Ламе уравнение упругости

Это соотношение называют уравнением упругости Ламе. [c.241]

На рис. 4.14 показано распределение напряжений в толстостенном цилиндре с отношением наружного и внутреннего радиусов Rq/Ri 2, определенное с помощью уравнения (4.57). Если в этом уравнении принять а= 1, то оно совпадает с уравнением Ламе для упругой деформации. При увеличении показателя степени ползучести а отличие от распределения упругих напряжений увеличивается, что аналогично характеру распределения напряжений при ползучести при изгибе и ползучести при кручении, описанным в разделе 4.1. Напряжения В тангенциальном направлении sq в общем случае при ползучести становятся максимальными на наружной поверхности, возникает градиент напряжений и в радиальном направлении. [c.109]

Совокупность уравнений и формул предыдущего параграфа полна в том смысле, что из нее различными способами можно составить системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных. В частности, в теории оболочек можно получить аналог уравнений Ламе теории упругости, т. е. построить систему из трех уравнений относительно трех компонент смещения и , и 2, W. Для этого надо воспользоваться [c.74]

Мы видели, что Эйлер в своем выводе дифференциального уравнения упругой линии использовал выражение энергии деформации изогнутого бруса (см. стр. 45). Грин, обсуждая вопрос о необходимом числе упругих постоянных, полагает, что энергию деформации можно выразить однородной функцией от компонент деформации (см. стр. 264). Ламе в своей книге по теории упругости ) приводит теорему Клапейрона, констатирующую, что работа, произведенная внешними действующими на упругое твердое тело силами при его деформировании, равна накопленной в этом теле энергии деформации (см. стр. 145). [c.346]

Ас и параметры Ламе изотропных упругих свойств среды сравнения. Интегро-дифференциальные уравнения (2.76), (2.77) запишем в виде [c.50]

Преобразование уравнений Ламе движения упругого тела к криволинейным ортогональным координатам. [c.137]

Уравнения упругого равновесия Ламе [c.150]

Внося (9.6) и (9.7) в уравнения упругого равновесия Ламе [c.237]

Уравнения упругих движений в отсутствии массовых сил возьмём в форме Ламе [c.419]

Внося (15.78) в уравнения упругости Ламе, имеем [c.430]

Уравнения упруго-вязкой среды в сложном напряженном состоянии получают сложением правых частей уравнений Гука (3) и Ньютона (7) среднее давление а исключается при помощи соотношения (10) гл. 2. Если ввести упругие постоянные Ламе (гл. 2). [c.135]

Модели для анализа напряжений и упругих деформаций твердых тел формируют с помощью основного уравнения теории упругости — уравнения Ламе. Это уравнение получается из условия равновесия сил, действующих на элемент твердого тела в направлении оси Xii [c.157]

Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Система уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред уравнения Навье— [c.5]

Перейдем к постановке задачи кручения кусочно-однородных стержней. Будем считать, что области 5., ограниченные снаружи контурами I ( =1,2,. .., т), заполнены упругой средой с постоянными Ламе Хк и рй. Область же, расположенная между контурами 0 и всеми остальными, заполнена средой с постоянными Яо и ро- Из уравнений равновесия следует, что на контурах Ьк (й = 1,2.....т) должны выполняться равенства (извне [c.269]

В заключение остановимся еще на одном вопросе. Выше были сформулированы краевые задачи для бигармонического уравнения. В,отдельных случаях, например в случае второй основной задачи, при плоском состоянии, постоянные Ламе не входят в краевое условие. Это обстоятельство дает основание предположить, что они вообще не оказывают влияния на искомые напряжения. Однако такое утверждение является справедливым лишь для односвязной области. Дело в том, что в случае многосвязных областей для разрешимости соответствующих краевых задач необходимо ввести в решение определенные слагаемые, уже, как правило, содержащие эти постоянные. Поэтому окончательное решение все же оказывается зависящим от упругих постоянных. Подробно этот вопрос рассматривается далее на основе аппарата теории аналитических функций. [c.283]

Перейдем теперь к рассмотрению плоской задачи теории упругости для области с угловой точкой. Исследуем задачу для клина. Перепишем уравнения Ламе в полярной системе координат [c.312]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

В 1828 г. основной аппарат математической теории упругости нашел свое завершение в трудах французских ученых Г. Ламе (1795—1870) и Б. Клапейрона (1799—1864), преподававших в то время в институте путей сообщения в Петербурге. В их работах дано приложение общих уравнений к решению практических проблем. [c.5]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Рассмотрим теперь распространение малых возмущений в упругих телах. Уравнения Ламе в случае малых относительных перемещений, не сопровождающихся изменением температуры Т = Tq), имеют вид [c.397]

Ясно, что уравнения Ламе в случае адиабатических процессов имеют тот же вид (10.1), что и в случае изотермических процессов, если под Я в них понимать Я-ад. В дальнейшем ради простоты письма вместо Хад будем писать просто % и пользоваться обычными уравнениями Ламе (10.1), помня, что они годятся не только для описания изотермических процессов, но и адиабатических процессов в упругих телах, если в них Я. равно Яад. [c.399]

Покажем, что при заданных % и уравнение Рэлея (10.31) имеет единственный действительный положительный корень, удовлетворяющий условию с < 2, т. е. покажем, что вблизи свободной поверхности полупространства, занятого любой изотропной упругой средой, характеризующейся постоянными Я и р,, могут распространяться поверхностные волны рассматриваемого типа и что скорость распространения этих волн единственным образом определяется значениями параметров Ламе Я и р. [c.406]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Уравнение (12.121) по природе своей аналогично уравнениям Ламе в теории упругости и является уточненным (учтен сдвиг) приближенным дифференциальным уравнением изгиба стержня. [c.205]

Таким образом, задача сводится к описанию дес юрмации зернистой среды под дeil твиeм внешних сил. Для этого были использованы известные уравнения, описывающие деформации грунтов (уравнение Ламе для упругой среды, подчиняющейся линейному закону Гука) и линейный закон фильтрации Дарси. Полученная замкнутая система уравнений позволяет после некоторых упрощений с помощью ЭВМ определить профили скорости на входе и на выходе из слоя. [c.278]

Уравнения упругого равцовесия в перемещ ениях. Учитывая выражение лапласиана вектора перемещения и в криволинейных координатах по формуле (2 .100) и выражение компонент градиента скаляра div а = 0 по формуле (2 .87), получим векторное уравнение Ламе (4.15) в криволинейных координатах [c.119]

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т. е. вьшолнить алгебраизацию исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики. [c.116]

Это решение очень важно, так как раскрывает бигармони-ческую природу решения уравнений (4.109) (т. е. уравнений упругого равновесия Ламе при отсутствии массовых сил). [c.120]

На основании сказанного эти уравнения линейны относительно параметров (16.32), и число их равно числу этих параметров эти постоянные и будут определены из уравнений (16.38). Внося полученные значения параметров (16.32) в формулы (16.31), мы получим интегралы уравнений упругого равновесия Ламе, соответствующие рассматриваемой задаче упругости, но с приближённым удовлетворением граничных условий. Это приближение будет тем больше, чем больше членов взято в формулах (16.31) и чем удачнее выбор частных интегралов и , [c.450]

Однако это равенство правильнее называть не общим решением уравнений Ламе, а функциональным представлением в форме Папко-вича—Нейбера вектора перемещения и в упругом изотропном однородном теле. [c.78]

Перейдем к детальному исследованию постановок статических задач теории упругости. В этом случае требуется выполнение уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций в напряжениях или уравнений Ламе. Если в уравнениях равновесия присутствуют массовые силы (что приводит к появ- [c.245]

Остановимся еще на вопросе о применении в теории упругости матрицы (тензора) Грина. Определяется она следующим образом. Пусть р — некоторая точка области О и Г(р,д) — соответствующее ей решение Кельвина — Сомильяны. Пусть /(р, (/)—некоторая матрица, каждый столбец которой удовлетворяет уравнениям Ламе (по координатам точки р), а точка р присутствует в элементах этой матрицы как параметр. Тогда можно показать (повторяя фактически все рассуждения, [c.569]

Теперь можно составить план решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющн перемещения ы, о и ш необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) и удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найденным перемещениям из формул Коши (4.3) определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука (4.6)—составляющие напряжений. [c.45]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...