Бельтрами

Первоначальную идею энергетической гипотезы, выдвинутую в 1885 г. Бельтрами, усовершенствовал львовский проф. А. Губер (в 1904 г.), а затем уточнили Р. Мизес (в 1913 г.) и Г. Генки (в 1924 г.). Экспериментальная проверка пятой гипотезы показала, что она справедлива только для пластичных материалов, у которых =сг с, но критерий перехода здесь точней, чем у третьей гипотезы, [c.240]

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Э. Бельтрами (1835—1900) — итальянский математик Д. Мичелл (1863— 1940) — австралийский механик. [c.118]

Сравнивая (2.150) с (2.121), видим, что поле (2.150) удовлетворяет уравнениям равновесия и уравнениям Бельтрами — Митчелла. Введение функции г ) позволяет удовлетворить граничным условиям на S , в самом деле, в любой точке на S2 [c.70]

Оператор называют гармоническим оператором Лапласа. Уравнения (2.42) получены Бельтрами и носят его имя. Аналогичные уравнения для произвольных объемных сил получены Мичеллом [23, 35]. [c.45]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Если задача теории пластичности решается в напряжениях, то для их определения в общем случае нужно решить уравнения (10.24) и систему из шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая является обобщением уравнений Бельтрами — Митчелла. Ввиду громоздкости названные уравнения [c.305]

Для упругого тела при постоянных объемных силах решение такой задачи сводится к решению трех уравнений равновесия и шести уравнений Бельтрами (см. 2.7) [c.351]

Эти равенства составляют первую группу соотношений Бельтра-ми — Митчелла. [c.82]

Для получения второй группы соотношений Бельтрами — Митчелла преобразуем (5.29). С этой целью продифференцируем второе уравнение (5.26) по Хз, третье — по Х2 и сложим их полученный результат суммируем с (5.29) тогда будем иметь [c.82]

Следовательно, соотношения Бельтрами — Митчелла представляют собой шесть линейных дифференциальных уравнений, содер-жаш,их шесть функций Ors- [c.83]

В случае, когда массовые силы отсутствуют или постоянны, соотношения Бельтрами — Митчелла принимают вид [c.83]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те шз них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра-WH — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным методом. [c.90]

Здесь а, Ь — пока неизвестные постоянные. Этими компонентами тензора напряжений соотнощения Бельтрами — Митчелла удовлетворяются тождественно тождественно удовлетворяются также первые два уравнения равновесия, а из третьего уравнения получаем [c.92]

Бельтрами — Митчелла и граничному условию на боковой поверхности тела. [c.199]

Из шести соотношений Бельтрами — Митчелла четыре соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят к уравнениям [c.199]

В противоположность приему, план которого рассмотрен выше (во всех преобразованиях выражать неизвестные через перемещения), можно применить другой—все неизвестные выразить через напряжения (в этом случае необходимо использовать уравнения неразрывности). В итоге получим следующие уравнения метода сил (уравнения Бельтрами) [c.32]

Поскольку при применении вариационного уравнения (3.6.1) мы задаем смещения и, о, щ, согласные со связями, наложенными на тело, то шесть тождественных соотношений Сен-Венана (1.7.4) будут также выполнены. Но если мы зададим шесть компонентов напряженного состояния (а 5, Оу и т. д.), то должны быть выполнены шесть тождественных соотношений Бельтрами. [c.72]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Таким образом, при решении прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций oij Xk), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (4.3), уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничным усло- [c.80]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Может случаться, что сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать [c.81]

Принятые компоненты oij тождественно удовлетворяют уравнениям совместности Бельтрами (4,54) и первым двум уравнениям равновесия (4.3). Третье уравнение равновесия удовлетворяется при условии [c.84]

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия (4.3) и условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) будут удовлетворены, если в произвольной точке М (Xk) бруса принять [c.85]

Выясним, удовлетворяет ли это решение (а) основным уравнениям теории упругости, т. е. является ли оно точным. Очевидно, что уравнения Бельтрами—Мичелла (4.51) и дифференциальные уравнения равновесия (4.3) выполняются при отсутствии массовых сил. Граничные условия (4.6) при данном решении (а) принимают вид [c.87]

Действительно, уравнения совместности Бельтрами (4.54) и дифференциальные уравнения (4.3) будут удовлетворяться, а граничные условия принимают вид [c.89]

Можно показать, что условие (5.63) влечет за собой выполнение уравнений Бельтрами—Мичелла, представляющих уравнения Эйлера—Остроградского для функционала а также выполнение геомет- [c.103]

Уравнения Бельтрами. Полученные в декартовых координатах шесть скалярных уравнений Бельтрами (4,55), определяемых ( рмулой (4.54) можно записать одним тензорным уравнением. [c.119]

С помощью тензорного уравнения (6.25) можно записать шесть скалярных уравнений Бельтрами в любой системе координат. [c.119]

Уравнения Бельтрами получим на основании тензорного уравнения (6.25). [c.128]

Если спроектировать первое уравнение (6.69), например, на ось 2, то аналогично получим скалярное уравнение, которое будет совпадать с уравнением, полученным в результате проектирования третьего уравнения (6.69) на ось г. Непосредственно можно убедиться, что среди девяти скалярных уравнений, эквивалентных системе (6.69), только шесть будет различных — это следующие уравнения Бельтрами [c.129]

Остальные компоненты тензора напряжений Огз = Oj2 и Osi = 0 i8 Судем находить так, чтобы при выполнении условий совместности-Бельтрами (4.55) и граничных условий (4.6) удовлетворялись уравнения равновесия (4.3). [c.132]

Функции Osi = аз1 (j j, дсг) и Ogg == Oaz (л 1> Хг) ДОЛЖНЫ удовлетворять условиям совместности Бельтрами (4.55). При принятых значениях напряжений (7.3) S = = О и, следовательно, первые четыре уравнения Бельтрами удовлетворяются тождественно, а два последних принимают вид [c.133]

Как уже было показано (см. гл. V, 6), вариационное уравнение (5.63) влечет за собой выполнение условий совместности Бельтрами, которые в случае задачи кручения выражены уравнением (7.33). Легко установить, что уравнение Пуассона (7.33) является следствием вариационного уравнения (7.229), т. е. представляет собой уравнение Эйлера — Остроградского для функционала (7.228). Действительно, исходя из уравнения (7.229), имеем [c.178]

Из уравнений (8.2) вытекает, что компоненты Оз и Оа2 не зависят от координаты Лд и, следовательно, во всех поперечных сечениях каждая из них является одной и той же функцией только Xj и Хг. Эти функции Оз (a i, Х2) и Оз2 (Xi, Х2) должны удовлетворять уравнению равновесия (8.3) и условиям совместности Бельтрами. При принятых значениях (8.1) для других компонент тензора напряжений первые четыре уравнения (4.55) удовлетворяются тождественно, а остальные два приводятся к виду [c.203]

Поскольку вариация бФ произвольна в области F, а на контуре h этой области удовлетворяет условию (8.78), из равенства (8.85) вы текает уравнение Пуассона (8.16),полученное из условий совместности Бельтрами. [c.221]

При рассматриваемых массовых силах это частное решение удов летворяет уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) и, следовательно, реализуемо в линейно-упругом теле. Остается найти функции oij, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия (9.12). [c.227]

Мшрофавова О.В. Использование теории Громеки-Бельтрами для анализа условий существования макровихревой структуры внутренних закрученных [c.405]

Когда граничные условия сформулированы в напряжениях, то для решения задач все необходимые уравнения выражают в напряжениях. Представим уравнения совместности деформаций через напряжения при постоянных объемных силах. Это уравнения Бельтрами—Митчела. Преобразуем первое уравнение (1-11) [c.23]

Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматриваемая задача также 5Гвляется простейшей задачей теории упругости, компоненты тензора напряжений (5.65) тождественно удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора напряжений (5.65) также удовлетворяют уравнениям упругого равновесия. [c.96]

ВИЯМ (4.6). Далее по полученным функциям aij (Xk) находятся функции ги (Xh) из алгебраических уравнений (4.5) закона Гука. Так как при нахождении функций atjixii) удовлетворялись условия совместности Бельтрами—Мичелла, то функции etj (xj будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е. необходимым и достаточным условиям интегрируемости уравнений (4.1). Тогда путем интегрирования уравнений (4.1) определяются перемещения щ (х ). [c.81]

В тех случаях, когда массовые силы /< можно считать равными нулю, условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.54) при линейных функциях aij (хц) удовлеторяются тождественно. Следовательно, если эти функции не будут противоречить уравнениям равновесия (4.3), то они представляют точное решение рассматриваемой задачи при выполнении ее граничных условий (4.6). При этом в силу теоремы о единственности (см. гл. V) это решение будет однозначным. [c.83]

Г кольку уравнение Пуаееона получено исходя из уравнений совместности Бельтрами, то уравиения (7.35) всегда интегрируются и в результате находится функция (j i, х , определяющая иснрив- [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...