Эйлера единственности

Дальнейшее упрощение связано с тем, что в качестве единственной массовой силы рассматривется лишь сила тяжести. В этом случае g = — gVz, где z — вертикальная координата, а g — гравитационное ускорение, так что уравнение Эйлера сводится к следующему [c.48]

Отметим, что углы Эйлера не являются единственной комбинацией трех независимых углов для тела, имеющего одну неподвижную точку. Существуют и другие комбинации углов, определяющих положение одной системы координат относительно другой. [c.332]

В классической механике основными определениями массы являются определения И. Ньютона и Л. Эйлера. Однако можно отметить, что в этих определениях на первое место выступают определения массы методами механики, а определение физического смысла понятия. массы остается до известной степени в стороне. Собственно, прямых возражений против определения массы как величины, характеризующей количество вещества в теле, до XX в. не выдвигалось, так как оно соответствует нашей ежедневной практике. Однако единственная возможность определения этого количества механическими средствами и невозможность, по крайней мере до XX в., найти новый подход к этому вопросу делали это определение массы мало содержательным. Отождествление массы и вещества на основании определения Ньютона принципиально ошибочно. [c.227]

При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обтекаемой поверхности Имеется также и определенная непоследовательность, связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье — Стокса, являются течения с линейным (17,1) и параболическим (17,4) профилями (в то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течением с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнений движения. [c.238]

Единственный корень этого уравнения f = О, следовательно, i 0 таким образом, критической силы в смысле Эйлера стержень, нагруженный следящей силой, не имеет, согласно статическому критерию он всегда будет устойчивым. [c.207]

Безразмерное число Эйлера рУ1/2р1, аналогичное числу Маха, определено условиями полета. В (10.35) единственным параметром, зависящим от компрессора, является отношение я = рУр[ при я 1 имеем 11 1. [c.146]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Теорема Эйлера эквивалентна утверждению, что для любых двух ориентаций тела можно указать единственную фиксированную в теле прямую 0L, направление которой (равно как и направление вращения) остается неизменным. Любая прямая, фиксированная в теле и параллельная 0L, остается после вращения параллельной первоначальному направлению. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к 0L, может быть переведено в конечное положение путем перемещения в своей собственной плоскости. [c.105]

VII. Примечание II. Это единственная задача, к которой г. Эйлер применил свой принцип. Он также решил ее для двух случаев случая прямоугольных координат и случая радиусов, выходящих из неподвижного центра. Однако для сравнения его решений с нашими нужно заметить [c.123]

Материя, как известно, обладает единственным постоянным свойством — быть объективной реальностью , т. е. она существует вне зависимости от человеческого разума. Все остальные свойства материи относительны, преходящи, временны. Наукой установлено, что материи в пределах Земли и околоземного пространства присущи следующие движения молекулярное (вращательное и поступательное), колебательные движения атомов и целый комплекс внутриатомных движений. Если эти известные виды движений называть свойством материи, то таким свойством будут обладать все тела, находящиеся в указанных границах. Энергетическая концепция тепла, сформулированная М. В. Ломоносовым, Л. Эйлером и Д. Бернулли, рассматривает природу тепла как производную этих движений, т. е. как форму энергии. Поэтому все окружающие нас тела являются носителями тепловой энергии. [c.5]

Для подобных потоков уравнения тождественны и система их имеет единственное решение, они будут таковыми если тождественны критерии подобия критерий Эйлера [c.13]

Возвращаясь к условию (2.2), с завидной легкостью предсказавшему границу устойчивых и неустойчивых состояний модели, мы должны теперь заметить, что оно по существу определяет уровень внешнего нагружения, при котором нарушаются условия единственности решения задачи о равновесном состоянии модели наряду с прямолинейной возможна искривленная форма равновесия, что представляет собой исходную трактовку критерия Эйлера. Таким образом, уровень нагружения, отвечающий неединственности решения, одновременно оказался границей устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. [c.10]

Сейчас следует особо подчеркнуть, что поскольку в эйлеров-ском подходе речь шла о единственности решения для параметров внутреннего состояния, то это само собой подразумевало, что в реально проявляющемся эффекте выпучивания значение внешних действующих сил оставалось неизменным. Поэтому и в данном случае такой подход требует постоянства силы Р и, следовательно, о. Далее, приращения Да мы должны рассматривать как результат перехода из исходного в побочное состояние а , и, следовательно, можно отождествить Аоа с бесконечно малым приращением doa, фигурирующим в определяющем уравнении. [c.13]

При анализе устойчивости состояния равновесия механической системы обычно стараются выяснить пределы измерения параметров нагрузки, при которых данная система имеет единственную форму равновесия. Эйлер, исследуя продольный изгиб стержня, указал путь отыскания этих пределов на основе перехода к задаче Штурма—Лиувилля. [c.137]

В 1788 г. Лагранж и независимо от него в 1815 г. Пуассон рассмотрели случай тяжелого симметричного гироскопа тело имеет ось материальной симметрии и поэтому 1х = 1у, а единственная заданная сила —это сила тяжести гироскопа, причем центр тяжести лежит, очевидно, на оси симметрии, но не совпадает с неподвижной точкой (иначе снова имели бы случай Эйлера) Лагранж и Пуассон получили общее решение снова в эллиптических функциях. [c.252]

Вариационная задача называется корректно поставленной (устойчивой), если она имеет единственное решение и всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу х -В противных случаях вариационная задача называется некорректно поставленной. Однако часто вместо непосредственной минимизации функционала J (х) получают уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума функционала J (х) — и из него определяют численными или аналитическими методами решение экстремальной задачи. В связи с этим рассмотрим вопрос о корректности операторных уравнений и их связь с вариационными задачами. [c.32]

Е) Поле Эйлера — единственное векторное поле неполо-кительного веса. [c.39]

До конца XIX в. случаи движения твердого тела, исследованные Эйлером и Лагранжем, были единственными, в которых было проведено полное интегрирование системы дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14). На протяжении большей части минувшего столетия изучались разные свойства движений в указанных двух классических случаях. При этом были найдены результаты, о характере которых дает представление интерпретация Пуансо движения по инерции твердого тела вокруг закрепленной точки. В этом направлении работали Максвелл, Сильвестр, Мак-Куллах, Якоби, Сомов, Дарбу и др. [c.448]

У более коротких стержней потеря устотивости происходит ири напряжениях, превосходящих предел пропорциональности,, т. е. в пластической области. Состояние пластического тела, в отличие от состояния упругого тела, зависит не только от мгновенных значений нагрузок, но и от порядка их приложения. Поэтому, если для упругого стержня воз1можна лишь единственная постановка вопроса устойчивости и сила Эйлера является единственной критической силой, то в пластической области воз1юж-ны различные определения неустойчивости и, следовательно, различные критические силы. [c.135]

Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж. Эйлер в Берлинских мемуарах ) высказал даже мнение, что, рассматривая бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой своей части, если привести интеграл к его правильному виду [c.291]

Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

X ). Три угла 0, 6 и ч ), называемые углами Эйлера, определяют ориентацию систша координат (х, х , х ) единственным образом. [c.149]

При коэффициентах, удовлетворяющих неравенствам (П2.46), уравнение Л.Эйлера-Ж.Лагранжа имеет единственное решение на отрезке [а, Ь при заданных граничных условиях (П2.47). Обозначим это решение Fo(x) и покажем, что оно дает абсолютный минимум функционалу (П2.45) или, точнее говоря, покажем, что У(Уо)[c.275]

В трактате Юнга единственное описание результатов эксперимента, касающихся высоты модуля, содержалось в Комментарии, следующем за теоремой о поперечных колебаниях призматических и цилиндрических стержней (см. Young [1807,1], 398, т. II, стр. 84). При рассмотрении этой задачи Юнг использует разложение искомой функции в ряд при решении уравнения Бернулли — Эйлера для балок. Это позволило ему вывести зависимость между высотой модуля и частотой колебаний для консольных и свободно опертых балок. Приводим указанное описание. [c.255]

Изложенный выше метод определения углов Эйлера и координат ядер х, у, г) по уравнениям Эккарта применим и к произвольной многоатомной молекуле, имеющей единственную равновесную конфигурацию. Однако для трехатомноп молекулы [c.164]

Примером другой сложной ситуации, связанной с потерей устойчивости, является стержень, нагруженный следящей силой, те. силой, которая сохраняет направление конца стержня, к которому она приложена (рис. 12.37). Исследования показывают, что при такой нагрузке у стержня имеется единственное состояние равновесия — прямолинейное. Так как по критерию Эйлера (см. 12.2) в критическом состоянии должны появляться смежные состояния равновесия, то казалось бы, прямолинейное состояние такого стержня можно считать устойчивым всегда. Но такое заключение ошибочно, поскольку появление смежных форм равновесия — липть один из возможных признаков потери устойчивости. Исследование движения стержня, нагруженного следящей сжимающей силой, показывает, что существует такая сила, при превышении которой малые возмущения приводят к колебаниям стержня с нарастающей амплитудой. Причиной такого поведения является неконсервативность следящей силы. Напомним, что консервативной силой пазыва- [c.405]

Центральная проблема небесной механики — проблема трех тел — в XVIII в. была уже или предметом, или стимулом многих исследований, без которых нельзя себе представить историю общей механики Это относится к значительной части тех работ, которые рассмотрены в первых пунктах настоящей главы. Связь исследований по общей и небесной механике становится совершенно явной и систематической к середине XVIII в., когда стала общепризнанной безнадежность построения теории орбит (планет и комет) на основе декартовой теории вихрей, и получили достаточные подтверждения расчеты, основанные на законе тяготения Ньютона. Наибольшее значение имели в то время исследования по теории движения Луны как для небесной механики, так и для навигационной практики. Тут надо отметить работы Кле-ро и Эйлера, в частности премированное в 1751 г. Петербургской академией наук исследование Клеро, само название которого программно Теория движения Луны, выведенная единственно из начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояния . Оценивая это исследование, Эйлер писал в отзыве, составленном но поручению Петербургской академии, что эту диссертацию не только нужно считать достойной высшей награды, но через нее и слава знаменитейшей Академии возрастает не незначительно, так как, предложив вопросы столь трудные, она привела к ясности положения самые скрытые Велико историческое значение и другой работы Клеро, тоже получившей в 1762 г. премию Петербургской академии наук. В ней было рассчитано время прохождения кометы Галлея . [c.153]

Остановимся те]иерь на развитии применений гироскопа. С работами Эйлера по механике твердого тела примерно совпадает по времени первая отмеченная в литературе попытка использования свойств волчка в практических целях. Единственным средством для определения месга корабля в открытом море служил в те времена секстант, позволявший измерять угол возвышения небесного светила над линией видимого горизонта. Когда же горизонт был покрыт дымкой или море сильно волновалось, пользование секстантом делалось невозможным. В 1742—1743 гг. английский механик Серсон построил прибор р, который по замыслу должен был заменить в работе с секстантом видимый горизонт (рис. 1). В этом приборе перевернутая металлическая чаша могла вращаться, опираясь на шпиль в точке, расположенной немного выше центра тяжести. Наружная поверхность дна чаши была выполнена в виде плоского полированного зеркала. Когда чашу с помощью навитого на нее шнура приводили в быстрое вращение, ее зеркальная поверхность через некоторое время устанавливалась в горизонт и, несмотря на качку корабля, совершала относительно этого положения лишь небольшие медленные колебания. С помощью секстанта наблюдали угол возвышения светила над зеркальной плоскостью чаши. [c.140]

При заданном поле скоростей v возникает естественный вопрос о существовании и единственности соответствующего движения жидкости, удовлетворяющего уравнениям Эйлера. Трудная задача о существовании исследовалась Лихтенштейном (см. [9], гл. 12 [25] гл. 11, 12), Гёльдером ), Вольбинером ), Шеффером ) и Маруном ). [c.74]

Принципиальное облегчение этой задачи возможно для глад ких тел, для которых ударную волну можно считать совпадающей с формой тела. Глубокий смысл этого условия заключается в том, что оно задает ударную волну, на которой все искомые параметры известны, что приводит к задаче Коши с начальными данными на нехарактеристической кривой. Ввиду аналитического характера этой кривой существование и единственность решения в ее малой окрестности гарантируется известной теоремой Коши — Ковалевской (изложенной, например, в [34] независимо от типа уравнений Эйлера, что позволяет построить решение, например, в виде рядов по степеням расстояния от начальной кривой [c.170]

Появление качественно новых форм равновесия. Примером может служить центральное сжатие первоначально прямого упругого стержня (задача Эйлера). При умеренных значениях сжимающей силы прямолинейная форма равновесия — единственная и притом устойчивая форма равновесия малым возмущениям этой формы, которые осуществляются, напр1 мер, при помощи малой дополнительной поперечной нагрузки, соответствуют малые прогпбы. При критическом значении сжимающей силы прямолинейная форма становится неустойчивой и после малых возмущений стержень приобретает новую (устойчивую) форму равновесия, которой соответствует изогнутая ось. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...