Математический аппарат статистической механики

Математический аппарат статистической механики — 212 Метод суммирования диаграмм — 213 [c.239]

Предлагаемая книга ставит своей задачей ознакомить читателя с проблемой математического обоснования статистической механики на базе современных концепций теории вероятностей и максимального использования ее аналитического аппарата она предназначена прежде всего для математика и имеет целью ввести его в круг задач статистической механики в той атмосфере логической отчетливости, вне которой он по духу своей науки не может воспринимать и работать и которой, к сожалению, почти сплошь лишены существующие физические изложения. [c.2]

Как уже было упомянуто, в большинстве изложений эти асимптотические формулы вводятся без всякого обоснования установив их для какого-либо особенно простого частного случая (например, для однородного одноатомного идеального газа), авторы обычно затем распространяют их с соответствующими изменениями на общий случай либо без всяких оговорок, либо приведя несколько аргументов эвристического характера. Едва ли не единственным исключением из этого общего правила является курс Фаулера. Дарвин и Фаулер, как мы уже упоминали, развивают для математического обоснования созданного ими метода получения асимптотических формул специальный, и притом весьма громоздкий, аналитический аппарат. Они нигде не пользуются результатами теории вероятностей в готовом виде вместо этого они строят новое логическое здание но фактически они все время движутся параллельно тому аналитическому пути, на котором теория вероятностей создает свои предельные теоремы. Отсюда остается только один шаг до создания метода, который нам представляется здесь наиболее целесообразным вместо того, чтобы в усложненной редакции повторять весь тот длинный аналитический процесс, который приводит к предельным теоремам теории вероятностей, — найти сразу тот мост, который соединяет между собой эти два круга проблем найти ту формулу перехода, которая прямо и целиком редуцировала бы всю асимптотическую проблематику статистической механики к предельным задачам теории вероятностей, в большинстве случаев уже решенным, или по меньшей мере таким, для решения которых у нас имеются в распоряжении готовые, многократно испытанные методы. Именно этим путем мы пойдем в предлагаемой книге. Мы считаем, что таким образом сразу достигаются две цели со стороны принципиально-методологической с полной ясностью вскрываются роль и способы применения вероятностей в статистической механике со стороны же формально-вычислительной статистическая механика впервые получает возможность полной математической строгостью обосновать свои асимптотические формулы, не создавая для этого никакого специального аналитического аппарата, а пользуясь готовыми результатами теории вероятностей. Чтобы подчеркнуть оба момента с возможной отчетливостью, мы в тексте приводим формулировки нужных нам предельных теорем теории вероятностей без доказательства, выделяя последнее в особое приложение в конце книги. Мы надеемся, что в таком изложении математическое обоснование статистической механики окажется доступным и многим из тех читателей, которых построения Фаулера отпугивают своей формальной громоздкостью. [c.11]

В книге с единой точки зрения излагаются математические основы метода ориентационного усреднения, рассматривается его приложение в разных областях механики материалов. Обсуждаются методы конструирования тензоров инвариантным интегрированием по группе вращений, интегральные представления тензоров второго ранга, конструирование функций тензорного аргумента и др. На основе общего математического аппарата получены определяющие уравнения статистических теорий пластичности, в частности локальных деформаций. Метод ориентационного усреднения использован для расчета прочности и накопления повреждений. На основе метода развита структурная теория неупругого деформирования пространственно армированных композитов при простом и сложном нагружениях с учетом пластических и вязкопластических свойств компонентов. [c.299]

Разработка статистической теории передачи информации в оптическом диапазоне должна базироваться на аппарате функционального анализа, квантовой механики и электродинамики D—8], математической статистике, статистической радиофизике и теории случайных функций 15, 17, 18, 69, 72, 91]. В частности, исследование статистических свойств оптических полей требует применения квантовой теории поля как единственной теории, наиболее точно решающей задачи квантовой оптики. Следует, конечно, указать, что развитие статистической теории немыслимо без использования хорошо разработанных методов статистической радиотехники и теории информации [9, 10, И, 12, 13, 14, 16, 79]. [c.11]

В отличие от других разделов теоретической физики термодинамика не нуждается в применении сложного математического аппарата — последний ограничивается элементами математического анализа. Несмотря на эту формальную простоту (или, возможно, вследствие нее), термодинамика представляется окутанной дымкой абстрактности, которую нужно преодолеть, чтобы хорошо овладеть предметом. Можно, например, сразу прибегнуть к молекулярно-кинетической теории тепла. Этот путь, несомненно, так или иначе приведет к удовлетворительным результатам. Однако, поскольку молекулярная теория должна выводиться из макроскопического опыта, а не наоборот, в этой книге избран феноменологический подход к термодинамике. Будучи однажды усвоен, он создает естественную базу для перехода к изучению статистической механики. Временами мы, конечно, будем обращаться к молекулярно-кинетической природе тепла с целью содействовать лучшему пониманию изложения, но будем избегать строить доказательства на такой основе, [c.7]

Введенный выше формализм представляет собой замкнутый математический аппарат, с помощью которого в принципе можно решить любые проблемы равновесной статистической механики. Конкретные расчеты в этом микроканоническом варианте статистической теории можно схематично представить в виде ряда этапов. [c.37]

В механике избран традиционный путь, начинающийся с законов Ньютона, динамики материальной точки. Вся электродинамика изложена на основе учения об электромагнитном поле в вакууме, причем общие его уравнения предшествуют частным случаям. В квантовой механике изучению основных вопросов предпослана пропедевтическая тема, содержащая решение простейших одномерных задач еще без применения специального математического аппарата. В статистической физике в основу положен квантовый подход, что позволяет проще и последовательнее дать ее исходные положения и получить основные выводы. [c.4]

Необратимые процессы можно также рассматривать, пользуясь различными методами статистической механики. Сюда относятся различные приложения кинетической теории, а также применение математического аппарата, который был создан в квантовой [c.9]

Чтобы завершить этот краткий обзор, мы должны еще отметить, что развитие в последние десятилетия атомной механики, в значительной мере изменившее лицо физической статистики, заставила, естественно, и статистическую механику расширить свой математический аппарат в такой мере, чтобы он охватывал и квантовые явления более того, с точки зрения современных воззрений мы должны рассматривать квантовые системы как общий тип, в отношении которого классические системы занимают место предельного случая в частности, именно таким образом построен курс Фаулера новый метод построения асимптотических формул для фазовых средних здесь первоначально обосновывается и развивается для квантовых систем формулы же, соответствующие классическим системам, получаются отсюда с помощью предельного перехода. [c.8]

Квантовая статистика ставит математике и некоторые новые задачи так, обоснование своеобразных принципов статистических расчетов, лежащих в основе новых статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, потребовало математических рассуждений, принципиально (а не только по аналитическому аппарату) отличных от всех тех, с какими имела дело классическая статистическая механика. Тем не менее можно утверждать, что переход от классических систем к квантовым в основном не создал каких-либо существенно новых математических трудностей любой метод обоснования статистической механики классических систем в принципе может быть применен и к системам квантовым, требуя для достижения этой цели только расширения аналитического аппарата, которое может иногда вызвать небольшие трудности технического характера, но в принципиальном плане не создает новых математических задач там, где мы ранее оперировали интегралами, приходится иметь дело с конечными суммами или рядами, а непрерывные вероятностные распределения заменяются дискретными, для которых имеют место вполне аналогичные предельные теоремы. [c.8]

Движение каждой молекулы газа может быть описано законами механики Ньютона. Но число молекул в любом газе чрезвычайно велико, а силы, действующие между молекулами, таковы, что описание свойств громадной совокупности всех молекул законами механики оказывается невозможным. В таких случаях для исследования применяется статистический метод. С помощью особого математического аппарата — теории вероятностей — этим методом вычисляются средние значения физических величин, характеризующие движение всех молекул (средние скорости молекул, среднее значение энергии молекулы и т. д.). [c.117]

Математический аппарат статистической физики создан Гиббсом и опубликован в 1902 г. в его книге Основные принципы статистической механики [5]. Здесь впервые введено понятие классического ансамбля. В 1905—1906 гг. Эйнштейн и Смолу-ховский построили молекулярную теорию брауновского движения. [c.212]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

В механике жидкостей и газов наблюдается сходный процесс. Необходимость учета сжимаемости среды при движениях с большими дозвуковыми, затем околозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями, когда термодинамика процесса играет первостепенную роль, заставляет все больше усилий уделять газовой динампке — дисциплине, в начале века составляющей небольшую главу механики, а теперь соперничающей по объему материала и размаху исследований с классической аэродинамикой. Изучаются движения в газообразной среде и с так называемыми ги-перзвуковыми скоростями — скоростями космических кораблей и метеоров, когда надо принимать во внимание и диссоциацию молекул газа. В гидромеханике схема идеальной жидкости в двумерных стационарных задачах при современных возможностях математического аппарата представляется почти исчерпанной. Больше внимания привлекают пестациопарные задачи плоского движения идеальной жидкости и трехмерные задачи и особенно механика вязкой (несжимаемой) жидкости. Статистические методы остаются основными в теории турбулентности, где еще предстоит решить ряд кардинальных проблем. Очень большое место занимают теперь такие разделы, как движение жидкости и газа в пористых средах, теория взрывных процессов на основе гидродинамической схемы, теплопередача при движении жидкостей и газов. [c.301]

Задача определения законов распределения плотности и давления в прессовке является центральной в теории консолидации дисперсных систем уплотнением. Успех ее решения определяется тем, в какой степени используемый математический аппарат позволяет описать реальный процесс уплотнения. Из существующих в настоящее время в этой области подходов наиболее разработан и обоснован деформационный механизм уплотнения [83—86]. Данный механизм позволяет охватить все три компонента деформации упругую, пластическую и структурную, межчас — тичную. Он базируется на предположениях, что все направления в уплотняемом порошковом теле равноправны и равноценны, взаимное расположение частиц равновероятно, каждая частица подчиняется законам классической статистической механики. [c.67]

Несмотря на то, что течения жидкостей и газов, встречающиеся в природе и технических устройствах, как правило, являются турбулентными, во всех существующих общих курсах гидромеханики теории турбулентности посвящены в лучшем случае лишь небольшие разделы, содержащие кое-какие отрывочные сведения о методах статистического описания неупорядоченных течений жидкости и газа и о некоторых статистических характеристиках таких течений. Монографическая литература, псйвященная турбулентности, также очень бедна и насчитывает всего несколько названий (почти все они могут быть найдены в списке литературы, приложенном к настоящей книге) при этом большая часть из них относится к книгам сравнительно узкого содержания. Нетрудно понять, почему сложилось такое положение. Турбулентные течения являются значительно более сложным объектом, чем ламинарные, и требуют для своего изучения существенно новых методов, отличных от классических методов математической физики, в течение почти двух столетий считавшихся единственно годными для количественного изучения законов природы. Математический аппарат, нужный для логически аккуратного построения статистической механики непрерывных сред —теория случайных полей, — был создан лишь за последние 25—30 лет и до сих пор еще мало известен за пределами узкого круга специалистов по теории вероятностей. В эти же годы сформировалась и современная теория турбулентности, которая до сих пор еще далека от завершения. Нам кажется, однако, что уже имеющиеся в этой области достижения безусловно заслуживают того, чтобы занять заметное место в обязатель ном объеме знаний каждого образованного гидромеханика и физика-теоретика, и если этого еще не произошло, то лишь ввиду относительной молодости теории турбулентности. Можно [c.13]

Привлекательность этих моделей состоит в их простоте, позволяющей установить достаточно общие закономерности новедения магнитных систем, не загромождая их онисанке частностями. Физическая простота этих моделей, выражающаяся, в частности, в компактной записи гамильтониана, не означает, однако, простоты в математическом аппарате, требующемся для исследования статистического новедения соответствующих моделей. В последние два десятилетия интенсивно развивались различные подходы к исследованию рассматриваемых моделей и на их основе достигнуто глубокое понимание статистической механики магнитоунорядоченных систем. [c.5]

Книга представляет собой перевод курса лекций, прочитанных в летней школе физики им. Э. Ферми в Варение (Италия) крупнейшими специалистами в этой области (Онсагер, Монтролл, Кирквуд, де Гроот, Мазур и др.). В этих лекциях освещены вопросы обоснования неравновесной термодинамики с точки зрения классической и квантовой статистической механики, математический аппарат теории, а также даны конкретные примеры рассмотрения ряда процессов и явлений в физических системах. [c.4]

Нефтеперерабатывающее производсгво представляет собой с южнейший комплекс технологического и вспомогательного оборудования самого различного назначения - тептюобменники, реакторы, колон 1ые аппараты, насосы, трубопроводы и т.д. Все это оборудование работает длительное время в жестком эксплуатационном режиме и является источником повышенной опасности, посколь(су продукты переработки углеводородного сырья в своем больишнстве относятся к токсичным, пожаро- и взрывоопасным. Все это обуславливает повышенные требования по надежности и безопасности эксплуатации технолот и-ческого нефтегазового оборудования. Следует отметить, что вопросы теории и практики надежности относятся к ряду наиболее с южных научных направлений, объединяющих большое количество узких технических дисциплин - математическую статистику, механику разрушения, статистическую физику, материаловедение, физику твердого тела и др. В свою очередь понятия и методы теории надежности носят универсальный характер и применимы к объектам и системам различной природы. [c.127]

При обработке экспериментальных данных используется аппарат математической статистики, в том числе такие разделы, как регрессионный и дисперсионный анализы. Экспериментально-ста-ститические методы математического описания, безусловно, не претендуют на какую-то подмену методов научных исследований, базирующихся на глубоком проникновении в физическую сущность изучаемых процессов с целью их описания с помощью уравнений механики,термодинамики,электротехники и т. п. Успех от применения экспериментально-статистических методов тем более ощутим, чем выше уровень теоретических знаний об обследуемом процессе. В то же время следует отметить, что эти методы, в ряде случаев, позволяют получить некоторые теоретические предгтявления п ме-ханизме исследуемого процесса и критически оценить теоретические предпосылки, имеющие часто односторонний субъективный характер. Является существенным также то обстоятельство, что математическое описание, найденное экспериментально-статнсти-ческими методами, имеет простой вид и может быть легко использовано для управления процессом. [c.500]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...