Ортогонализация базиса

Если ортогонализация достигается простыми средствами (умозрительными — из соображений механики), то она весьма целесообразна и ею необходимо пользоваться. Если же ортогонализация достигается специальным преобразованием (перестройкой) некоторого предварительно принятого неортогонального базиса, то такой путь далеко не всегда следует использовать, во-первых, потому, что трудоемкость этого процесса часто не ниже, чем решение системы с матрицей (или обращение этой матрицы), соответствующей исходному базису, а, во-вторых, в процессе этой ортогонализации встречаются все те же особенности, которые приводят к потере точности и при решении системы уравнений или обращения матрицы. [c.580]

Обобщение метода Бубнова—Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации результата подстановки ряда (38) в уравнение (3) гл. IX по отношению к новой системе функций Х(ь , от которой требуется по крайней мере представительности. Результат разложения по введенному базису можно представить в форме [c.185]

Мы нашли таким образом линейную комбинацию г функций Фь. .., Фг используя соотношение ортогональности (4.38), можно показать (См. приложение 5.2), что полученная линейная комбинация преобразуется по неприводимому представлению Г,-. Если Г, имеет размерность U, то необходимо применить оператор к и функциям Ф , чтобы получить и функций, которые образуют базис Г,- обычно для составления линейных комбинаций из этих /, функций используется ортогонализация Шмидта [см. (5.83)], чтобы получить /, ортогональных функций типа Г,-. Некоторые примеры применения операторов проектирования даны в задачах 5.2 и 5.3. Если в разложении приводимого представления Г, образованного функциями Ф , неприводимое представление Г,- не содержится, тогда действие на Ф [c.78]

Для численного решения задачи (19.8), (19.9) применялись методы Галеркина, Рунге — Кутта с пошаговой ортогонализацией и дифференциальной прогонки. В методе Галеркина базисы для аппроксимации амплитуд функции тока и температуры совпадали с описанными в 2, а в качестве базиса для амплитуды концентрации использовались собственные функции краевой задачи [c.129]

Выберем в качестве базиса разложения функции к tl, — т) систему (58). Проведем ортогонализацию (58), так как ортонормированные базисы отличаются некоторыми дополнительными свойствами, благодаря которым они часто оказываются более удобными при исследовании подпространств по сравнению с произвольными порождающими системами. [c.159]

Если теперь провести ортогонализацию этой системы, то разложение к (t) по синтезированному ортонормированному базису имеет вид [c.162]

Рассмотренный способ построения ортонормированного базиса по заданной линейно независимой системе называют процессом ортогонализации системы векторов. [c.183]

Для практического использования можно рекомендовать синтез-алгоритм, содержащий в себе положительные свойства рассмотренных вычислительных схем. Алгоритм основан на использовании квазиортогональных многочленов в обычной схеме МНК-метода для неортогонального базиса. Другими словами, сначала по одной из схем ортогонализации строится система многочленов Qo(a ), Qi(x),..., Qm(x), после чего коэффициенты Ьо, Ьь..., Ьт разложения (5.7) определяются из условия минимума суммы [c.182]

Матрицу этого уравнения J°= [F j ], i = 1,г, j. = 1,m + 1,спо-мощыо процесса Грамма—Шмидта представим в виде (1.1.19), тл. в вине произведения матрицы ортогонализации if порядка г и ортогональной матрицы Р размера г X (т -t- 1), строками которой являются векторы (% = 1,.... г ) ортонормированного базиса подпространства +j [c.68]

Границы устойчивости. Амплитудные краевые задачи, определяющие декременты возмущений и границы устойчивости, решались численно [5, 61- В случае поперечного поля в области относительно слабых полей (На < 4) достаточную точность обеспечивало применение метода Галеркина с базисом, содержавшим 16 функций. В области больших значений числа Гартмана сходимость метода Галеркина заметно ухудшается в связи с образованием в течении гартмановского пограничного слоя. Поэтому при На > 4 решение находилось путем численного интегрирования методом Рунге — Кутта с пошаговой ортогонализацией. В случае продольного поля гартмановский пограничный слой отсутствует и потому имеется достаточно быстрая сходимость метода Галеркина так, при На < 10 достаточную точность дает приближение, содержащее 8 базисных функций. [c.122]

ДЛЯ ПЛОСКОГО осциллятора g = + l, состояния линейного гармонического осциллятора однократны.) Базис Un,i, , Un,g решений (123) с данным Е тожно всегда ортогонализовать, т. е. посредством образования определённых линейных комбинаций заменить его другим базисом, при котором условие (131) выполняется для всех пар различных функций и , и . В дальнейшем мы всегда предполагаем, что такая ортогонализация уже произведена. Ввиду того что постоянный множитель в каждой ещё не определён, мы можем далее предполагать их нормированными согласно соотношению [c.80]

Таким образом, максимальное значение определителя матрицы Ьо при соответствующей нормировке будет достигаться на ортогональном базисе в Фр или в Фр. При этом матрица Ьо имеет диагональный вид, обусловлена наилучшим образом, а построение (Ьо) не представляет труда. сЗтсюда вытекает, что наилучшим базисом в Фр 5 или Фр будет ортогональный базис. В принципе возможно построение ортогонального базиса на основе любого базиса при помощи известной [40] процедуры ортогонализации. Однако в общем случае выполнение этой процедуры не легче обращения матрицы Ьо, построенной на основе первоначального б иса. Поэтому на практике целесообразно выбирать базис в Фр или Фр из каких-либо других соображений и добиваться, чтобы он бьш близок к ортогональному. Поскольку пространства Фр- и Фр евклидово-изоморфны, то выбор удовлетворительного базиса можно выполнять в одном из них — там, где его проще осуществить. [c.162]

Математически этот процесс можно рассматривать как орто-гонализацию базисных функций ф, по отношению к каждой центральной базисной функции фс. Разумеется, с помощью процесса Грама — Шмидта всегда можно ортогонализовать весь базис и свести- матрицу жесткости к тривиальному виду К = I, но это было бы безумием. Легче прямо решить систему KQ = Р. Специальная ортогонализация по отношению к фс возможна, так как в ней участвуют только соседние 9 функций ф и только внутри данного треугольника. Общее исключение неизвестных, отличное от обычного метода Гаусса, приводит к увеличению [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...