Вектор функций напряжений

Формулы (3.21.5), выражающие усилия и моменты через векторы функций напряжения, в тензорной записи примут вид [c.81]

В случае односвязной области можно положить и = ю = 0. В самом деле, как видно из (6.153), это равносильно изменению вектора функций напряжения на слагаемое типа жесткого смещения [c.309]

Рассмотрим соотношение (6.153),. Опуская в нем несущественную в рассматриваемом вопросе величину В, получаем приращение вектора функций напряжения [c.319]

Функция напряжений является однозначной, если контур С ограничивает односвязную область и приложенная к контуру С система сил статически эквивалентна нулю. Если главный вектор сил Р на контуре С равен нулю, то [c.27]

Задача б) выше была решена методом функции напряжений, здесь эта же задача решается методом функции комплексного переменного. В задаче б) главные векторы и главные моменты сил, приложенных на каждой из границ г=г и г=гг, в отдельности равны нулю. На основании формул (6.100) и (6.101) и для этой задачи функции ф(г) и г з(2) являются внутри кольца голоморфными и определяются из условий (6.163), здесь /(/]), /(/г) принимают вид [c.147]

Перейдем теперь к рассмотрению задач, когда область В ограничена несколькими поверхностями 5/ (/ = 0, I,. .., /и), из которых все, исключая 5о, расположены вне друг друга, а 5о охватывает остальные. Заметим, что поверхность 5о может и отсутствовать. Будем для определенности рассматривать вторую основную задачу. Зададим на каждой поверхности 5 подлежащую определению вектор-функцию ф/(17) и образуем потенциал простого слоя, рассматривая эти функции как плотности. Тогда, осуществив для оператора напряжений предельный переход к точкам поверхности, придем к системе интегральных уравнений, которую можно символически записать в виде [c.566]

Естественно, что обеспечение точности при вычислении напряжений в точках р/ и сам процесс экстраполирования требуют тщательности расчетов. В таблице 11 приведены результаты расчетов модельного примера. Была взята квадратная площадка и на ней задана вектор-функция постоянной (единичной) величины, направленная по нормали к площадке. Был построен потенциал двойного слоя, имеющий ее своей плотностью, и в точках, расположенных на нормали к центру квадрата и на разных расстояниях, была вычислена компонента Ог (полагалось, что плоскость хОу лежит в плоскости квадрата). При вычислении напряжений осуществлялась вторичная дискретизация области на равных квадратиков. [c.616]

Через внутреннюю точку тела М можно провести бесчисленное множество поверхностей S и, следовательно, выбрать бесчисленное множество площадок с различной ориентацией, задаваемой, например, единичным вектором нормали к площадке . Для каждого вектора или для каждой ориентации площадки с помощью описанного выше предельного перехода мы будем получать разные векторы напряжения о. Таким образом, нельзя сказать, что напряжение в точке М есть вектор, это есть совокупность всех векторов напряжений для всех ориентаций площадок, содержащих в себе точку М. Можно сказать, что в точке М вектор а есть функция вектора , а = о(п). В дальнейшем будет показано, что это линейная вектор-функция, три компоненты вектора <т получаются в результате линейного преобразо- [c.31]

Здесь имеются в виду математические поля (векторное н тензорные). Такие поля представляют собой область пространства (в частности плоскости), каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор (в нашем случае — перемещение и) и(Л4) или тензор (в нашем случае—тензор второго ранга — напряжение в точке, деформация в точке, функции напряжений) в М , е(Д4), Х(Л4). Математическое поле может быть и скалярным (например, поле температур в некоторой области). Существует математическая теория — теория поля, изучающая свойства скалярных, векторных и тензорных полей. [c.456]

Нетрудно видеть, что функция напряжений (8.1) соответствует гипотезе плоских сечений, а условия (8.3) выражают равенство главного вектора и главного момента напряжений вектору и моменту торцевой нагрузки р(у). [c.50]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

Для трещины поперечного сдвига (типа II деформации окрестности верщины трещины) функция напряжений Вестергарда, компоненты тензора напряжений и вектора перемещений выражаются по формулам, аналогичным формулам (7) и (8). В частности, функция напряжений Эри для трещины поперечного сдвига равна [c.21]

Fa — функция напряжений (3.71). Вектор приращений дополнительных деформаций представляет собой сумму деформаций, [c.171]

Из представления (1.6.6) видно, что по заданному тензору напряжения Т тензор функции напряжений определен с точностью до слагаемого —-симметричного тензора, операция Ink над которым равна нулю. Таким тензором, как увидим ниже, в п, 2.1 гл. II, и что легко проверить, является линейный тензор деформации над любым вектором а [c.27]

Вектор перемещения, вычисляемый по функции напряжений [c.518]

Линейные по х, у слагаемые функции напряжений, не влияющие на напряжения и вносящие в выражение вектора перемещения постоянное слагаемое, определяются членами [c.554]

Могут быть рассмотрены усеченные (частные) пространства, являющиеся некоторой частью основного пространства (подпространством). Усеченные пространства могут быть смешанными, т. е. содержать только некоторые компоненты вектора перемещений и тензоров напряжений и (или) деформаций, функций напряжений. [c.28]

Из (3.21.1), (3.21.3) легко вывести формулы, выражаюш,ие усилия и моменты через векторы функций напряжения LvlK. Для этого внесем в (3.21.1), [c.45]

Обычно в задачах теории оболочек известны значения главных векторов и главных моментов на каждом из их части чныxJ oнтy-ров. Поэто можно считать известными и параметры и/, аЛ Это дает возможность при использований функций напряжения довольно просто выделять из искомого вектора функций напряжения U многозначную часть и фор лировать краевые задачи для однозначной части смещения и . [c.319]

Отдельные слагаемые в правой части равенства (П) зависят от выбора направлений осей координат, их можно было бы Б этом смысле назвать квазивекторами , но их совокупность, определяемая суммированием, является физическим вектором, определяющим вектор напряжения, приложенный к любой элементарной площадке. Отметим одну существенную особенность физических векторов напряжения р — они не образуют поля, так как в каждой точке сплошной среды имеется бесчисленное множество напряжений, зависящих от ориентации в пространстве площадки, к которой они приложены. Напряжения р не представляют собой вектор-функции точки. [c.108]

Напряжение — величина векторная и может быть представлена как функция векторного аргумента, определяемого направлением нормали к площадке. В пространстве напряжение, как всякий вектор, характеризуется тремя его составляющими, зависящими только от координат х, у, г, если напряжения в точке одинаковы для всех проведенных через нее площадок. Однако величина напряжений в различных площадках, проведенных через данную точку, непостоянна. Поэтому напряжения в какой-либо точке тела характеризуются не только координатами точки, но и ориентацией площадки, определяемой направлением внещ-ней нормали. Если площадка в системе прямоугольных координат X, у, г определяется нормалью N и не совпадает ни с одной из координатных плоскостей (рис. 1,а), вектор полных напряжений Р может быть разложен по направляющим осям на Рпх, Рпу, Рщ. Вектор Рп может быть разложен также на составляющие нормальное напряжение, направленное по нормали к площадке Сп, и касательное напряжение %п, которое в свою очередь можно разложить на составляющие Хпх и Хпу, параллельные координатным осям х и у (рис. 1,6). [c.6]

Пусть нам известны главные площадки в точке С напряженного тела. Свяжем с телом систе ly координат xyz, расположив начало в точке С и направив оси пёрпендикулярно главным площадкам (ось г — перпендикулярно площадке с нулевым главным напряжением). Теперь проведем через эту же точку тела произвольно площадку с нормалью V, направляющие косинусы которой в системе осей хуг суть I, т, п (п = Q — площадка нормальна главной с нулевым напряжением). Полное напряжение на этой площадке р ., а нормальная и касательная его составляющие суть и Найдем такую ориентацию этой площадки (т. е. найдем такие I и т), при коюрой Tv достигает своего максимума. С этой целью составим выражение для Tv в функции от / и т. Так как вектор полного напряжения / v равен геометрической сумме составляющих Ov и для Tv имеем формулу на основании теоремы Пифагора [c.400]

Стационарность этого функционала рассматривается в вариационном принципе Кастильяно, который формулируется так. Если деформированное состояние тела подчинено условиям совместности деформаций, то истинному состоянию тела соответствует стационарность функционала I у), которая имеет место на множестве вектор-функций сравнения %, порождающих статически возможные напряжения а, т. е. при вариациях бх, соответствующих статически возможным вариациям бо. Последние к тому же обладают самоуравновешенностью вследствие равенства нулю вариаций внешних сил. [c.521]

Справедливо и обратное утверждение если функционал /4 (х) приобретает стационарное значение на множестве вектор-функций сравнения х> порождающих статически возможные напряжения а, которым соответствуют самоуравновешенные вариации б(г, то деформации подчиняются условию их совместности. Это вытекает из того, что функционал /4[х] соответствует тождественному равенству П. Ф. Папковича (15.94) в предположении совместности деформаций в теле. [c.521]

При использовании исходной информации в виде тензора напряжений, как и в случае известных перемещений, возможно определение искомого вектора напряжений не по всей совокупности компонент тензора напряжений, а по отдельным из них. Такая возможность может быть реализована при условии однозначной разрешимости соответствующего уравнения или системы уравнений. В практических расчетах установление единственности решения обычно основьтается на анализе ядер интегральных операторов, являющихся функциями геометртческой формы тела и взаимного расположения точек интегрирования и измерений. В случае существования не единственного решения, в предположении, что исходные данные удовлетворяют условиям разрешимости, задача сводится к нахождению нормального решения системы интегральных уравнений (или уравнения), представляющего собой вектор-функцию, норма которого минимальна. Нормальное решение определяется однозначно, [c.68]

Поскольку уравнение (3.12) описьтает некорректную задачу, при ее решении важное значение имеет априорная информация об искомой вектор-функции Pk(x). В рассматгиваемых задачах такая информация имеется. Так как напряженно-деформированное состояние тела описывается системой дифференциальных уравнений линейной теории упругости, то, как известно, напряжения (деформации) в объеме тела, в том числе и на поверхности L (сечение), должны быть функциями, принадлежащими классу С , т . функциями, непрерывными вместе со своими первыми и вторыми производными. Соответственно вектор напряжений Рк х) -= °ki x)nj(p ) при достаточно гладком разрезе, обеспечивающем rij(x) [c.69]

В (мстеме уравнений (3.11) каждое интегральное уравнение в случае однозначной разрешимости может служить для определения неизвестной вектор-функции р (х). Наиболее целесообразным является совместное использование всей информации о напряженном состоянии наружной поверхности, т .-сов местное решение системы из трех интегральных уравнений. В этом случае повыитегся устойчивость процесса регуляризации, что выражается в значительном расширении диапазона оптимальных значений параметра регуляризации, для которых характерны весьма малые различия получаемых решений. Это объясняется тем, что при совместном использовании данных о тензоре напряжений как бы расширяется область задания правых частей при неизменной области искомого решения, что оказывает сильно регуляр1зирук>щее влияние. [c.71]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

I = I (i) — р-мерный вектор параметров исполнительных ме ханизмов и приводов л = я (<) — п-мерный вектор внешних воз мущений t — текущее время F — заданная /г-мерная вектор функция, зависящая от конструкционных особенностей РТК Переменные х, и, л и параметры имеют смысл реальных фи зических переменных и параметров, описывающих функциониро вание РТК. Так, например, в случае электромеханических РТК в число компонент вектора состояний х входят управляемые координаты исполнительных механизмов, токи в обмотках якорей приводов, а также их первые производные по времени в число компонент вектора управлений — управляющие напряжения и, вырабатываемые системой управления РТК и подаваемые в цепи якорей приводов в число компонент вектора параметров — массо-инерционные "характеристики звеньев исполнительных механизмов, заготовок, коэффициенты трения и упругости в редукторах, параметры двигателей. [c.59]

Этот способ накладывает некоторые ограничения. Во-первых, таким способом можно проводить только линейные виды анализа, поскольку при нелинейном анализе не выполняется принцип суперпозиции. Во-вторых, допустимо комбинировать только векторы результатов, компоненты которых являются линейными функциями от перемещений узлов по степеням свободы. К таким векторам не относятся, например, векторы эквивалентных напряжений и деформаций, векторы полных перемещений узлов, векторы полных реакций в закреплениях и т.п. Корректная комбинация всех векторов набора результатов выполняется с помощью команды Model => Output Pro ess. Способы комбинирования и вычисления данных для векторов результатов приведены в разделе 8.4. [c.314]

Корректная линейная комбинация может быть получена только для векторов результатов, компоненты которых являются линейными функциями от перемещений узлов по степеням свободы. К таким векторам не относятся, например, векторы главных напряжений, эквивалентных напряжений и деформаций, полных пере.мещений узлов, полных реакций в закреплениях и т.п. Вместо комбинации этих векторов FEMAP заново вычисляет их на основе линейной комбинации компо 1ент (если векторы необходимых компонент существуют). Это повторное вычисление возможно, когда комбинируются целостные наборы результатов. [c.345]

Из уравнений определяющих функцию напряжения, и ее граничных условий следует, что для одиосвязных тел из изотропных материалов при заданных усилиях на контуре функция напряжения не зависит от упругих постоянных, и, следовательно, в одинаково нагруженных телах одной и той же формы, но изготовленных из материалов, имеющих различные упругие постоянные, напряжения будут равны (теорема М.Леви). Для многосвязных изотропных тел функция напряжения не будет зависеть от упругих постоянных в том случае, когда главный вектор усилий, приложенных к каждому контуру, равен нулю. [c.75]

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта Ф и дивергенции 6 тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать 6 и Ф соотношением, являющимся следствием (1.6.9). [c.135]

В первое слагаемое входят известные, неварьируемые величины оно не нуждается в дальнейших преобразованиях. Чтобы избавиться от перемещений во втором слагаемом, выразим вектор напряжений f + e°-n через компоненты тензора функций напряжений Ф у и некоторые функции (а, Р=1, 2) от их нормальных производных в системе координат, связанной с поверх- [c.56]

Уравнения (42) являются условиями стапионарностн функционала Кастильяно в функциях напряжений [5.3], см. 2.2, Заметим, что деформационные граничные условия получе.ш в [4.11] невариационным путем в координатах (v,t,n) и выражены через компоненты деформаций е, их можно преобразовать к (42), используя (8) и правило преобразования компонентов векторов при замене координат (см. Приложение 2). [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...