как бы повторяли эти решения (в соответствующих приближениях) для неравновесных случаев. Это было сделано, разумеется, далеко не случайно. В сущности, если говорить об основах, и равновесные, и неравновесные задачи сводятся к исследованию гамильтониана системы. Просто эта функция играет различную роль в двух теориях она определяет функцию распределения при равновесии, но она же порождает движение из состояния равновесия. [c.352]

При решении уравнений (3.2.9) методом итераций любая дуга может быть исключена. В пределе бесконечного числа итераций все дуги исчезнут и окончательные выражения для будут содержать только вклады сильно связных диаграмм со свободными линиями справа. Таким образом, правила диаграммной техники обеспечивают взаимно-однозначное соответствие между диаграммами и разложениями корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. Иными словами, диаграммную технику можно использовать как графический метод решения цепочки ББГКИ. Такой подход обладает двумя важными достоинствами. Во-первых, диаграммы высших порядков составляются из отдельных блоков, каждый из которых, в свою очередь, соответствует некоторой последовательности диаграмм. Во-вторых, во всех порядках теории возмущений остаются только сильно связные диаграммы, которые, как мы вскоре убедимся, дают вклад в интеграл столкновений. [c.188]

В этой формуле 5-й член есть сумма всех сильно связных 5-частичных диаграмм, имеющих одну свободную линию на левом конце. Вклад 5-го члена пропорционален поэтому формула (3.2.18) дает разложение интеграла столкновений по плотности. Интересно провести сравнение диаграммного представления интеграла столкновений с групповым разложением, рассмотренным в разделе 3.1.5. Основное различие между выражениями (3.1.73) - (3.1.75) и формулой (3.2.18) состоит в том, что метод групповых разложений приводит к марковскому интегралу столкновений в то время как в каждом члене диаграммного разложения (3.2.18) имеется запаздывание. Вообще говоря, диаграммное представление интеграла столкновений также можно свести к выражению, локальному во времени. Для этого диаграммная техника должна быть модифицирована таким образом, чтобы функции распределения fiit — т) выражались через функции fi t). Хотя эта версия диаграммной техники фактически эквивалентна групповым разложениям, она позволяет, в принципе, проводить частичное суммирование, что и является наиболее важным преимуществом диаграммных методов [72]. Следует, однако, отметить, что для кинетических уравнений с запаздыванием правила записи математических выражений, соответствующих диаграммам, и процедура суммирования значительно проще. В связи с этим в дальнейшем мы будем пользоваться диаграммным представлением интеграла столкновений в форме (3.2.18). Марковское приближение будет рассматриваться в каждом конкретном случае. [c.192]

С помощью введенных выше графических элементов можно дать наглядное диаграммное представление любого члена в разложении одночастичной функции Грина по степеням возмущения S в операторе энтропии. Как мы уже отмечали, правила диаграммной техники для термодинамических и равновесных мацубаровских функций Грина фактически совпадают. Формально выражение (6.1.64) для корреляционной части оператора энтропии аналогично выражению для оператора двухчастичного взаимодействия в гамильтониане. Поэтому мы просто воспользуемся результатами анализа рядов теории возмущений для мацубаровских функций Грина [1, 64], внося необходимые изменения, связанные с рассматриваемой задачей. Итак, в импульсном представлении правила построения диаграммного разложения одночастичной термодинамической функции Грина состоят в следующем [c.23]

Как указывает Гаскелл [37], если исходить из одних и тех же данных для /(г) и g r), то условие Фке(г) Фр-т г) следует из равенства (76) и (77). Так, из равенства (76) видно, что в точках пересечения общей корреляционной функции h r) величина f r) — = —Фпс1кТ, и так же, как это следует из соотношения (75), оно возникает асимптотически. Последнее замечание нуждается в некоторых поправках, так как после разложения правой части выражения (76) в ряд по степеням h асимптотическая форма верна при условии Возможно это соотношение выполняется в некотором отдалении от критической точки (см. п. 4). По теории Перкуса — Йевика получается тот же самый асимптотический вид. Это позволяет считать, по исследованиям диаграммных методов для больших г, что рассматриваемый результат действительно правилен в указанной области, т.е. вдали от критической точки. К сожалению (см. ниже), теория Борна — Грина не приводит к точно такому же результату, хотя и позволяет вывести линейное соотношение между f r) и Ф(г). Однако коэффициент пропорциональности различен (см. дополнение 5). Это различие может быть очень значительным для сил ближнего действия,, но оно уменьшается для сил дальнего действия, существующих в жидких металлах. [c.40]

Переход к импульсному представлению. Развитая в предыдущем параграфе диаграммная техника в координатном представлении оказывается, однако, весьма неудобной при конкретных вычислениях. Дело в том, что успех методов теории поля при абсолютном нуле температуры обязан в основном большой степени автоматизма при вычислениях, который достигается за счет разложения всех фигурирующих в теории величин в итегралы Фурье по всем четырем координатам, подобно тому, как это было сделано при 7=0. В описанной выше технике Мацубары такой автоматизм отсутствует в связи с тем, что переменная т в этом методе изменяется в конечных пределах от нуля до 1/7 и переход к фурье-представлению (по т) оказывается невозможным. [c.167]

Ничто, кроме необходимости затратить колоссальный труд, не мешает нам вычислить любой член ряда. Практически, однако, элементарные алгебраические приемы отказывают уже при /г > 4. Пытаясь охватить все слагаемые, мы неизбежно (автоматически ) приходим к диаграммному (графическому) представлению, построенному следуюш,им образом. Рассмотрим ге-й член разложения (5.163) с гамильтонианом Изинга (5.164). Очевидно, ге-й момент оУЁ ) содержит множитель и среднее а а . . . а п ), вознпкающ,ее при суммировании всех возможных произведений п пар множителей и т. д. Номера узлов 1, 2,. . ., 2ге [c.224]

Феноменологические допущения, сделанные при выводе формулы (7.66), легко подвергнуть сомнению, предложив взамен альтернативные гипотезы в надежде получить лучшие результаты [31]. Сверх того, задача об исключенном объеме решалась всеми методами, известными в теории переходов от порядка к беспорядку. Использовались и вириальное разложение ( 5.10 и 6.5) по степеням силы взаимодействия, ответственного за исключенный объем [32], и диаграммное суммирование ( 5.10) производящей функции для случайных блужданий с учетом взаимодействия [33], и группа перенормировки ( 5.12) на предмет расчета критических индексов в зависимости от размерности системы [34], и другие сложные алгебраические приемы (см., например, [35]). Что удивляет, однако [5.65, 36], так это точность, с которой наилучшие аналитические приближения и численные расчеты, выполненные как методом Монте-Карло, так и другими прямыми способами, согласуются с простой формулой Флори (7.66). Обнадеживают и результаты экспериментов по вязкости и рассеянию света ( 7.4), которые согласуются с показателем степени в выражении (7.67) [9, 28]. [c.317]

Как было отмечено в 5.4, большое нретшуш ество компактного представления типа метода когерентного потенциала пли его обобпцеиий состоит в возможности выявить многие типы сложного аналитического поведения плотности состояний путем решения лишь небольшого числа алгебраических или интегральных уравнений. С другой стороны, просто обрывая ряды, возникаюш ие при разложении исходных уравнений, этого добх ться не удается приходится суммировать ту или иную бесконечную подпоследовательность слагаемых, как в уравнении Дайсона. Хотя для вычисления многих таких сумм моншо использовать диаграммную технику, здесь все же приходится руководствоваться теми же феноменологическими соображениями, которые непосредственно используются в компактных уравнениях. Например, при обобш,ении метода когерентного потенциала сразу видно, что главную роль играет взаимодействие между соседними узлами в решетке (т. е. узлами, лежаш,ими в пределах данного кластера), а формально образованные с помощью графиков парные слагаемые, отвечающие более удаленным узлам, дают лишь пренебрежимо малый вклад. По этой причине использование граничных условий Бете ( 11.4), позволяющих расширить кластер без резкого его обрыва, приводит к очень хорошим результатам [40]. [c.403]

Простое рассмотрение, приведенное выше, вызывает еще одно возражение ряд (9.111) никогда не может сходиться абсолютно вблизи центра зоны, поскольку в конце концов приходится учитывать и множитель gi с бесконечно малым знаменателем. По этим причинам Андерсон [66] сознательно заменил простое локаторное разложение перенормированным рядом теории возмущений. Член порядка с помощью хорошо известной диаграммной [c.423]

Разложение по обратному радиусу взаимодействия. Диаграммная техника для спиновых операторов была изложена в двух вариантах в одном из них элементарные диаграммы строятся из одноузельных блоков, включающих верпшны с совпадающими узель-ными индексами [37], в другом варианте — из обобщенных блоков [11, 12]. [c.36]

Рассматривается комплекс вопросов о физическом поведении магнитных систем, опирающийся на представление статистической суммы континуальным интегралом. С помощью тождества Хаббарда — Стратоновича дается вывод точных представлений статистической суммы для моделей Изинга, Гейзенберга и Хаббарда в виде континуальных интегралов по флуктуирующим полям. Указана связь разложений подынтегральных выражений по флуктуирующим полям с рядами теории возмущений и диаграммной техникой. Для температур, близких к точке фазового перехода, проведено приближенное вычисление континуальных интегралов, позволяющее получить функционалы Гинзбурга — Ландау для перечисленных моделей. [c.109]

Полученное нами обшее выражение для /3(й, Го) в Ьиде конечного ряда по степеням 1/го не представляет из себя полного вириального разложения, так как коэффициентами при (N(,/V) являются корреляционные функции (К ,..., К ), которые следовало бы доразложить по степеням 1/го. Не утруждая читателя слегка усложненным разложением процедуры вириального разложения для корреляционных функций, рассмотренной нами в задаче 16, приведем результат этого разложения по степеням 1/го = до третьего порядка включительно для эффективной величины /3/го без выписывания длинных интегралов сразу в диаграммном виде. [c.402]

Выражения для кинетических коэффициентов оказываются весьма сложными для практического вычисления. Методы их вычисления при помощи фейнмановской диаграммной техники рассматриваются в лекциях Монтролла (диаграммы на поверхности тора). Попутно излагаются диаграммные методы вычисления свободной энергии, разработанные Монтроллом и Уордом. Некоторая громоздкость этих методов связана с тем, что не используется метод вторичного квантования и вычисления ведутся непосредственно с симметричными и антисимметричными функциями. Для газа малой плотности получаются разложения для кинетических коэффициентов по степеням плотности, аналогичные майеровским разложениям по групповым интегралам. [c.8]

Бурре [1962а], [1962Ь], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для <С> и таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль- [c.395]

Методика расчета величины Q, исходящая непосредственно из написанного выше ее интегральной формы, была разработана Дж. Майером (J. Мауег, 1941 не путать американокого физика-теоретика Джозефа Майера с жившим на сто лет ранее Робертом Ю лиусом Майером, сформулировавшим I начало термодинамики см. гл. I, 4), как регулярный метод в теории неидеальных лас-оичеоких систем. Им же была предложена первая в теоретической физике диаграммная интерпретация получаемых разложений и про ведены частичные суммирования. Мы рассмотрим некоторые во просы этого широко распространенного метода в дополнительном разделе к настоящей главе. [c.620]

При желании процедуру построения интегралов р можно продолжить и далее — ее методика уже достаточно ясна. Отметим несколько особенностей такого построения. С ростом к число диаграмм, учитывающихся в интеграле Ь , стремительно растет 2 — одна диаграмма, Ьг — 4 диаграммы, — 37 диаграмм. Переход от описания вириального разложения в терминах 6 к описанию его с помощью р эквивалентно суммированию односвязных диаграмм (т. е. имеющих точки сочленения, отделяющие листья от общего дерева диаграмм ь.. ), но число оставщих-ся звезд все равно растет очень быстро (Рг — одна диаграмма, Рз — 9 диаграмм трех типов), и диаграммный подход начинает терять свою привлекательность. Майер показал, угадав закономерность на первых членах разложения, что в общем случае интегралы образуются только с помощью звезд. Ему удалось установить, решив весьма сложную комбинаторную задачу, общую связь групповых интегралов Ък с неприводимыми групповыми ин- [c.756]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...