Общие математические н физические понятия

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

Слово траектория связывает математическое понятие с физическими понятиями динамики. Слово луч связывает его с оптикой, так что может показаться, что ему нет места в настоящем изложении. Однако волновая механика де Бройля и Шредингера уничтожила барьер между динамикой и оптикой. Если в динамике нам нужно слово волна, то слово луч естественно сопровождает его. Более того, настоящее изложение общей динамической теории столь же обязано методу Гамильтона в оптике, сколько и его методу в динамике, так ка в его оптике все координаты были равноправны, тогда как в его динамике время было на особом положении. [c.215]

Общие математические и физические понятия [c.424]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

В этой книге мы не будем затрагивать никаких общих концептуальных проблем, касающихся понятия устойчивости ), а для определенности примем и рассмотрим одно конкретное статическое определение, которое включает в качестве частных случаев довольно большое число определений, предложенных и изученных в прошлом. Таким образом, я не претендую на то, что это математическое определение отражает полностью и без исключений физическое понятие устойчивости, и тем. более я не утверждаю, что нельзя было бы предложить какое-нибудь другое определение. Вместо этого — и особенно потому, что в технической литературе в рассуждениях, связанных со сло вом устойчивость , есть много неясного, если не сомнительного или даже ошибочного, — я хочу на примере показать изучающему, какого рода результаты могут быть строго получены из анализа явного и точного определения. В соответствии с по существу консервативной и традиционной точкой зрения, пр 0 водимой всюду в этой книге, выбранное частное определение представляет собой классическое определение, хотя в свете недавно опубликованных или проводимых сейчас исследований это определение может оказаться в конце концов просто условным и второстепенным, [c.351]

Книга представляет собой достаточно строгое и в то же время доступное введение в круг проблем, связанных с течением реальных жидкостей. Структура книги подчинена последовательному развитию математического аппарата, лежащего в основе физической теории неньютоновских жидкостей. Сложные понятия тензорного анализа вводятся в рассмотрение в глубокой связи с их физическим содержанием. Изложение общих принципов сопровождается подробным разбором примеров п упражнений. [c.4]

Изложенные выше понятия о проекте ЭМП и процессе проектирования позволяют с помощью обобщенной модели и ее уравнений перейти к общей теоретической постановке задачи проектирования. При этом необходимо абстрагироваться от физического содержания понятий и оперировать только их математическими символами и свойствами. Поступая таким образом, проект можно рассматривать в виде математического объекта или системы, однозначно определяемой заданием определенного числа параметров, под которыми понимаются все проектные данные. Учитывая зависимость некоторых проектных данных от времени, в общем случае проект ЭМП следует представлять в виде динамической многопараметрической системы. Такой подход позволяет для проектирования использовать математический аппарат синтеза многопараметрических динамических систем. [c.68]

Ранее были рассмотрены математические методы, нашедшие применение в автоматизированном проектировании электромеханических устройств для моделирования физических процессов в объектах, оптимизации принимаемых проектных решений, а также для выполнения конструкторских работ. Вместе с тем математические методы оперируют обобщенными понятиями и по этой причине не могут в полной мере учитывать особенности конкретной области применения. Для их практического использования в автоматизированном проектировании необходимо перейти к особой цифровой форме представления математических моделей, а на основе математических методов разработать конкретные алгоритмы автоматизированного выполнения проектных процедур. Рассмотрим поэтому особенности построения основных алгоритмов автоматизированного проектирования ЭМУ. При этом следует иметь в виду, что в силу разнообразия классов ЭМУ здесь отражены только общие подходы к разработке соответствующих алгоритмов. Примени- [c.191]

Значение общей динамической теории. Наиболее очевидная цель всей динамики состоит в том, чтобы решать динамические проблемы, которые возникают в физике и астрономии. Начав с рассмотрения физической модели ( 2), такой, например, как солнечная система, мы переходим к соответствующему математическому понятию или математической модели, и пытаемся решить дифференциальные уравнения, относящиеся к этой модели. [c.196]

Итак, закончено краткое изложение основных положений технической, термодинамики, и нам хотелось бы еще раз обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. Как уже отмечалось во введении, термодинамика построена весьма просто опытным путем установлены два основных закона, и применение к ним обычного аппарата математического анализа позволило получить все те разнообразные выводы, которые были предложены вниманию читателя. В этой простоте — универсальность термодинамики, выделяющая ее из многих других физических теорий. Мы хотим закончить эту книгу словами А. Эйнштейна Теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает, и чем шире область ее применения. Отсюда глубокое впечатление, которое произвела па меня классическая термодинамика. Это единственная физическая теория общего содержания, относительно которой я убежден, что в рамках применимости ее основных понятий она никогда не будет опровергнута (к особому сведению принципиальных скептиков) . [c.502]

В теории надежности сосуществуют два направления, родственные по идеологии и общей системе понятий, но отличающихся по подходу. Установившихся названий для этих направлений нет. Первое направление - системная, статистическая или математическая теория надежности, второе направление можно условно назвать физической теорией надежности. Объектом системной (статистической, математической) теории надежности служат системы из элементов, взаимодействующих между собой в смысле сохранения работоспособности по логическим схемам графам, деревьям отказов и т.п. Исходную ин( рмацию в системной теории надежности, как правило, образуют показатели надежности элементов, определяемые путем статистической обработки результатов испытаний и (или) эксплуатационных данных. Задачи системной теории надежности решают в рамках теории вероятностей и математической статистики, т.е. без привлечения физических моделей отказов и тех физических явлений, которые вызывают и сопровождают возникновение отказов. [c.12]

В течение последнего десятилетия наблюдается развитие исследований в области основ механических теорий сплошных сред. Как физические основы, так и математическое описание процессов необратимых деформаций критически разбираются с точки зрения самых общих принципов механики и термодинамики. Эти исследования привели к уяснению многих понятий и установлению законов построения непротиворечивых теорий термомеханического поведения материалов. Однако-формулируемые таким образом теории не используются пока в практике инженерных расчетов. [c.94]

В частях I, II, III, посвященных физической динамике, мы рассматривали материальные системы самого общего вида, не накладывая никаких ограничений на число степеней свободы (само это понятие было введено лишь в части IV) поэтому все полученные там результаты были справедливы в самом общем случае — в частности, для случая сплошной среды (упругого тела, жидкости, газа). Однако, рассматривая самый общий случай материальной системы, мы не смогли решить основной задачи динамики в случае несвободной системы (т. е. исключить неизвестные реакции связей и свести дальнейшее решение к чисто математической задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений). Это удалось нам сделать только в части IV, посвященной элементам аналитической механики,— [c.440]

Дальнейшее внимательное рассмотрение вопроса о том, какие свойства следует ожидать у существенно неконсервативных динамических систем, соответствующих реальным физическим системам, если при этом изучаются те свойства реальных систем, которые описываются качественным характером траекторий (и если, конечно, соответствующая математическая модель — динамическая система — хорошо отображает свойства реальной системы), привело к понятию грубой динамической системы ). Точное определение грубых систем дано в 1 гл. 8 здесь же сделаем некоторые общие замечания. [c.130]

Как это следует из названий, мемуары 1749 и 1752 гг. посвящены дискуссии, связанной с принципом наименьшего действия. Уже первая из этих работ свидетельствует об удивительной мудрости ее молодого автора, ясном понимании им существа вопроса и полной независимости от высокого авторитета Мопертюи. Дарси формулирует общий принцип Мопертюи и его анализ разбивает на два вопроса равно ли действие произведению массы, скорости и пути ( ) и будет ли оно минимальным ( ). Па оба вопроса Дарси дает отрицательный ответ. В первом случае это связано с тем, что Дарси накладывает на понятие действия определенный физический смысл (величина физического взаимодействия), в то время как Мопертюи рассматривает его как некую математическую формальность. Аналогично и во втором вопросе, где Дарси подменяет логику Мопертюи своей. Переходя же далее к анализу закона покоя, Дарси допускает целый ряд физических и математических ошибок, обесценивающих его дальнейшую аргументацию. [c.251]

От изучающего газовую динамику в рамках настоящих лекций требуется определенная общая математическая кульгура и навыки в математическом анализе, развиваемые на первых двух курсах механико-математических и физических факультетов. Все специфические для газовой динамики понятия, термины и обозначения разъяснены непосредственно в тексте. Небольшое количество упражнений и задач, приведенных в конце глав, имеет целью проверку усвоения материала и возможностей са.мостоятель-ного решения изучающим частных вопросов, органически примыкающих к основному тексту. [c.12]

Своей Механикой Эйлер стремился расшифровать, разъяснить, упростить, развить, обобщить основные понятия и законы механики, созданной его предшественниками. В первую очередь — Ньютоном. Динамика Даламбера — это попытка радикальной перестройки основ механики, стремление к физической ясности ее понятий, предельной универсальности, всеобщности, наглядности и эффективности ее основополагающих принципов. Традиционный принцип виртуальных скоростей (перемещений) был прекрасным образцом основ теории равновесия тел. Поэтому идея его модернизации для нужд теории движения тел представляется вполне естественной. По потребовалась не столько модернизация математического содержания принципа, сколько пересмотр физического понятия равновесия, покоя. Пдея возможности уравновешивания, уничтожения некоторых динамических характеристик двигающегося тела в каждый момент времени связями (другими телами) оказалась очень перспективной. Пменно эту идею положил Лагранж в основу своего общего уравнения динамики, опубликованного в 1788 г. [c.268]

В первой части данного пункта мы подробнее остановимся на то. Гько что сд.еланном замечании и распространим понятие слабой -топологии на алгебру 91, двойственную С -алгебре 91. Строго говоря, такое расширение не является необходимым для понятия физической эквивалентности, поскольку последнее должно формулироваться и действительно формулируется лишь в терминах алгебры 91 и множества . Но мы проводим здесь это расширение для полноты, а также из практических Соображений, поскольку впоследствии нам понадобится эта топология на Большинство результатов, излагаемых (для освежения памяти) ниже в предварительном обзоре, обычно сообщается в курсах теории банаховых пространств и вообще топологических линейных пространств. Читателю, которого заинтересуют доказательства, относящиеся к общей математической основе изложения, мы рекомендуем обратиться к курсу Данфорда и Шварца [91, гл. И и V], Дея [67, гл. I] или Бурбаки [46, гл. IV]. Главный пункт этого нашего предварительного обзора — теорема об аппроксимации (теорема 6) и следствие из нее. [c.129]

Хорошо известно, что разные люди, и студенты в их числе, воспринимают физику по-разному. Одни лучше мыслят математическими символами и понятиями, физические законы легко представляют себе в виде математических, количественных связей, другие — склонны к качественному, образному мьпплению, для них закон связан с известным экспериментом, который они наблюдали. Игорь Фомич настолько совершенно владел методикой преподавания общей физики, что легко и естественно объединял количественный и качественный подходы в физике. Он учил студентов творческому мышлению, самостоятельному иззшению физики, умению работать с книгой, рассматривая эту работу как очень важную в деятельности любого будущего ученого. [c.229]

Рассматриваемый здесь подход к вычислению эффективных модулей композиционных материалов основан на понятии представительного элемента объема, т. е. такого элемента, в котором все усредненные по объему компоненты тензоров напряжений и деформаций равны соответствующим величинам, вычисленным для композита в целом. Из-за математических трудностей решение задачи в микромеханической постановке обычно доводится до конца только для сравнительно простых композитов, например для бесконечной упругой матрицы, армированной одинаковыми параллельными упругими волокнами, образующими двоякопериодическую систему. Исключением из этого общего правила является работа Сендецки [17], в которой решена задача о продольном сдвиге матрицы, армированной произвольно расположенными волокнами произвольного диаметра. Поскольку приведенное выше математическое определение эффективных модулей отличается от физического определения, основанного на экспериментально наблюдаемых усредненных по поверхности значениях компонент тензоров напряжений и деформаций, важно понимать, что между этими двумя определениями существует связь, устанавливаемая в результате микро-.адеханического исследования (см. разд. V). [c.15]

Наиболее отчетливый и гибкий алгорифм для выражения и математического исследования многих проблем механики (как и других физических теорий) представляет теория векторов. Вследствие этого мы в настоявдей вводной главе изложим основные понятия и элементарные правила исчисления векторов ). Вместе с тем, читатель должен быть предупрежден, что рассуждения, которые развертываются в настоящем сочинении, предполагают отчетливое знакомство с общими курсами аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых. [c.13]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Отношение это, как кажется, основано на некоторых понятиях, наименование которых требует общего языка для всех физиков — экспериментаторов и математиков. Эти понятия появляются как математические понятия в математической модели и как физические в прямом обсуждении природы. Мы имеем как бы трехстолбцовый словарь [c.16]

Это провозглашение эры исключительного господства аналитического метода могло казаться тем более обоснованным, что в труде Лагранжа содержится и все, что к тому времени составляло механику сплошной среды. Подводя итоги, надо все же признать, что аналитическая механика Лагранжа — не вся механика его времени. Недостаточность для приложений динамики идеальной жидкости, ограничение идеальными связями, т. е. исключение сил трения, математические трудности — словом, все, отделявшее теоретические построения от технических применений, заставляло уже тогда искать новые физические схемы, приближенные методы, обращаться к эксперименту. Это относится прежде всего к механике сплошной среды (см. следующую главу). Но в механике Лагранжа не было и других важных компонентов. В ней отразились и слабые стороны механистического, недиалектического материализма XVIII в. Лагранж обходит вопросы, связанные с тем или другим толкованием таких общих понятий, как пространство и время. А заодно он совсем не касается вопроса о том, каковы те системы координат, которыми он пользуется он ничего не говорит об относительности движения. Он обрывает в этом пункте традиции классической механики. Исходя из уравнений и не вникая в анализ физических основ механики, Лагранж как бы провел некую линию уровня . Все, лежащее выше нее, можно было считать прочно установленным и рекомендовать к применению то, что находилось ниже нее, игнорировалось. Это была новая позиция — позиция разумного самоограничения, но это исключало из рассмотрения ряд основных вопросов механики (и естествознания в целом). Исключить их на том основании, что пока нет удовлетворительного ответа на них и что они слишком близки к метафизике , было полезно можно было сосредоточить усилия на более конкретных задачах, поддающихся решению но это принесло и вред, так как отвлекало от более глубокого исследования основных понятий механики и физики, создавая иллюзию благополучия, которого на самом деле не было. [c.157]

Интересно кратко проанализировать одну из характерных работ [26 , нередко упоминаемую в публикациях последних лет, посвященных репрезентационной теории измерений . В само.м начале [26] сказано В настоящей книге предполагается дать широкое обоснование теории измерений .. Между тем, в книге нет ни определения (или описания) понятия измерение , ни обоснований того, почему рассматриваемые в книге операции отнесены к измерениям . К сожалению, из-за этого возникают затруднения в понимании того, к какой области науки или техники относится излагаемая теория измерений . По своему содержанию книга является чисто математической, п одно это свидетельствует о том, что традиционные измерения не охватываются излагаемой теорией. Отсутствует физическое осмысливание материала, за исключением некоторых общих высказываний, вызывающих недоумение. Из текста (с. 29, 30) можно понять, что термины измерение и шкалирование применяются как и.1ентичные. Но рядом с этим текстом — Решение вопроса о том, как провести измерение на практике, отлично от решения вопроса об определении шкалы (с. 30). В одном параграфе написано Измерения на практике выполняются с помощью приборов, дающих числовое значение (с. 30). В другом Типичными примерами изг мерений служат так называемые испытания у.мственных способностей, шкалы социального статуса и т. п. (с, 29, 300. Сопоставление подобных утверждений не делает ясным теория чего именно излагается в книге Известно, что пока приборов, позволяющих измерять умственные способности человека и его социальный статус, — нет. Они могут появиться только после того, как человек научится отражать свои умственные способности, социальный статус и т. п. свои свойства какими-либо физическими величинами, на которые могут реагировать измерительные приборы. Но тогда это будут традиционные, а не обобщенные измерения. [c.31]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов. 1 азовая лина.мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, фуик-ционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Д.Стокс [228], заложив основы феноменологического подхода к гидродинамике и теории упругости, предложил общее определение понятия жидкости разность между давлением, действун )щим на проходящую в заданном направлениц плоскость через произвольную точку Р движущейся жидкости и одинаковым для всех направлений давлением в этой же точке, когда жидкость в ее окрестности находится в состоянии относительного равновесия, зависит от относительного движения жидкости в непосредственной близости от Р, причем относительное движение, обусловленное любым вращением, может быть исключено без изменения упомянутой разницы давления [228]. Этому определению Д.Стокс придал и четкую математическую форму, придя в итоге к уравнениям движения вязкой жидкости. В настоящее время эти уравнения называются уравнениями Навье — Стокса. История развития представлений о характере и свойствах жидкости в XIX и начале XX в. представлена в работе [ 206 ]. Экспериментально установлено, что коэффициент пропорциональности между касательными напряжениями в точке и локальным градиентом скорости зависит от температуры жидкости и давления в точке и называется коэффициентом вязкости ц. Физический смысл этого параметра, связанный с молекулярным переносом количества движения в жидкости, раскрыт в [8, 65, 66]. Наряду с коэффициентом вязкости ц часто используется кинематический коэффициент вязкости [c.9]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Слово tension означает напряжение, натяжение. Термин тензор пояч вился в теории упругости. С течением времени, однако, понятие тензора утратило первоначальный смысл и тензор стал математическим образом различных физических объектов, обладающих общими свойствами. [c.365]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...