Векторы базиса ковариантные

Отсюда следует, что векторы базиса преобразуются с помош.ью матриц прямого преобразования. Такие величины называются ковариантными. Их признаком является нижнее расположение [c.23]

Как определяются ковариантные векторы базиса [c.25]

Система координат л , называется ортогональной, если векторы базиса ортогональны между собой в каждой точке поверхности Необходимым и достаточным условием ортогональности системы координат д , служит выполнение равенства = 0. Для ортогональных систем координат соответствующие векторы ковариантного и контравариантного базисов могут различаться только длинами [c.18]

Последнее равенство справедливо, так как произведения g Hg g являются соответственно контравариантной и ковариантной составляющими вектора базиса g в системе Х , g g = (g%, g( g = (sT- Величина (g ) (g )a как скалярное произведение векторов базиса равна метрическому тензору. Полученное выше тождество показывает, что определенный (4.24) тензор ортогональный. [c.35]

Эти векторы будут касательными к кривым д Скалярные произведения векторов базиса образуют ковариантный метрический тензор [c.198]

Ковариантные векторы базиса касательны к поверхности [c.201]

Итак, с помощью произвольного тензора второго ранга х можно ввести контравариантные векторы базиса аЧ Заметим, что если ковариантные векторы базиса а зависели только от системы координат, то контравариантные векторы базиса э зависят и от системы координат, и от тензора х, с помощью которого они образованы. [c.56]

Очевидно, для тензора g наряду с ковариантными компонентами gii можно ввести контравариантные компоненты g таким же способом, как для фигурировавшего ранее тензора х. При этом необходимо только, чтобы Det Ц gij Ц = Ь 0. С помощью g можно ввести контравариантные векторы базиса э [c.59]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Как видно, прямое преобразование ковариантных компонент производится при посредстве коэффициентов прямого преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина ковариантный . [c.52]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Система векторов вп называется ковариантным базисом координатной системы. [c.13]

Вектор напряжения Ть. может быть представлен тремя составляющими по отношению к векторам ковариантного базиса вт, т. е. [c.36]

Если обозначить ортогональные проекции вектора а на направления единичных векторов локального базиса через a(s), называемые физическими компонентами а, то между ними, контравариантными и ковариантными компонентами вектора имеют место соотношения [c.417]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

А и Af, А , Af —вектор и его ковариантные (во взаимном базисе), контра-вариантные (в основном базисе), физические компоненты. [c.9]

Как преобразуются векторы основного базиса Что такое ковариантные величины Выведите формулу (1.22). [c.25]

Л = MS + МС + MD == Л е, + Л + ЛЗв Л е . (1.27) Аналогичное построение можно сделать во взаимном базисе и найти ковариантные компоненты Л вектора А. Тогда [c.26]

Это — зависимости Коши (1.4.5), выражающие контра- и ковариантные компоненты в базисах К-объема вектора напряжения [c.37]

В последующем требуется тщательное различение операций в ц- и в V-объемах действия и величины, относящиеся к 1/-объ-ему, указываются знаком тильды ( ). Например, вектор может быть задан его компонентами в базисах v- и 1/-объемов его ковариантные и контравариантные компоненты в векторном базисе и-объема обозначаются, как обычно, и а , но в векторном базисе 1/-объема — через а , а [c.70]

Величины а называют контравариантными, Us — ковариантны-ми компонентами а. Они равны произведениям проекций вектора а на векторы взаимного и соответственно основного базисов на модули этих векторов [c.871]

Для выяснения механического смысла компонент других тензоров введем ковариантные и контравариантные базисные векторы ёг и ё материального текущего базиса с исключенным поворотом [c.50]

Таким образом, ковариантные компоненты преобразуются с помощью той же матрицы, что и базисные векторы е,-, контравариантные —с помощью обратной. Это обстоятельство и объясняет название ковариантные в буквальном переводе означает сопреобразующиеся, контравариантные —противопре-образующиеся (по отношению к закону преобразования векторов базиса е,-). [c.314]

Кривые = onst и onst образуют на криволинейную систему координат Л1 , /С=1,2. Ковариантные векторы базиса этой системы имеют следующий вид [c.201]

Все прочие вида компонент называются смешанными компонентами тензора Ф, причем /з раз ковариантными и раз контравариант-ными, если в их определение взсодит р векторов базиса и векторов кобазиса. При этом вазвны не только сами числа и , но и расположение вектбров. Тензор ранга г имеет всего различных ви ов компонент. Число компонент данного вида (наприме]р, ковариантных) равно тг . [c.14]

Величины, преобразующиеся аналогич-0 ковариантных и контра- дд векторам базиса э, по (4.5), называют-вариантных величинах ковариантными. Величины, преобра- [c.51]

Векторы базиса э., преобразующиеся по Формулы преобразования (4.5), носят название ковариантных век-контравариантных некто- оров базиса. Пусть имеем некоторый ров базиса тепзор второго ранга и = и в [c.55]

Зная контравариантные векторы базиса компонен- Qi MOJKHO найти ковариантные векторы [c.56]

Видно, что у контравариантных компонент Л вектора 4, как и у контравариантных векторов базиса а индекс опускаетс5 с помощью ковариантных компонент тензора х (4.19) и (4.17). Следовательно, А1 преобразуются так же, как и а., т. е. кова-риантным образом [c.57]

Ковариантное дифферен- произвольной криволинейной системе цирование компонент тен- координат г , г векторы базиса Эi зоров и векторов и его переменны, и поэтому нужно написать свойства [c.79]

Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контра-вариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по-разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или кова-риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариант-ные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е -ковариант-ный вектор, е -контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. [c.132]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Поверхность отнесена к криволинейной системе координат и , и задана радиусом-вектором r(ui,u ). Векторы образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть п. Метрический ковариантный тензор есть кривизна поверхности задается тензором bij = r yra = = f itij. Любой вектор может быть задан в локальном базисе [c.423]

На плоскости для нахождения контраварианткых компонент вектора параллельно векторам основного базиса проводим прямые NP и NQ (рис. 6). Для нахождения ковариантных компонент вектора проводим прямые NR и NS, параллелБные векторам взаимного базиса. [c.26]

В прямоугольной декартовой системе координат основной и взаимный базисы совпадают, а потому совпадают контраварнант-ные и ковариантные компоненты вектора (рис. 8) [c.27]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...