Тензоры в декартовом базисе

Тензоры в декартовом базисе [c.308]

Определенная в 1.1 операция свертки тензора в декартовом базисе соответствует двукратной свертке тензора Н (р 2) с диадой когда вектор е-, умножается скалярно на а —на е,у. [c.316]

Следующий концентр связан с теорией упругости. В гл. 7 сообщаются элементы тензорного анализа в виде сводки основных фактов и определений. Автору представляется, что для практических целей достаточно (и вполне строго) вести изложение общих теорем в прямоугольной декартовой системе координат. В 7.8, где идет речь о криволинейных координатах, говорится о задании тензора в произвольном базисе, но эта теория дальнейшего развития не находит. Что касается тензорного языка, который применен в гл. 7 и последующих главах, он совершенно элементарен. Для университетов он привычен и упрощен по сравнению с тем, что дается, скажем, в курсе дифференциальной геометрии. Для студента втуза привыкнуть к этому языку очень нетрудно. Автор вспоминает, как в начале тридцатых годов среди преподавателей теоретической механики шли ожесточенные споры о том, следует ли излагать механику векторно или же в координатах. Любопытно отметить, что акад. А. Н. Крылов был яростным и убежденным противником векторной символики, которая вводилась Московской школой. Автор получил воспитание в этой школе, поэтому он особенно рад торжеству векторного изложения теоретической механики и надеется, что в учебной литературе но механике твердого тела тензорный язык будет применяться широко и на всех уровнях. [c.13]

Эта матрица постоянна в пространстве, и векторный базис также является постоянным в декартовой системе таким образом, т — постоянный тензор и [c.84]

Для того чтобы разобраться, какими компонентами характеризуются (в базисе е,-) тензоры второго и более высоких рангов, вернемся на время к случаю декартова базиса й,- и построим разложение тензора по некоторому базису, аналогичное разложению вектора по базису (а — u ki). [c.314]

Для упрощения доказательства в каждой точке области вместо базисных векторов декартовой системы отсчета используем тройку ортонормальных базисных векторов, направленных вдоль главных осей второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S. Далее предполагаем, что компоненты всех тензоров определяются в этом базисе, так что S12 = >513 = S23 — 0. Подставляя (4.35), (4.36) в (4.34), получаем [c.148]

В ортонормальном базисе / , г = 1, 2, 3 (векторы базиса взаимно перпендикулярны и нормированы , т. е. приведены к единичной длине) компоненты тензора напряжения, называемые декартовыми, обозначены через р1/. В силу симметрии Р1/ = (г, / = 1, 2, 3). Тогда в произвольном базисе Э,- с компонентами неединичной длины комноненты тензора напряжения даются соотношениями [c.341]

Поскольку рассматриваемая система координат декартова, векторы базиса всюду одинаковы, так что матрица в соотношении (3-6.4) совпадает с матрицей компонент (любого типа) тензора F (см. уравнение 3-1.41)) [c.123]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

В прямоугольной декартовой системе координат основной и взаимный базисы совпадают, матрицы (gij) и (g i) единичны, поэтому нет разницы между ковариантными, контравариантными и смешанными компонентами тензора к нет смысла в верхнем и нижнем написании индексов. Все индексы можно писать только внизу. Матрица компонент тензора второго ранга в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид (1.64). [c.37]

Здесь векторы представлены в базисе г, п, е 1 = г — орт касательной, я — орт главной нормали (по радиусу к центру кольца), к — кривизна, е — орт декартовой оси г, перпендикулярной плоскости кольца. Направления г, п, считаются главными для тензоров а, Ь, / равны нулю е и с. [c.241]

Различные представления. В обычном пространстве при повороте системы декартовых координат на какой-то угол компоненты векторов и тензоров изменяются. В гильбертовом пространстве аналогичная процедура называется изменением представления или базиса. [c.52]

В том частном случае, когда поле скоростей определяется соотношениями (V. 1-8), базис, по отношению к которому тензор N имеет вид (V. 1-7), представляет собой естественный базис фиксированной декартовой системы координат, и соотношения (V. 1-14) допускают интерпретацию в терминах декартовых координат. В еще более частном случае, когда [c.213]

Таким образом, используя наряду с основным базисом взаимный базис нам удалось выразить скалярный инвариант вектора через его коварианткые и контравариантные компоненты, не привлекая компоненты метрического тензора в форме, аналогичной выражению инварианта в прямоугольной декартовой системе координат [c.29]

Представление тензора напряжений. В 1, 2 этой главы тензор напряжений Т задавался в деформированной среде (в 1/-объеме) его компонентами, далее обозначаемыми t ah), в декартовой системе координат OX1X2XS. Переходу к материальным координатам <7 и к векторному базису / соответствуют диадные представления тензора [c.37]

Преобразования базиса в линейном пространстве приводят к необходимости изучения общих свойств тенаоров. При этом рассматриваются наиболее простые тензор-ы —тензоры второй валентности в декартовых координатах. Основное внимание уделяется соответствующим матричным соотношениям, позв/аляющим наглядно записывать уравнения ме-хаиикй сплошных сред. [c.16]

Соглашением о суммировании часто пользуются в связи с представлением векторов и тензоров в символических обозначениях через базисные векторы, снабженные индексами. Так, если декартовы оси и единичные векторы базиса, изображенные на рис. 1.5, переобозначить, как показано на рис. 1.8, то произвольный вектор V можно записать в виде [c.22]

Мы ввели тензоры как некие инвариантные объекты, проявляющиеся в каждом базисе в виде совокупности чисел. Такое изложение характерно для большинства руководств по тензорному исчислению. Индексная запись конструктивна и проста, если нам достаточно декартовых координат. Но для теории упругости этого мало, она требует более мощного и совершенного аппарата прямого тензорного исчисления, оперирующего лишь с инвариантными безындексными объектами. [c.14]

В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к изучению поля—сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в различных точках трехмерного евклидова пространства 3, В нем возможно задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой систем OXYZ. [c.466]

Вектор скорости частицы у чаще задается в эйлер0В01М пространстве в декартовых координатах х в базисе e его компоненты обозначаются v (x, 1), или, ч о то же 1), и Ком поненты ьц тензора скоростей деформаций V ( 6, 7) имеют выражения [c.115]

Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса = г , векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = к/ Yikk (не суммировать). Тогда физические компоненты вектора или тензора, т. в. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом [c.232]

ВОЛЬНО, второй после этого вполне определяется деформацией. Следовательно, одни из уравнений (5.63) удовлетворяются автоматически в результате выбора коордипатпого базиса в евклидовом пространстве, а вторые можно рассматривать как уравнения для компонент тензора деформаций. Эти уравнения носят пазвание уравнений совместности деформаций. Их можно легко выписать в развернутом виде с помощью формул (5.61 ). В частности, если в актуальном деформированном состоянии выбрана прямолинейная декартова (вообш,е не ортогональная) система координат, то = О, поэтому уравнения совмест- [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...