Прогиб динамический стержня

Заметим, что для приблизительного вычисления кривизны, как и прогиба, см. формулу (21), нужно знать лишь величину а, т. е. уметь находить период основного тона колебаний балки. Этим обстоятельством можно воспользоваться для определения динамического прогиба непризматических стержней. Вычисление периода основного тона колебаний таких стержней может быть приблизительно выполнено методом Рэлея. Заранее задаемся подходящей формой изгиба, т.е. обращаем нашу балку в систему с одной степенью свободы. Для этой системы составляем выражение потенциальной энергии и живой силы. После этого вычисление частоты и периода колебаний может быть выполнено без затруднений. Найденный этим приближенным способом период колебаний всегда будет несколько меньше истинной величины периода основного тона колебаний балки. [c.171]

На рис. В.З показан стержень, лежащий на упругом основании, ио которому движется сила P t) (или масса, на которую действует сила). Интерес представляет определение прогибов стержня и возникающих в нем напряжений. Подобные задачи возникают при исследовании скоростного движения железнодорожного транспорта. В настоящее время разрабатываются проекты движения поездов при скоростях до 500 км/ч, поэтому вопрос о динамических эффектах, возникающих при движении поезда. [c.4]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

На этом весьма простом положении построены некоторые методы определения собственной частоты поперечных колебаний стержня. Оказывается, что для определения низших частот собственных колебаний в некоторых случаях достаточно приближенно определить форму колебаний, причем кривая прогибов должна удовлетворять хотя бы наиболее важным граничным условиям. Эти условия бывают двух видов геометрические и динамические. Геометрические условия отражают способы закрепления концов стержня (шарнирное опирание, защемление и т. п.), динамические условия учитывают силы и моменты, которые действуют на концах во время колебаний. Наибольшее значение имеют геометрические условия. [c.70]

Такая система дифференциальных уравнений особенно часто встречается при исследовании динамической устойчивости стержневых конструкций, если поперечный прогиб стержня представить в виде разложения в ряд по формам свободных колебаний и сохранить в этом ряде лишь два первых члена. Определение параметров проводится по приведенной выше методике. Предположим, что Xi i) и %2 t) — стационарные случайные функции времени с известными корреляционными функциями W и взаимной [c.215]

Если J (s) я F (s) не постоянны по длине стержня, то для стержней с распределенной массой в общем случае применяется приближенный метод, аналогичный указанному для стержней с сосредоточенными массами. Намечают систему приближенных форм колебаний. различных порядков, удовлетворяющих граничным условиям, и определяют соответствующие динамические нагрузки, умножая массы на соответствующие ординаты, а затем динамические прогибы. Между формой собственных колебаний -го порядка и намечаемой кривой ч-го порядка должно соблюдаться условие ортогональности [c.402]

Если под, V понимают полный безразмерный прогиб стержня, то его можно представить в виде и = Уо + и, где Uq — прогиб, вызванный статически приложенными силами ф, и — динамический прогиб, вызванный силами ql или, при свободных колебаниях, отклонением от состояния равновесия. [c.134]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

В своей работе по теории тонких стержней Томсон дает подробное изложение динамической аналогии Кирхгоффа (стр. 307) и пользуется ею для вычисления перемещений в винтовых пружинах. Развивая теорию изгиба тонких пластинок, он простым способом разъясняет, почему элементарная теория Кирхгоффа дает достаточно точные результаты лишь в том случае, если прогибы малы в сравнении с толщиной пластинки. Весьма поучительные соображения приводятся им по вопросу о граничных условиях. Уже Кирхгофф показал, что для контура пластинки должны [c.319]

Чтобы оценить влияние массы стержня на динамические прогибы, мы исследуем вопрос о собственных колебаниях стержня, лежащего на упругом основании, и показываем, что период этих колебаний в целом ряде случаев мал по сравнению с периодом вынуждающих колебания сил, и в таком случае собственные колебания рельса не имеют практического значения. [c.322]

Сравнивая этот результат с динамическим прогибом стержня (6), находим, что формы изгиба в этих двух случаях отличаются лишь тем, что вместо коэффициента жесткости k, который мы берем при вычислении статического прогиба, нужно брать при подсчете динамических прогибов величину [c.362]

Динамический эффект сказывается как бы в уменьшении коэффициента жесткости упругого основания, и так как задача статики для стержня, лежащего на сплошном упругом основании, решается без всяких затруднений, то и форма изгиба для вынужденных колебаний, представленных бесконечным рядом (6), легко может быть дана в замкнутой форме. Все сказанное относится, конечно, и к тому случаю, когда длина стержня обратится в бесконечность. При этом статический прогиб стержня выражается так [c.362]

На рис. 5.62 а, б показаны прогибы в центре стержня и продольные перемещения на правом краю несущих слоев в зависимости от времени. Номера кривых без штрихов соответствуют перемещениям второго слоя к — 2), со штрихами — первого слоя к = 1) при различных по форме нагрузках 1 — выпуклая параболическая с амплитудой Qq = 1,Бдо, —прямоугольная при до = 5,5 МПа, 3 — параболическая qq. Сравнение перемещений по кривым 2 и 3, вычисленных при одинаковой максимальной интенсивности qq, показывает, что прямоугольная динамическая нагрузка вызывает больший прогиб. [c.281]

Если в полученном решении положим у = О и wi = с, придем к известному выражению (81) для статического изгиба стержня, лежащего на упругом основании, сосредоточенной силой Р. Динамический прогиб отличается от статического тем, что в знаменатель каждого члена ряда (е) входит добавочный член [c.348]

Изучению этих колебаний посвящен ряд работ Сен-Венана Сен-Венан исходил из предположения, что удар совершенно не упругий, ударяющий груз в момент удара сообщает свою скорость соответствующему поперечному сечению стержня и в дальнейшем, по крайней мере в течение полупериода основных колебаний стержня, остается со стержнем в соприкасании. Таким образом, вопрос об ударе сводится к задаче о колебаниях стержня с прикрепленным к нему в месте удара грузом. Причем предполагается, что в начальный момент весь стержень находится в покое и лишь сечение, скрепленное с ударяющим грузом, обладает скоростью, равной скорости ударяющего груза. Колебания эти могут быть найдены таким же способом, как при продольных колебаниях стержня с подвешенным к нему грузом. В результате своих исследований Сен-Венан пришел к заключению, что второе приближение (Ь) с большой точностью дает величину наибольшего динамического прогиба. [c.359]

НИИ отклоненный, стержень начнет колебаться (без учета сил трения) с постоянной амплитудой, в динамически неустойчивом состоянии прогибы будут неограниченно возрастать со временем. В динамическом анализе имеет значение не только распределение жесткостей, но и масса стержня. [c.412]

Различия в характере колебаний при импульсном д и ( ) и динамическом (2) воздействиях видны из рис. 13. При одинаковой частоте в первом случае цикл колебаний симметричен, во втором — отнулевой. Прогибы рассчитаны при нагрузках, распределенных по половине стержня (6 = 0,5). [c.271]

Под здесь следует понимать статическую деформацию (укорочение, прогиб), вызванную статическим действием нагрузки Р. Из формулы (199) следует, что динамический коэффициент тем меньше, чем больше 8(.т> т. е. чем меньше жесткость стержня, тем более он податлив упругому деформированию. [c.292]

В предлагаемых мащиностроительными заводами эскизах фундаментов, которые служат в качестве предварительного задания при разработке конструкции фундамент , вышеизложенные основные строительные требования учитываются в большинстве случаев недостаточно. Поэтому при детальной разработке проекта размеры строительных конструкций зачастую приходится изменять. Эти изменения производятся в основном по результатам динамического расчета с целью получения оптимальных собственных частот колебаний, так как для восприятия веса оборудования и динамических сил первоначальные размеры бывают, как правило, достаточны. В формулах для определения собственных частот упругое изменение длины (при колебаниях в направлении оси стержня) и прогиб (при колебаниях поперек оси стержня) от собственного веса находятся под знаком квадратного корня, вследствие чего для за.метного изменения частоты колебаний требуется значительное изменение размеров элементов конструкции. Но эффективное изменение размеров бетонных элементов зачастую наталкивается на монтажные трудности (потребность в месте для трубопроводов и т.д.). Необходимы переговоры между строителями и машиностроителями для возможно более полного удовлетворения требований обеих сторон. Повышением или снижением процента армирования железобетонных элементов собственные частоты можно изменить лишь незначительно. [c.251]

В этом параграфе рассмотрим динамические прогибы свободно опертого стержня при поперечных колебаниях, обусловленных распределенной нагрузкой Q х, 1), сосредоточенной силой Рх (О или сосредоточенным моментом М- 1), приложенным в точке х = х (рис. 5.19). Как уже указывалось выше (см. п. 5.9), для первых двух случаев нагружения не требуется получать общих выражений, описывающих неустановившееся поведение стержня. Из выражения [c.390]

Из выражения (5.126) можно найти динамические прогибы, вызываемые изменяющимся по закону синуса изгибающим моментом Aii = Л1 sin < )t, приложенным на левом х = 0) конце стержня. Следуя приведенным выше рассуждениям, найдем [c.395]

Этот быстросходящийся ряд описывает статический прогиб стержня при действии-равномерно распределенной нагрузки sin oi. Положив X = //2, найдем выражение для динамического прогиба в середине пролета стержня [c.395]

Определить динамические прогибы свободно опертого стержня, возникающие при внезапном приложении в середине его пролета силы Р. [c.396]

С помощью подхода, основанного на рассмотрении возможной работы, получить общее выражение для динамических прогибов стержня при действии распределенного изгибающего момента интенсивностью М (х, t). Затем найти решение для случая свободно опертого стержня. [c.396]

Предположим, что изменяющаяся во времени сила (см. рис. 5.20) прикладывается в середине пролета стержня и что требуется вычислить динамический прогиб в точке приложения нагрузки при установившихся колебаниях. Тогда, учитывая первое слагаемое в выражении (5.131), имеем [c.398]

Определить динамические прогибы при установившихся вынужденных колебаниях консольного стержня, к незакрепленному концу которого приложена поперечная сила Р sin (ut. [c.398]

Пример. Предположим, что имеется стержень, свободно опертый на левом конце и защемленный на правом. Записать выражение для динамических прогибов стержня, вызванных заданным, параллельным оси у, перемещением g (t) левой опоры стержня. [c.402]

Определить динамические прогибы свободно опертого стержня, обусловленные перемещениями его левой опоры, изменяющимися во времени по гармоническому закону g] (/) = г/i sin Ш (см. рис. 5.21, а). [c.403]

Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с жестко защемленными концами, обусловленных угловыми перемещениями правой опоры, заданными в виде gi = 64 sin at (см. рис. 5.22, г), если угол 64 мал. [c.403]

Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с жестко защемленным левым концом и свободно опертым правым, обусловленные перемещениями правой опоры, заданными в виде gз (1) = г/з (///3) (рис. 5.24, в). [c.404]

С другой стороны, влияние этой силы на статические прогибы стержня, на который действует нагрузка Р, эквивалентно влиянию скорости движущейся силы Р на динамические прогибы (г) при вынужденных колебаниях стержня. [c.406]

Интересно отметить, Что свое максимальное значение Динамический прогиб приобретает в момент, когда сила Р достигает противоположного конца балки. В этот момент прогиб в точке приложения силы Р равен нулю, поэтому работа, совершаемая этой силой при движении по стержню, очевидно, также равна нулю. Для того чтобы выяснить источник энергии, накопленной в колеблющемся стержне при движении по ней силы Р, предположим, что трение скольжения отсутствует и что стержень при изгибе статической силой Р дает составляющую направленную по нормали к упругой кривой (рис. 5.25, б). Из условия равновесия следует, что при этом должна возникать горизонтальная сила Р ду дх). Работа, совершаемая этой силой при ее передвижении по стержню, [c.407]

Благодаря тому, что в действительности интервал времени I = //о велик по сравнению с периодом собственных колебаний, максимальный динамический прогиб, обусловленный периодически изменяющейся силой, будет во много раз большим, чем прогиб создаваемый той же силой, приложенной статически в середине пролета стержня. [c.409]

Если упругие опоры, препятствующие свободному перемещению в поперечном направлении, распределены непрерывным образом по длине стержня, имеет место задача о стержне на сплошном упругом основании. На рис. 5.28 показан такой стержень, для которого упругое основание представляется в виде большого числа близко расположенных пружин. Будем называть коэффициентом постели отнесенную к единице длины стержня силу, необходимую для создания равного единице прогиба стержня, лежащего на упругом основании. При поперечных колебаниях стержня дифференциальное уравнение динамического равновесия сил, действующих на малый элемент dx, можно представить в форме [c.413]

Р sin oi приложена на расстоянии % от левой опоры свободно опертого стержня, лежащего на сплошном упругом основании. Определить динамические прогибы стержня. [c.414]

В работе [1.18] (1969) исследовались методом конечных разностей динамические прогибы шарнирно опертого стержня при продольном ударе по его торцу. Исследование проведено в геометрически нелинейной постановке. Из условия равновесия элемента записаны с учетом начальной погиби, деформации сдвига и инерции вращения три связанных гиперболических нелинейных уравнения относительно продоль- [c.76]

В процессе выпучивания упругого стержня и упругой цилиндрической оболочки при продольном ударе происходит избирательное усиление различных составляющих начального прогиба, так что после некоторого переходного процесса форма выпучивания определяется действующей нагрузкой и не зависит от вида начальных неправильностей. При других видах нагружения поведение в значительной степени определяется начапьньши неправильностями. Методика определения значения начального прогиба, начиная с которого развитие динамических прогибов резко меняет темп, приведена в работе [37]. [c.512]

Н. П. Петровым для оценки влияния массы рельса и шпалы на величину динамического прогиба. Дальнейшее исследование колебаний балки под действием катящегося груза принадлежит А. Н. Крылову ). Вопрос о колебаниях, возникающих в рельсах, рассматривает А. Фламах ), Он исследует колебания участка рельса между двумя колесами. Принимая этот участок за балку с заделанными концами, А. Фламах показывает, что основной тон для колебаний этой балки имеет весьма малый период, но не останавливается на выяснении влияния этих колебаний на величину напряжений. Ниже мы исследуем вопрос о колебаниях рельса как стержня, лежащего на сплошном упругом основании. Сравнение периода основного тона собственных колебаний рельса с периодом вынуждающих колебания сил позволяет заключить, что вибрации рельса не влияют существенным образом на величину динамических напряжений, вызываемых избыточными противовесами. [c.336]

Вставляя в выражение прогиба (8) вместо k и а величины ki= =k—(x) plg и а = УkJiEJ, мы получим динамический прогиб бесконечно длинного стержня, лежащего на сплошном упругом основании, под действием переменной силы Р=Рй sin at. [c.363]

Следовательно, динамический эффект движущейся силы эквивалентен действию продольной сжимающей силы, определяемой равенством (13). Это заключение, конечно, будет сохранять свою силу и в том случае, если мы будем беспредельно увеличивать длину нашего стержня. Динамический прогиб (11) для этого стержня бесконечной длины будет такой же, как для балки на сплошном упругом основании, сжимаемой силами S и изгибаемой силой Р. Уравнение изогнутой оси в этом случае легко представить в замкнутой форме. В самом деле, соответствующее диф ренциальное уравнение равновесия напишется так [c.367]

Этот способ использован Релеем ) при приближенном определении самой низкой частоты поперечных колебаний стержня. Он исходил при этом из общей теоремы о том, 410 частота колебания динамической системы при смещениях частного вида пе может быть меньше, чем наиболее низкая частота нормальных колебаний системы. Он показал, что для стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом, пол/чается хорошее приближенное значение частоты прн следующем допущении при колебании смещение стержня будет таким же, как при статическом прогибе под действием поперечной силы, приложенной со стороны свободного конца на расстоянии, равном 1/4 длины стержня. Этот метод недавно был предметом некоторой дискуссии ). Была показана его применимость к определению низшей частоты поперечных колебаний стержня неодинакового сечения ). Далее, было показано, что при применении метода последовательных приближений для определения собственных функций и соответствующих частот в задачах о стержнях переменного сечения можно пользоваться решением Релея, как первым приближением ). [c.461]

Определить динамические прогибы на незащемленном конце консольного стержня, рассматриваемого в предыдущей задаче. [c.398]

Опрел елить динамические прогибы в середине пролета стержня, рассмотренного в предыдущей задаче, если заданы следующие числовые величины [c.399]

Влияние инерции вращения и сдвига на динамическую устойчивость стержня, сжатого периодической во времени силой, исследо-валось А. П. Черкасовой [1.86] (1961). В уравнении движения четвертая производная от прогиба по времени не учитывалась. Показано, что учет этих эффектов ухудшает динамическую устойчивость стержня. Для составных стержней их влияние существенно, для сплошных — очень мало и может в практических расчетах не учитываться. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...