Разложение интеграла

Нетрудно получить первые члены асимптотического разложения интеграла, входящего в выражение для у. Тогда для больших значений х будем иметь [c.201]

Вычислим теперь форму оптических полос. Для этого разложим ехр Т) в ряд по степеням функции ip[t, Т) и проинтегрируем по времени каждый член этого разложения. Интеграл от единицы вычислим используя (10.19). Интегралы от различных степеней

[c.130]

И тогда, после разложения интеграла в (5.126) на ряд сходящихся интегралов, мы получаем [c.380]

Из сказанного ясно, что обобщение уравнения Больцмана может производиться в различных направлениях. Например, в рамках граничного условия Боголюбова (3.1.9) можно учесть нелокальные эффекты в бинарных столкновениях и члены высших порядков в разложении интеграла столкновений по степеням параметра плотности. Вклады в интеграл столкновений, связанные с учетом всевозможных столкновений между [c.174]

Групповое разложение интеграла столкновений. В этом разделе нашей задачей будет вывод поправок по плотности к уравнению Больцмана путем последовательного разложения двухчастичной функции распределения по степеням параметра п = пгд. Точнее говоря, мы намерены получить эту функцию в виде функционального ряда [c.174]

Его можно рассматривать как очевидное обобщение формулы (3.2.27)). В оригинальной работе Ландау [37] интеграл столкновений для слабо неидеальной плазмы был получен путем разложения интеграла столкновений Больцмана по степеням потенциала взаимодействия. Это приводит к марковскому кинетическому уравнению, в котором, к тому же, не учитывается нелокальность столкновений, т. е. аргументы и одночастичных функций распределения считаются равными. Выражение (3.4.27) является более общим, чем интеграл столкновений Ландау, так как оно учитывает нелокальность и запаздывание. Иногда это выражение называют обобщенным интегралом столкновений Ландау. [c.220]

Это рассуждение можно сделать строгим и показать, что если уравнение (16.37) имеет корень h = hs на контуре интегрирования, то старший член асимптотического разложения интеграла (16.35) по степеням можно получить, ограни- [c.167]

М. И. Найман (см., например, [1]) в случае отверстия в форме правильного прямолинейного многоугольника с закругленными углами рассматривал, наряду с отрезками рядов, получаемых разложением интеграла Кристофеля — Шварца, аналогичные им полиномы с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты он определял из условия равенства нулю кривизны в отдельных точках границы и таким путем достигал при равных количествах удержанных в отображающей функции членов заметного выпрямления сторон многоугольника по сравнению с разложением интеграла Кристофеля — Шварца. Тем же автором были рассмотрены и некоторые другие формы отверстий и найденные отображения с успехом применены к решению задач кручения круговых цилиндров, ослабленных теми или иными продольными выточками. Подобные отображения использовались впоследствии и в случае плоской деформации для некоторых простейших профилей. [c.587]

Дальнейшая процедура заключается в разложении интеграла столкновений в ряд по степеням взаимодействия. [c.67]

В качестве предварительного шага рассмотрим асимптотическое разложение интеграла типа Фурье [14, 15] [c.343]

В выражение (5.7.15) входит лишь главный член асимптотического разложения интеграла. Можно показать, что при ф - тг/2 следующий член разложения становится сравнимым с первым. В частности, при [c.378]

Вычислите следующий за главным член асимптотического разложения интегра-ла/кнс определяемого выражением (5.7.1), если главный член разложения дается выражением (5.7.3). Подсказка. Для вычисления члена второго порядка используйте представление (5.2.32). [c.399]

Разложения интеграла-синуса и интеграла-косинуса Френеля вблизи нуля [c.171]

Методом, развитым в указанном параграфе, нельзя доказать, что радиус сходимости разложений интеграла данного дифференциального уравнения больше соответствующего радиуса сходимости вспомогательной функции. Но может случиться, что истинный радиус сходимости имеет много большее значение бывает, в частности, что радиус сходимости разложения интеграла данного дифференциального уравнения по степеням параметра ц не зависит от Т. Это приближенно может быть выяснено посредством построения других вспомогательных функций. [c.498]

При выполнении этого условия степенные члены в асимптотическом разложении интеграла по дробным степеням со- не будут зависеть от /о. [c.365]

Асимптотическое разложение интеграла (3.5) дает интегрирование по окрестности стационарной точки, т. е. по окрестности решения у> V, системы уравнений [c.393]

Чтобы найти дальнейшие члены асимптотического разложения, интеграл (17.13) нужно преобразовать так же, как ()7.)0). [c.367]

Интересуясь только первыми членами разложения интеграла по степеням представим подынтегральное выражение в виде [c.121]

Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложения интеграла столкновений оказываются одинакового порядка величины это связано с тем, что усреднение первых степеней знакопеременных величин в (21,4) связано с большим погашением, чем при усреднении квадратичных выражений. Дальнейшие же члены разложения будут уже все малы по сравнению с двумя первыми. [c.118]

Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы при разложении интеграла (46,7), взятого по области в интересующую нас разность (46,16) оно, следовательно, не дает вклада. [c.231]

При помощи асимптотического разложения интеграла Фурье [c.18]

Формула для Тф получена так же, как формула (2.75) для периода конечных колебаний обычного маятника. Полагая к величиной малой, найдем первый член разложения интеграла по параметру к [c.114]

Мы видим, что кинетическое уравнение для fi x t) является, вообще говоря, сильно нелинейным и немарковским. Если плотность мала или взаимодействие между частицами является слабым, интеграл столкновений можно разложить по малому параметру. В последующих разделах будет рассмотрено так называемое групповое разложение интеграла столкновений для газов малой плотности. [c.166]

Выше было показано, что члены в групповом разложении интеграла столкновений, порождающие вириальные разложения коэффициентов переноса, определяются динамикой изолированных групп молекул. В отличие от равновесных статических корреляций, имеющих протяженность порядка нескольких радиусов взаимодействия Гц, динамические корреляции в изолированных группах частиц могут иметь значительно большую протяженность. Оказалось, что именно это свойство динамических корреляций несет ответственность за расходимость вириальных разложений коэффициентов переноса. Для иллюстрации дальнодействующей природы динамических корреляций рассмотрим пример четырехчастичных процессов, которые дают расходящиеся вклады в коэффициенты переноса (см. рис. 3.1а). Видно, что частицы (3) и (4) перемещаются свободно на расстояния, значительно превышающие длину свободного пробега. Более того, эти расстояния могут быть сколь угодно велики. Ясно, однако, что в газе не могут существовать столь протяженные траектории. Поэтому опасный процесс столкновения четырех частиц, изображенный на рис. 3.1а, возникает в результате некоторого многочастичного процесса, в котором частицы (3) и (4) проходят расстояния порядка длины свободного пробега. Например, добавление частицы (5), изображенной на рис. 3.16, обеспечивает обрезание расходящегося вклада в четырехчастичный интеграл столкновений, связанный с аномально большим свободным пробегом частицы (3). [c.180]

В этой формуле 5-й член есть сумма всех сильно связных 5-частичных диаграмм, имеющих одну свободную линию на левом конце. Вклад 5-го члена пропорционален поэтому формула (3.2.18) дает разложение интеграла столкновений по плотности. Интересно провести сравнение диаграммного представления интеграла столкновений с групповым разложением, рассмотренным в разделе 3.1.5. Основное различие между выражениями (3.1.73) - (3.1.75) и формулой (3.2.18) состоит в том, что метод групповых разложений приводит к марковскому интегралу столкновений в то время как в каждом члене диаграммного разложения (3.2.18) имеется запаздывание. Вообще говоря, диаграммное представление интеграла столкновений также можно свести к выражению, локальному во времени. Для этого диаграммная техника должна быть модифицирована таким образом, чтобы функции распределения fiit — т) выражались через функции fi t). Хотя эта версия диаграммной техники фактически эквивалентна групповым разложениям, она позволяет, в принципе, проводить частичное суммирование, что и является наиболее важным преимуществом диаграммных методов [72]. Следует, однако, отметить, что для кинетических уравнений с запаздыванием правила записи математических выражений, соответствующих диаграммам, и процедура суммирования значительно проще. В связи с этим в дальнейшем мы будем пользоваться диаграммным представлением интеграла столкновений в форме (3.2.18). Марковское приближение будет рассматриваться в каждом конкретном случае. [c.192]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Для типичных плазм кулонопский логарифм Ь по порядку величины равен 6 -г- 20. Именно возникновение такого большого параметра позволяет ограничиться в разложении интеграла столкновений Больцмана лишь членами — (Д/ ) , а при вычислении интеграла (35.8) не уточнять численных коэффициентов под логарифмом. Кроме того, можно полностью пренебречь вкладом области малых прицельных параметров, приводящих лишь к поправке, мало меняющей коэффициент под логарифмом выражения (35.8). [c.134]

Разложением интеграла вряд можно найти продолжительность одного простого качания, т. е. время между двумя последовательными прохождениамн через положение покоя [c.305]

Таким образом, разложение интеграла (30) в ряд по А" , получаемое методом стационарной фазы, приводит к соответствующему ряду метода геометрической оптики, включая высшие ири-ближения последнего метода. Как мы убедились, разложение (35) можно получить при вьшолнении условия 1X1 Ащ, при котором к интегралу (30) можно применить метод стационарной фаэы. В случае же нарушения этого условия, как ясно нз структуры выражения (30), это разложение теряет смысл. Следовательно, прн нарушении условия Ктеряет смысл не только первое [c.289]

Суммируя, отметим, что мы изложили систематический подход к построению равномерной асимптотики интеграла вида (11.1). Его основными этапами являются а)выделение критических точек б)вь1бор эталонного интеграла, обладаюшего теми же и сходно расположенными критическими точками в)регулярная замена переменных w = (у), приводящая показатель экспоненты в (11.1) к виду, который имеет этот показатель в эталонном интеграле г)аппроксимация регулярной функции в интеграле по новой переменной з, приводящая к нулевой погрешности во всех критических точках. Этот подход в общем случае приводит, к асимптотическому разложению интеграла (11.1) следующей структуры [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...