Введение базисов

Отметим два свойства аппроксимации (13.8). Во-первых, u Xj)= q , т. е. Р являются узловыми значениями функ-и ортогональны, так как там, где отлична от нуля одна, равна нулю другая. Таким образом, введенный базис почти ортогонален . Как станет ясно из дальнейшего изложения, это и обеспечивает ленточную структуру матриц, возникающих в МКЭ. [c.164]

Выражения всех векторов, входящих во все написанные формулы, с помощью введенного базиса i, j, k представляются следующим образом [c.243]

Обобщение метода Бубнова—Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации результата подстановки ряда (38) в уравнение (3) гл. IX по отношению к новой системе функций Х(ь , от которой требуется по крайней мере представительности. Результат разложения по введенному базису можно представить в форме [c.185]

V. 1. Введение базисов. В отличие от ранее принятого обо-,значения в этом Приложении декартовы координаты точки обозначаются йи 2, й з, а вектор-радиус ее — через г [c.878]

До сих пор мы рассматривали тензоры и тензорные операции, не привлекая понятия компонент тензора. С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении векторов, когда наглядно представляли их в виде стрелок в пространстве. С введением векторного базиса е , е , бд компоненты тензора в выбранном базисе можно определить как [c.23]

Остановимся теперь на изложении эффективных методов минимизации функционала F(u). Простейший метод состоит во введении в пространстве V некоторого конечномерного подпространства с базисом фь ф2,. .., флг. Тогда решение будет разыскиваться в виде ряда [c.160]

Здесь введен энергетический тензор напряжений Q — тензор, контравариантные компоненты которого в базисе г., начального у-объема равны контравариантным компонентам тензора напряжений Т в базисе V-объема по (3.6.5) гл. I [c.633]

Для этих условий компоненты телесных тензоров и Yij равны компонентам напряжения и компонентам формы, введенным ранее в главах 2 и 3 и обозначенным через я - и уц, т. е. мы убеждаемся в том, что для любого заданного вмороженного базиса et координатную систему I всегда можно выбрать так, чтобы это утверждение было справедливо. [c.415]

Рассмотрим векторные базисы, соответствующие введенным координатам. Основной и взаимный векторные базисы в отсчет,-ной конфигурации, согласно формуле (6.6) главы I, определяются соотношениями [c.25]

В общем случае введения лагранжевой системы криволинейных координат 0i в конфигурации Sq с базисом gi имеем [c.15]

Рассмотрим введенную выще последовательность конечномерных пространств т 0, с базисами Дискретное решение ф/j определим, исходя из (3.14), как вектор-функцию [c.235]

Более ясное качественное представление о соответствии между классической и квантовой теориями достигается при их изложении в идентичной форме. Такая возможность связана с использованием взамен уравнений Шредингера эквивалентных гейзенберговских уравнений движения для динамических переменных, которые совпадают по форме с классическими уравнениями Гамильтона, отличаясь от них операторным характером и не-коммутативностью канонических импульсов и координат. Еще большее сближение формализма достигается при описании квантовых динамических переменных числовыми функциями классических фазовых переменных Х — (д, р). Это возможно после введения линейного базиса е(Х) в пространстве квантовых динамических переменных на основе представления [c.385]

Здесь изменение базиса учтено введением символов Кристофеля Гар и коэффициентов кривизны Ва, Вар. [c.95]

В некоторых случаях в пространстве наблюдений У между отдельными событиями целесообразно строить несколько границ, выделяя зоны неопределенности, при попадании в которые вектора х(/) принимается решение не о наличии или отсутствии признака, а о необходимости дальнейшего уточнения полученной информации путем изменения базиса пространства наблюдений (например, методом последовательного анализа [74]). При этом уменьшаются ошибки обнаружения события, но увеличивается среднее время обнаружения. Решение о введении дополнительных зон неопределенности и числе таких зон не может быть принято при раздельном решении задач выбора границ и алгоритма их обхода. Совместное решение должно производиться по объединенному критерию математического ожидания приведенных потерь из-за ошибок и задержки обнаружения [c.221]

Введение. Рассмотрим общее решение уравнения Шредингера для частицы в монохроматическом электромагнитном поле. Пусть в некоторый фиксированный момент времени t система функций (г, 1) образует полный ортонормированный базис. Тогда любую функцию Ф(r,t) можно разложить по этому базису [c.45]

Первый поворот выполняется вокруг оси 2 на угол (р (рис. 21.2). Ось ж переходит в новое положение О . Прямую О называют линией узлов. Второй поворот на угол в вокруг оси О переводит ось 2 промежуточного базиса в конечное состояние О г. Третий поворот на угол ф вокруг оси О г приводит к конечной ориентации базиса (рис. 21.3). Характерной особенностью введения углов Эйлера является последовательность (3, 1, 3) индексов осей поворотов. Матрицы А, В, С соответственно равны [c.199]

Выше для наглядности при определении компонент тензора напряжений была применена декартова прямоугольная система координат. Как видно из рас-суждений, это не является ограничением для введения понятия тензора напряжений. Если пользоваться произвольной криволинейной пространственной системой координат (см., например, [7]) с базисными векторами основного базиса и взаимного а (к = 1, 2, 3), так что ком- [c.241]

В 101 было установлено, что удобный способ учета полной группы пространственно-временной симметрии состоит во введении в качестве динамических переменных комплексных нормальных координат Q . так как именно они являются базисом неприводимых представлений группы Таким образом, для учета симметрии кристалла комплексные нормальные координаты являются более удобными. [c.363]

Приведенные примеры показывают, что всякий минимально необходимый базис может быть расширен, т. е. введен базис с увеличенным числом независимых параметров, и тогда возникают дополнительные зависимые. С другой стороны, примеры из кинематики и статики показывают, что трехпараметрический базис в частных задачах может быть сужен. Таким образом, в зависимости от частной задачи МСС базис GS или MKSA бывает целесообразно заменить другим, упрощающим решение задачи или ее формулировку. [c.283]

Итак, при изменении системы координат компоненты тензора меняются согласно (1.65). Но величины /,, /3, /3, вычисленные через компоненты тензора в новой системе координат, будут иметь прежние значения. Обратим внимание на то, что инварианты рассчитывают через смешанные компоненты тензора, что еще раз подверждает целесообразность введения взаимного базиса. [c.45]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Описание напряженного состояния с помощью вмороженных (сопутствующих) векторных координатных базисов широко используется в работах Л. И. Седова и его школы, см,, например, Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физ-матгиз, 1962. (Прим, перев.) [c.77]

Мы рассмотрим сначала один важный методологич<еский вопрос, касающийся современных представлений о пространстве и времени и отражении этих представлений в курсах теоретической механики. Достаточно хорошо известно, что в учебниках по механике, опубликованных в нашей стране, как правило, во введении и историческом очерке развития механики имеется пересказ положений диалектического материализма о том, что пространство и время суть основные формы существования движущейся материи . Но обычно, переходя к изложению фактического материала классической механики и забывая о сказанном ранее, совершенно формально и аксиоматически устанавливают абсолютно неподвижную систему осей координат и вводят понятие об универсальном времени, ритм которого не зависит от движения материального базиса (или наблюдателя ). Воздав в начале курса должное диалектико-материалистическому пониманию природы и покритиковав метафизичность понятий абсолютного пространства и времени, в последующих главах и разделах курса при изложении определений, аксиом, теорем и следствий из них, т. е. при построении здания научной дисциплины, считают вполне разумным ограничиться ньютоновским пониманием пространства и времени ( пространство абсолютно, однородно и изотропно , время универсально и арифметизируемо ). Параллельно с курсом теоретической механики, а иногда несколько раньше, в курсах социально- [c.42]

Как уже было отмечено во введении, использование теоремы Бабине позволяет сделать вывод о том, что индикатриса рассеяния такого покрытия, состоящего из огромного множества хаотически распределенных по поверхности прозрачной подложки непрозрачных шариков одинакового диаметра d, сходна с распределением интенсивности в картине дифракции от круглого отверстия, диаметр которого d — d [21а, с. 162 216, с. 150]. Поэтому подавляющая часть рассеянного света распределяется в области кружка Эйри (подробнее — в гл. 4), радиус которого R, при базисе L, составляет R = Ltgip = Lsiuipi, где (pi определяется из условия d-sin(/ i = 1,22Л. Отсюда имеем R[ = , 22XL/d. Вместе с тем, радиус первого темного кольца в интерференционной картине, формируемой в расположении I, определяется [c.17]

Введение абсолютной температуры Т в кельвинах (К) соотношением Г=2Гкин/3 также является примером расширения базиса MKS вместо Т кин, имеющей размерность джоуля, введен независимый параметр ТК, и потому возник новый параметр — постоянная Больцмана =1,38-10" Дж/К поэтому энтропия единицы массы S, по условию Ts= ThSky имеет размерность квадрата скорости, деленного на К. [c.282]

Как известно, на заре развития механики предлагались в качестве меры механического движения для материальной точки количество движения ти (Декарт) и удвоенная кинетическая энергия (Лейбниц), но эти меры движения являются менее совершенными и менее универсальными, чем величины 81, и 8н-Для дальнейшего оказывается весьма полезной следующая геометрическая интерпретация движения системы. Пусть механическая система точек (или твердое тело) имеет 5 степеней свободы и ее положение относительно системы отсчета (материального базиса) определяется обобщенными координатами ( 1, <72, дг,, де). При движении системы обобщенные координаты будут изменяться, т. е. будут некоторыми функциями времени t. Будем рассматривать совокупность обобщенных координат (< 1, , <7 ) для каждого момента времени как координаты точки в пространстве -измерений. Тогда каждой конфигурации (положению в пространстве) механической системы будет соответствовать точка в -мерном пространстве. Так как по природе реального механического движения обобщенные координаты ( 1,. . ., дз) являются непрерывными функциями времени, то каждому конечному перемещению системы с степенями свободы в трехмерном евклидовом пространстве будет соответствовагь некоторая кривая в -мерном пространстве. Мы будем называть такое -мерное пространство пространством конфигураций, а кривую в этом -мерном пространстве, соответствующую реальному движению системы, — траекторией механической системы (соответственно твердого тела) в пространстве конфигураций. Каждая точка такой траектории в пространстве конфигураций однозначно соответствует некоторому положению в евклидовом пространстве реальной механической системы. Пользуясь введенной терминологией, можно сказать, что для реально осуществляющихся механических движений на истинной траектории в пространстве конфигураций меры движения 8ь и 8ц принимают [c.123]

Пользуясь введенными величинами (П. 7), можно наряду с (П. 2) и (П. 6). установить следующие соотношения между векторами основ-ного и взаимного базисов [c.780]

Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и составляющих той или иной природы (контравариантных, ковариантных, смешанных) по основным векторам этого базиса. Изменения инварианта при.переходе отточки к точке или с течением времени обусловлены лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело, ьогда рассматриваются составляющие — их изменения обусловлены еще и изменением величин и направлений основных векторов взятого координатного базиса. Пусть, например, не зависят от координат их частные производные по координатам равны нулю, но было бы грубой ошибкой считать, что в этом случае векюр а не испытывает изменений при переходе от точки к точке. Верно и обратное при постоянном а составляющие (или а ) не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости составляющих векторов и тензоров, в которых учитывались бы как изменения самих этих функций, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.787]

В механике сплошных сред используются два типа координат пространственные — эйлеровы и материальные ( вмороженные в тело ) — лагранжевы (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Крылов, 1956 Д. И. Кутилин, 1947 В. В. Новожилов, 1948). Более удобными в нелинейной теории являются материальные координаты (В. В. Новожилов, 1958), в которых значительно проще формулируются граничные условия и деформационные гипотезы (например, гипотеза прямой нормали в теории пластин и оболочек, гипотеза плоских сечений в теории изгиба балок). Если же рассматривать не сам процесс деформации, а (как это и делается в теории упругости) только начальное и конечное положения тела, то введение пространственных координат становится излишним (Л. И. Седов, 1962). При этом величины, характеризующие деформацию и равновесие тела, можно относить либо к недеформированно-му, либо к деформированному материальному координатному базису. Подробно о выборе координатных векторных базисов и связи между ними сказано в монографии Л. И. Седова (1962). [c.72]

Т. к. (iriPJi) = (к Т)Т -1р + Т1 i), то Р = Ti- pi ii. Если в 11 введен ортогональный базис li), то в соответствующем базисе л) пространства Н матрица tl диагональпа и имеет собственные значения iVj = 1. [c.207]

Наиболее трудно ра.эрешимой задачей всех жезловых Б. п. всегда составляло определение температуры жезлов, к-рую записывали по термометру, закрепленному в теле жезла. Для той же цели иногда стержни жезлов делали биметаллическими, благодаря чему о перемене темп-ры можно было судить по изменению разности в длине стержней, изготовленных из разнородных металлов. Общей характерной чертой жезловых Б. п. является короткая (не более 4 м) длина отдельного жезла, вследствие чего всегда была необходима весьма точная фиксация концов их при укладке на базисе. Все вместе взятое делало жезловые Б. п. громоздкими, трудно применимыми к местности и создававшими медлительность в работе. В царской России применялись Б. п. Струве, Теннера и др. Кроме того пользовались деревянными легкими жезлами, которые укладывались в линии базиса по натянутой бечеве. В 80-х годах 19 в. появился Б. п. Йеде-рина, построенный также на принципе биметаллизма из проволок — латунной и стальной, 1Ю вскоре усовершенствованный введением инвара — сплава ив 64% стали и 36% никеля. Этот сплав имеет ничтожный коэф. теплового [c.99]

После введения понятия о когерентных состояниях в лекциях 9—11 было показано, как можно эти состояния использовать в качестве базиса для разложения произвольных состояний и операторов, в частности, для представления оператора матрицы плотности. Ввиду того, что содержание этих лекций перекрывается с опубликованной недавно статьей автора [Phys. Rev., 131, 2766 (1963)], то ниже эта статья приводится целиком. Читателю, изучившему первые 8 лекций, следует читать далее разделы 3—9. Лекция [c.66]

Итак, различаем верхние и нижние индексы, контравариантные и ковариантные компоненты. Почему же в декартовом базисе этого не было Потому, что совпали базис и кобазис, а с ними и компоненты — индексы можно было писать на одном уровне. Для введения в тензорное исчисление декартовых базисов достаточно. В дальнейшем мы увидим, что косоугольные базисы полезны и даже необходимы. [c.23]

В алгебрах Ли можно определить операцию сжатия, впервые введенную применительно к группам Ли и их представ-тениям в работах Инони и Вигнера [37]. Для ее формулировки воспользуемся тем, что алгебру Ли можно задавать в различных базисах, переход между которыми осуществляется с помощью некоторой матрицы I2, преобразующей линейным образом базисные элементы О и, соответственно, структурные постоянные, а также групповые параметры. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...