Векторный нуль

Для того чтобы наиболее удобным образом ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов и построить затем систему правил, позволяющих упрощать эти множества, определять, эквивалентны ли они, и т. д., введем предварительно понятие о векторном нуле. [c.346]

Векторным нулем называется множество векторов, состоящее из двух векторов, равных по величине, действующих вдоль одной и той же прямой и направленных в противоположные стороны. [c.346]

Множество систем векторов называется множеством систем скользящих векторов, а каждая система векторов из этого множества — систел<ой скользящих векторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности две системы из множества эквивалентны, если любая из них переходит в другую путем добавления или отбрасывания векторных нулей. [c.346]

Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине н действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы СКОЛЬЗЯЩИХ векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил. [c.346]

Название система скользящих векторов принято потому, что только с помощью добавления или отбрасывания векторных нулей [c.346]

МОЖНО перемещать любой вектор системы вдоль линии его действия. Чтобы показать это, рассмотрим, например, множество из трех векторов (рис. П. 11, а), предположив, что это множество составляет систему скользящих векторов. Выберем произвольную точку О на линии действия какого-либо из векторов системы, например первого, и приложим в этой точке векторный нуль, составленный из векторов / и равных по величине вектору / и действующих вдоль той же прямой (рис. П. 11, б). [c.347]

Векторы 1 и Г также образуют векторный нуль— отбросим его. В результате получается система, показанная на рис. П.И.й. По определению она эквивалентна исходной, так как мы только добавляли и отбрасывали векторные нули, но теперь уже вектор 1 перемещен в точку О вдоль линии действия. Разумеется, так же можно было переместить любой иной вектор системы. [c.347]

До сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, характеризуемый величиной, направлением и точкой приложения. Для системы скользящих векторов понятие точки приложения оказывается излишним. Благодаря постулируемому правилу, разрешающему добавлять и отбрасывать векторные нули, векторы систем как бы освобождаются от точек приложения, наделяются возможностью скользить вдоль линии действия ). [c.347]

Система скользящих векторов называется пучком векторов (или просто пучком), если линии действия всех векторов системы пересекаются в одной точке (рис. П.12, й). Воспользовавшись тем, что только за счет добавления или отбрасывания векторных нулей всегда можно перемещать скользящий вектор по линии действия (см. выше), переместим все векторы пучка в точку О пересечения [c.348]

Преобразования, связанные с добавлением или отбрасыванием векторных нулей и с заменой пучка векторов одним вектором, назовем элементарными преобразованиями. [c.348]

Оба элементарных преобразования обратимы. Для добавления нулей это следует из определения — нули можно добавлять и отбрасывать. Для замены пучка суммой это следует из того, что для разложения вектора по заданным направлениям достаточно операции добавления и отбрасывания векторных нулей. [c.348]

Доказательство. Для первого элементарного преобразования-добавления ИЛИ отбрасывания векторного нуля —утверждение теоремы 5 очевидно при образовании главного вектора два образующих нуль вектора взаимно уничтожаются. При образовании л<е главного момента главный момент двух векторов, образующих нуль, равен нулю. Действительно, если полюс О лежит [c.349]

ИЗ G образовывал с вектором ( , из ( векторный нуль. Тогда система G, G , т. е. совокупность всех векторов 67,-и б , эквивалентна векторному нулю и поэтому [c.352]

Рассмотрим систему F, G и элементарными преобразованиями сведем ее к двум векторам (это возможно в силу теоремы 6). Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ИИ главного момента, так что главный момент и главный вектор этих двух векторов также будут равны нулю. Но это возможно лишь тогда, когда два вектора образуют векторный нуль. Отсюда следует, что система F, G эквивалентна векторному нулю и ее можно отбрасывать от любой системы, не нарушая эквивалентности. [c.352]

К одному вектору К векторному нулю [c.355]

Исследуем, наконец, системы из четвертого подкласса. Системы из этого подкласса, эквивалентные векторному нулю, называются уравновешенными. Условия того, что система скользящих векторов принадлежит четвертому подклассу [c.356]

Поэтому отбрасывание от рассматриваемого множества векторов Ых,. .., двух таких векторов, образующих векторный нуль (или добавление двух таких векторов), не изменяет абсолютной скорости любой точки -Й системы относительно нулевой. Эти физические соображения показывают, что в данном случае имеет место соотношение эквивалентности при добавлении и отбрасывании векторных нулей следовательно, векторы (Oj,.... .., й) образуют систему скользящих векторов, и к ним полностью относится все, что было установлено выше для такой системы векторов. [c.361]

Система, в которой все векторы равны нулю (векторный нуль). [c.317]

Теорема 1. Система закрепленных векторов (г, Г,) эквивалентна векторному нулю тогда и только тогда, когда главный вектор и главный момент равны нулю. [c.318]

Именно такими и являются эти характеристики для введенных ранее четырех простейших систем векторный нуль, вектор, пара, винт. [c.319]

Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше. От полюса р плана (рис. 25, в) откладываем отрезок (рЬ), изображающий скорость точки В. Длину этого отрезка принимаем равной (рЬ) = (АВ) = 25 мм, т. е. план строим в масштабе кривошипа. Через точку Ь проводим направление скорости Vg д — линию, параллельную Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного выше. Надо отложить вектор скорости точки С, но так клк модуль его равен нулю, то конец его с помещаем в полюс плана р и из точки р проводим направление скорости f — линию, перпендикулярную СВ. Пересечение ее с ранее проведенной линией, параллельной СВ, дает конец вектора скорости Vg —точку 63. Точку d — конец вектора скорости точки D— находим по правилу подобия из соотношения [c.49]

Далее через точку проводим направление ускорения а д (линию, перпендикулярную ED) и переходим к построениям, соответствующим второму векторному уравнению, указанному выше. В точке я помещаем точки и k, так как модули ускорений и равны нулю. Из точки п проводим направление ускорения а с (линию, параллельную хх) до пересечения с линией, ранее проведенной из течки Пдд. Точка пересечения е является концом вектора ускорения точки Е, т. е. ускорения а . Располагаем в полюсе плана точку а и на этом заканчиваем построение плана ускорения механизма. [c.51]

В классической гидромеханике общепринято рассматривать так называемое уравнение механической энергии. Разумеется, не существует принципа сохранения механической энергии уравнение механической энергии получается при помощи почленного скалярного умножения динамического уравнения на вектор скорости [8]. Уравнение механической энергии не содержит информации, дополнительной к той, которую содержит динамическое уравнение, и фактически содержит даже меньшую информацию, ибо оно является скалярным уравнением, в то время как динамическое уравнение векторное. Тем не менее уравнение механической энергии весьма полезно в классической гидродинамике, где девиатор-пая часть напряжения т предполагается равной нулю. Оно имеет ограниченное применение в ньютоновской гидромеханике и почти бесполезно в механике неньютоновских жидкостей. [c.46]

Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной нары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, б2>1л замкнут. [c.39]

Таким образом, для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторных моментов пар сил па каждую UJ трех координатных осей была равна нулю. [c.39]

Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках, т. е. [c.90]

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени At к нулю [c.100]

И.ч предположения, что к множеству векторов можно прибавлять (или что от него можно отбрасывать) векторные нули, следуе , что понятие точка приложения вектора теряет смысл. Обратное утверждение неверно. Если определить систему екольяящих векторов как множество векторов, лишенных точек приложения и определяемых лишь величиной, направлением и линией действия, то из такого определения не следует возможность отбрасывать или добяплпть векторные нули (вспомните пример с двумя взаимно притягивающимися телами ). Все развиваемые далее теоремы о системах скользящих векторов опираются на возможность добавлять и отбрасывать векторные нули. Поэтому для того, чтобы проверить, изображается ли некоторое множество векторных объектов системо скользящих векторов, надо проверить, не изменятся ли изучаемые механические явления, если добавить или отбросить векторный нуль. [c.347]

Из физических соображений ясно, что в этом случае добавление и отбрасывагте векторного нуля правомерно. В самом деле, две силы, ириложенные к твердому телу и образующие векторный нуль, лишь растягивают либо сжимают тело. Они могли бы вызвать деформацию тела (если бы не предполагалось, что оно абсолютно твердо), но заведомо не влияют на его движение. Действительно, с одной стороны, движение центра инерции тела зависит лишь от главного вектора внешних сил, а с другой стороны, в уравнения Эйлера, описывающие движение тела относительно центра инерции, входят главные моменты всех внешних сил. Добавление или отбрасывание двух сил, образующих векторный нуль, не меняет ни главного вектора, ни главного момента системы сил и, следовательно, не отражается на движении тела. Поэтому множество векторов, изображающих любую совокупность сил, приложенных к твердому телу, является системой скользящих векторов, и теоремы, установленные в предыдущем параграфе, могут быть применены к системе сил, приложенных к твердому телу. [c.360]

В системе (8 ). В таком случае говорят, что задача является статически определимой. Если число неизвестных величин превышает число независимых равенств в системе (8 ), то задача статически неопределима. Решение статически неопределимых задач иногда возможно, если отказаться от гипотезы твердого тела и учесть его деформации, но тогда уже нельзя отбрасывать векторные нули, нельзя считать сил1з1 скользящими векторами, и вопрос о том, можно ли упростить систему сил и каким образом ьто сделать, должен рассматриваться особо. [c.361]

Применяя теперь к системе скользящих векторов теорему 8, сразу заключаем, что любая совокупность вращений может быть сведена к одному из четырех простейших случаев — векторному нулю, равнодействуюи(,ему вектору, паре векторов и винту. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности. [c.362]

Вектор (гс. Гсл) вдоль линии действия перемещаем в точку Гд, а вектор (гс.Гсд) — в точку гд и складываем их соответственно с векторами (гд Гд) и (гв Гд). Таким образом, система закрепленных векторов с нулевыми главным вектором и главным моментом оказалась эквивалентной двум векторам, приложенным в точках Гд и гв, а эти два вектора обязаны быть равны и прямопротивополжны, т.е. сводимы к векторному нулю. Теорема доказана. [c.318]

Построение плана скоростей ведем в такой последовательности (рис. 24, в). Строим решение первого векторного уравнения, указанного выше от полюса р откладываем отрезок рЩ. изобряжяюшнй гкпрпгтц тпцум д перпендикулярно линии АВ и в соответствии с направлением вращения звена АВ, причем длину отрезка (рй) выбираем равной (АВ) = 25 мм, т. е. строим план в масштабе кривошипа из точки Ь проводим направление Скорости — линию, перпендикулярную ВС. Переходим к построению решения второго векторного уравнения, указанного выше из точки р надо было бы отложить скорость, но она равна нулю, поэтому точку С4 совмещаем с точкой р из точки или, что то же, р проводим направление скорости — линию, параллельную Ах, до пересечения с линией, проведенной перпендикулярно ВС, и получаем точку с — конец вектора скорости точки С. Помещаем в полюс плана точку а и на этом заканчиваем построение плана скоросгей для всего механизма. Скорость точки D находим по правилу подобия конец вектора этой скорости должен лежать на линии (Ьс) и делить отрезок (Ьс) в том же отношении, в каком точка D делит отрезок ВС, т. е. [c.45]

Отмегим простейшие свойства векторного момента пары сил его числовое значение не зависит ог переноса сил пары вдоль своих линий действия, и он может быть равен нулю, если одна из сторон параллелограмма А B D превратится в точку, т. е. плечо пары или сила пары становится равной нулю. [c.34]

Если при равновесии системы сил, приложенных к твердому гелу, rjTaBHF,ift вектор R равен нулю, то его проекция па каждую координатную ось также равна нулю. Это справедливо и для главного момента Lq. Таким образом, из векторных условий равновесия пространственной системы сил следует шесть условий [c.45]

ХН0С1И. Аналогично, для грани О АС поверхностная сила равна р yAS для грани ОАВ р и для ЛВС p AS . Силы инерции для всех точек сплошной среды в тетраэдре равны ( —Рср< срАК), где а р среднее ускорение. Векторная сумма сил должна бьп ь равна нулю, т. е. [c.562]

Действительно, при Мо =Мо,=... = Мо имеем dxR = Q. Так как векторное произведение dxR равно нулю при любых значениях d, то = 0 при МоФО, т. е. силы приводятся к паре сил ( 42). [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...