Базис векторного пространства

Далее, если Vj линейно независимы и покрывают все пространство, то это множество векторов называется базисом векторного пространства. (Докажите, что п любых независимых п-компонентных векторов являются базисом я-мерного векторного пространства.) [c.437]

Базис векторного пространства 437 Буфер выходной 199 Буферизация двойная 107 [c.564]

Напомним, что векторы образуют базис векторного пространства решений уравнения (Ь) в критической точке. [c.117]

Отметим, что указанные выше свойства — аксиомы не используют понятие системы координат. Базисом п-мерного линейного (векторного) пространства называется совокупность элементов ёг, ., ёп этого пространства, с помощью которого любой вектор а однозначно можно представить в виде [c.19]

Векторный базис н координаты векторов. Система линейно независимых векторов Si образует базис пространства. Так, например, базис трехмерного пространства имеет три независимых вектора. Любой вектор С в трехмерном пространстве может быть представлен в виде [c.290]

В п-мерном векторной пространстве п линейно независимых векторов Х< образуют координатную систему, или базис пространства. Каждый вектор А такого пространства может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов Х<, причем единственным образом [c.206]

Группа А(п) допускает точное линейное представление (см. Представление группы) в векторном пространстве размерности п. Оператор представления переводит я в х = Т х так что в произвольном фиксиров. базисе 1, е2,...,е представление Та элемента 8 действует след, образом [c.575]

Все Т.-ф. вида (2) одного и того же порядка к составляют векторное пространство размерности к. Базис этого пространства можно записать в виде [c.111]

Смысл этих матриц ясен из векторного метода [А ] есть набор базисных векторов (столбцы матрицы), [/С] —метрическая матрица этого базиса в пространстве С — набор работ внешних сил на базисных перемещениях строчки матрицы [Б ] позволяют вычислять работу напряжений, отвечающих базисным векторам, на деформациях [я]. [c.222]

Кватернионы. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Любой элемент этого пространства Л в каком-либо базисе г о, i, 2, имеет вид [c.32]

В последующем изложении мы будем обозначать систему функций, образующих неприводимое линейное векторное пространство, являющееся базисом неприводимого представлений группы , как [c.56]

Тогда в неприводимом линейном векторном пространстве 2( ) ( ) имеются з-1т) векторов, образующих базис представления [c.80]

Векторное пространство (54.17) из блоховских векторов (54.18) является базисом представления [c.139]

В нескольких следующих параграфах будет показано, что благодаря пространственной симметрии в конфигурационном пространстве решения уравнений движения (67.19) строятся в неприводимых векторных пространствах. Каждое такое неприводимое векторное пространство является базисом (s-/m)-мерного неприводимого представления и связано с определенной собственной частотой уравнения (67.19). [c.189]

Полный набор собственных векторов, определяющих линейное векторное пространство и являющихся базисом для можно взять в виде [c.241]

Клейнман [125] привел некоторые примеры расчетов деполяризации комбинационного рассеяния. Его результаты основываются на коэффициентах приведения, полученных методами, эквивалентными методу частичных линейных векторных пространств. Но в некоторых случаях выводы Клейнмана расходятся с результатами, получаемыми с использованием полного базиса (метод полной группы). По-видимому, Клейнман не проверил полноту используемого им базиса, так что его работа ошибочна. Напомним о необходимой осторожности, обсуждавшейся в связи с уравнением (П.бЦ. [c.221]

ДЛЯ ненулевого корневого вектора корни а называются положительными (а > 0) или отрицательными (а < 0) и их совокупности обозначаются Иначе говоря, корень а называется положительным, а > О, если первый из ненулевых коэффициентов // положителен. Нетрудно показать, что матрица Картана непосредственно выражается через билинейную симметричную форму на векторном пространстве М (над полем рациональных чисел) с базисом из простых корней по формуле [c.28]

Векторы выделяются полужирным шрифтом. Символ а Ь обозначает скалярное произведение векторов а и Ь. Символ n" для любого п = = 1, 2, 3,... обозначает п-мерное евклидово аффинное векторное пространство. Символ Л"(а) обозначает пространство fi" с общим вектором а. Координатное представление вектора а в ортогональном базисе записывается равенством а = (а . ... а") в этом случае вместо R (a) пишется также / "(а, . ... а ). Конец доказательства обозначается знаком. [c.13]

Векторные пространства, базисы. Все векторные пространства, рассматриваемые в этой книге,— это конечномерные, обычно трехмерные, пространства над полем действительных чисел. Их элементы обозначаются прямыми жирными строчными буквами а, Ь,. .., и, у, а действительные коэффициенты при них обозначаются курсивными светлыми буквами а, Ь, А,. [c.499]

Если (ер 62.....еп) и ( 1.. ... 1 ) —базисы нашего векторного пространства. то множество тензорных произведений [c.504]

Этот базис будет растягивать векторное пространство И)1- к в котором действуют относящиеся к t-й степени свободы one раторы а+, a , q ,. .. [c.404]

Подм1южество В С 5 называется базисом (или системой простых корней), если 1) В — базис векторного пространства V, [c.348]

Теории механического поведения сплошных сред строятся на базисе понятий пространства. Линейным (обозначается L) пространством называется множество элементов любой природы, в которое введены операции сложения и умножения на число, подчиняющееся обычным распределительному, переместительному и сочетательному законам [11] — [14]. В линейном векторном пространстве элементы называются векторами (обозначаются латинскими буквами—жирный шрифт). [c.308]

Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контра-вариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по-разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или кова-риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариант-ные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е -ковариант-ный вектор, е -контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. [c.132]

Бесконечномерный вектор. Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бесконечно. Следовательно, ортонорми-рованиый базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций. [c.142]

Основные понятия. Если в векторном пространстве А выбран базис X],. . ., Х (т. е. полный набор линейно независимых элементов), то для определения на А структуры Л. а. достаточно задать попарные коммутаторы базисных элементов, т, е. коэф. в ф-ле [X/, X/ ] 1,С -ХТогда ко.ммутаторы произвольных [c.583]

Эщ Эп ,... Эг, порождаемое элементами вида ар. .. х. Пусть ек — базис в пространстве Эщ, fi — азис в иростран- >-, . стве 0п, .., hj— базис в пространстве Эг. Размерность пространства Эт 3п ..., Эг равна произвед.ению рдзмерностей. пе-ремножаем к векторных пространств, а его базис составляют [c.6]

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ. Рассмотрим один общий способ построения линейного оператора, действующего из т-мерного линейного векторного пространства X в п-мерное линейное векторное пространство У [2, 3]. Пусть векторам базиса ей ещ пространства X поставлены в срответствие какие-то векторы fi, %,. .., fm простран- ства Y. Тогда существует и единственен линейный оператор Л, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор 6h в соответствующий вектор fk. [c.33]

Тем самым любое арифметическое пространство с заданным на нем кососкалярным произведением является симплек-тическим пространством и его можно рассматривать, как координатное пространство некоторого абстрактного симплектического пространства относительно симплектического базиса Е2т- Путем фиксирования симплектического базиса в абстрактном векторном пространстве устанавливается изоморфизм этого пространства с симплектическим арифметическим пространством [c.308]

Теория М. тесно связана с теорией линейных преобразований векторных пространств. Преобразование (отображение) Л векторного пространства Е в векторное пространство Е наз. линейным, еслп АСкх -)- 1х") = ХАх -(- iAx" для любых элементов X и ж" из Еу и любых чисел X и р. Если в пространствах El и Е-2 выбраны базисы п х = (х , Жз, у Ах = (j/i, 2,. .., Уп), то линейное преобразование записывается так у = 4 kn n, [c.157]

Такое унитарное лу>собразоваиие в гильбертовом иространстве представляет собой обобщение поворота системы координаг в конечномерном действительном векторном пространстве. () к> переводит ортогональный базис (ф. ) в ортогональный же [c.192]

Ясно, что для заданного k имеется Зг ткких блоховских векторов. Используя их в качестве базиса, мы можем построить Зг-мерное представление малой" группы T[ k) = k)определенной в (39.9). Следовательно, если является элементом k) % k), то можно найти результат применения этого оператора к сумме (104.2). Так как Зг сумм (104.2) образуют полное линейное векторное пространство для всех нормальных колебаний с волновым вектором к, а также являются полными по отношению ко всем возможным единичным смещениям, то результатом действия 11 на такую сумму будет возникновение линейной комбинации всех Зг величин (104.2). Таким способом мы получим представление базисом которого являются единичные декартовы смещения. Это представление также называют полным представлением. Когда преобразовано в прямую сумму допустимых неприводимых представлений группы (к)/Х к), мы можем найти специальные представления, возникающие в задаче о нормальных колебаниях, т. е. симметрию всех имеющихся нормальных колебаний. [c.292]

Если индексы к и относятся к атомам, занимающим одинаковое положение в элементарной ячейке, т. е. относятся к одной трансляционной решетке Бравэ в кристалле, построенном из нескольких эквивалентных взаимопроникающих решеток Бравэ, 70 (ЛХ)р(кфр й) = (ЛХ)р( й). Следовательно, в (104.12) содержится отличный от нуля вклад в характер представления, базисом которого является Зг-мёрное векторное пространство (104.3). Из (104.11) ясно, что мы сразу получим характер (след) представленля )( > Для операции ф , ом равен [c.293]

В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы , т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разлол<ении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы , что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторною пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп. [c.350]

Далее мы обращаемся к физической проблеме, представляющей для нас основной интерес, — к динамике решетки. При обычном излож нии этого вопроса [18, 32] симметрия кристалла рассматривается отдельно. Мы же развиваем здесь теорию (т. 1, 66—86), основанную на подходе, в котором симметрия тесно переплетена с физикой. Собственные векторы динамического уравнения образуют неприводимые линейные векторные пространства, т. е. базисы неприводимых представлений. Читатель, способный оценить значение этого простого результата и вытекающих из него следствий, понимает суть применения теории групп в физике. Впервые этот результат был получен Вигнером [166] для более простой проблемы молекулярных колебаний, но вскоре был обобщен Зейтцем и др. [167] на случай кристаллов. [c.256]

Число г означает размерность и как векторного пространства. Поэтому в существует базис из г линейно независи.мых операторов (а = 1,. ... г). В силу (9) их ко.ммутаторы должны быть линейными ко.м-бинациями базисных операторов, т е. выполняются соотношения (сумма по 7 =. .., г) [c.319]

Для построенного таким образом векторного пространства размерности можно совершенно так же, как и выше, рассмотреть его линейные отображения в себя. Если М — такой теизор, то его компоненты Л , относительно базнса (01, ег,. .., Ст) можно найти с помощью данных выше определений. При изменении базиса эти компоненты преобразуются следующим образом [c.502]

Если определённому значению энергии соответствует конечное число, например, Н oб тJвeнныx функций (й-крат-ное вырождение), то /г-мерное векторное пространство, принадлежащее собственному значению В, имеет базис щ, из,, и , так что каждое решение уравнения [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...