Томсона теорема для движения жидкости

В гл. 2 были описаны основные кинематические свойства вихревых движений и доказаны соответствующие теоремы. Теперь, располагая уравнениями динамики, можно установить динамические свойства вихрей. В основе их рассмотрения лежит теорема Томсона если идеальная жидкость движется под действием сил, обладающих однозначным потенциалом, и процесс баротропен, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру постоянна во времени. Напомним, что контур называют жидким, если во время движения он состоит из одних и тех же частиц. [c.107]

Температура вспышки 426 Томсона теорема для движения жидкости 677 [c.733]

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости [c.221]

Решение этого вопроса, подобно изложенному в 6, удобно получается из теоремы Томсона. Отбрасывая поступательное движение, как не влияющее на внутреннее движение жидкости, делаем начало О наших подвижных осей Ох, Оу, Ог неподвижным. Выражаем проекции абсолютной скорости точки жидкости на эти оси через [c.253]

Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити. Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений . Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться [c.107]

Теорема Томсона. Если массовые силы допускают потенциал. а идеальная жидкость баротропна, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменной. [c.151]

Если в некоторый момент времени io движение жидкости или газа было потенциальным, то при соблюдении условий теоремы Томсона оно было и будет потенциальным и во все другие моменты времени. [c.332]

Вихри, срывающиеся с цилиндра с частотой, определяемой числом Струхаля, приводят к появлению знакопеременной подъемной силы. Механизм этого явления заключается в следующем при срыве вихря, например, с нижней стороны горизонтального цилиндра (левое вращение), возникает вращательное движение жидкости, противоположное по знаку вращению оторвавшегося вихря, что следует из постоянства циркуляции (теорема Томсона). Это вращательное движение жидкости вокруг цилиндра приводит к увеличению скорости сверху и к ее понижению снизу, что по теореме Бернулли повышает давление снизу цилиндра и понижает — сверху. Вследствие разности давлений возникает направленная поперек потока и вверх подъемная сила. Через полупериод, определяемый для круглого цилиндра числом Струхаля, равным 0,2, срывается сверху вихрь правого вращения циркуляция будет противоположного вращения, что вызывает появление подъемной силы, направленной вниз. Через следующий полупериод картина зеркально повторится и т. д. При неизменной скорости потока такие вихри регулярно срываются с цилиндра и на него также регулярно действуют импульсы силы. Подъемная сила не может мгновенно появиться и исчезнуть через полупериод, что объясняется инерцией жидкости, поэтому график движения ее имеет вид синусоиды со сдвигом фазы приблизительно на 90° относительно движения. Это установлено опытами в трубе с использованием градуированных датчиков давления с поправками на инерцию [24]. [c.100]

Легко видеть, что в соответствии с теоремой Томсона в идеальной жидкости вращательное вихревое движение частиц возникнуть или исчезнуть не может. Это и физи- [c.22]

А Согласно первой теореме Гельмгольца вихревая трубка Z движении жидкости переходит в вихревую трубку Z, а контур охватывающий Z, переходит в контур 4 (рис. 68) По теоре Томсона [c.268]

В гл. 2 были описаны основные кинематические свойства вихревых движений и доказаны соответствующие теоремы. Теперь, располагая уравнениями динамики, можно установить динамические свойства вихрей. В основе рассмотрения этих свойств лежит теорема Томсона если жидкость движется под действием только потенциальных сил и процесс баротропен, то циркуляция [c.116]

Из теоремы Томсона вытекают свойства сохраняемости вихревых движений в идеальной баротропной жидкости. Действительно, пусть в начальный момент времени суммарная интенсивность вихревых трубок в некоторой части движущейся жидкости-имела значение J. В силу теоремы Стокса циркуляция Г по любому замкнутому контуру, охватывающему эти трубки, равна 2J. Так как по теореме Томсона dY/dt = О, то циркуляция, а значит, и интенсивность J не изменятся во все время движения. В частности, если в начальный момент движение было полностью безвихревым (всюду в области течения Г= О и У= 0), то оно останется безвихревым во все время движения. Иными словами, в идеальной баротропной жидкости вихревые движения не могут возникать или исчезать, если действующие на жидкость силы имеют однозначный потенциал . [c.118]

Из теоремы Томсона можно сделать два важных вывода. Первый — если в какой-либо части движущейся или неподвижной идеальной баротропной жидкости в некоторый момент времени циркуляция по замкнутому контуру равна нулю, то она остается равной нулю и в последующие моменты времени, или иначе — если движение было безвихревым, то и в последующие моменты времени оно останется безвихревым. Это положение часто называется теоремой Лагранжа. [c.94]

Теорема Томсона. Если массовые силы, под действием которых движется жидкость, имеют потенциал U, и плотность жидкости есть функция только давления, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному через одни и те же частицы жидкости, есть величина постоянная во все время движения [c.513]

Теоремы Гельмгольца о вихревом движении основываются на теоремах Стокса и Томсона и устанавливают условия сохраняемости вихревого движения в идеальной жидкости. [c.95]

Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями. Если эти линии лежат в области потенциального движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если же они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркуляция вокруг них не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Так как количество движения и энергия самой вихревой нити малы по сравнению с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см. ниже, пример первый). Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуляции вокруг оси вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается влиянием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движение вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на движение вихревой нити оказывает внешнее движение. [c.109]

ЧТО это тело перед началом движения окружено замкнутой жидкой. чинней, не содержащей в себе, однако, самого тела. Тогда, как это видно из фиг. 125, после возникновения движения за краем тела будет следовать поверхность, не лежащая внутри жидкой линии, деформировавшейся вследствие движения тела. Следовательно, к этой поверхности нельзя применить теоремы Томсона. На этой поверхности, где встречаются частицы жидкости, до этого бывшие разделенными, изменение скоростей при переходе с одной стороны этой поверхности на другую может быть или непрерывным, как это имеет место в рассматриваемом примере, или же, [c.169]

Если силы, действующие в жидкости, имеют потенциал, то по теореме Томсона циркуляция скорости по всякому такому жидкому контуру остается равной нулю во все время движения. Следовательно, поверхность вихревой трубки, которая полностью определяется этим свойством лежащих на ней жидких контуров, во все время движения остается поверхностью вихревой трубки. Эта поверхность отделяет внутреннюю для вихревой трубки массу жидкости от наружной. Так как эта поверхность во все время движения, при всех своих деформациях, состоит из одних и тех же частиц жидкости (ибо она является жидкой поверхностью), то ни одна частица жидкости не может перейти из области вну три [c.305]

Вследствие второй теоремы Гельмгольца этот контур будет во все время движения находиться на поверхности вихрево трубки и будет состоять из одних и тех же частиц жидкости он является поэтому жидким контуром. Так как силы, действующие в жидкости, по предположению имеют потенциал, то по теореме Томсона циркуляция скорости по контуру Е, во все время движения остается постоянной. Но по теореме Стокса циркуляция скорости по контуру, охватывающему вихревую трубку, равна удвоенной интенсивности ее. Следовательно, в данном случае остается постоянной во все время движения и интенсивность вихревой трубки. [c.306]

Заметим, что в случае, когда траектория частицы проходит вдоль поверхности тела, обтекаемого средой, в среде нельзя провести материальный контур, охватывающий такую траекторию. Поэтому теорема Томсона и теорема о сохранении вихря, строго говоря, неприменима в тонком пристеночном (погранично м) слое. Более того, в этом слое сама модель идеальной жидкости становится неприменимой ввиду заметной роли вязкости среды. Несмотря на это, в ряде случаев, например в случае хорошо обтекаемых тел, движение среды почти везде близко к потенциальному течению. [c.491]

Из теоремы Томсона следует, что если движение идеальной жидкости возникает из состояния покоя и является непрерывным, то циркуляция скорости по произвольному замкнутому контуру в потоке будет равна нулю, так как в начальный момент она была равна нулю. [c.103]

Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона (W. Thomson, 1869) или законом сохранения циркуляции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования уравнения Эйлера в форме (2,9) и потому связан с предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтро-пического движения этот закон не имеет места ). [c.31]

Внешность поверхности тела, область, в которой происходит непрерывное возмущенное движение жидкости, может быть. многосвязноп. Однозначность потенциала, связанная с равенством нулю циркуляции по любым замкнутым контурам, следует из теоремы Томсона и условия непрерывности движения жидкости. [c.188]

Уравнения гидродинамики и их интегралы. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Сообщение движения жидкости импульсом. Теорема Томсона. Гельмгольцев принцип сохранения напряжения вихревой нити. Основные принципы динамики, отнесенные к жидкой массе. Определенность гидрокннетической задачи. [c.322]

Если бы в нача1ьный момент времени течение жидкости было невихревое, то циркуляции скорости по всем замкнутым контурам, обращаемым в точки, были бы равны нулю. По теореме Томсона при существовании силовой функции это свойство циркуляций останется во все время движения, т. е. во все время двгижения жидкость будет иметь невихревое течение. Эта теорема, являющаяся частным случаем принципа сохранения вихрей, была доказана в первый раз Лагранжем ). Пользуясь теоремой Томсона, сделаем здесь еще одно интересное заключение о движении несжимаемой жидкости, движущейся под действием сил, имеющих однозначную в рассматриваемом пространстве силовую функцию, внутри замкнутого многосвязного сосуда. Предположив, что начальное течение жидкости есть невихревое, мы должны будем по 11 допустить, что циркуляции скорости по всем замкнутым контурам, обращаемым в точки, суть нз ли, а некоторые из циркуляций по главным контурам имеют конечные величины. Отсюда по теореме Томсона следует, что во все время движения жидкость будет иметь внутри сосуда невихревое течение с теми же главными циркуляциями. Но так как ( 11) главные циркуляции вполне определяют рассматриваемое течение, то оно все время буОет оставаться неизменны.м, канавы бы пи бы.т действующие силы. [c.396]

Теорема Томсона или закон сохранения циркуляции скорости утверждает, что если 1) силы, действующие в жидкости имеют потенциал 2) идеальная жидкость баротроп-на 3) поле скоростей непрерывно, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения жидкости [c.46]

Аналогичным образом из закона сохранения циркуляции скорости можно было бы сделать ещё и следующий вывод. Предположим, что в некоторый момент времени движение жидкости (во всем её объёме) потенциально. Тогда циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в ней равна нулю ). В силу теоремы Томсона можно было бы заключить, что это будет иметь место и в течение всего дальнейшего времени, т. е. мы получили бы результат, что если движение жидкости потенциально в некоторый момент времени, то оно будет потенциальным и в дальнейшем (в частности, должно было бы быть потенциальным всякое движение, при котором в начальный момент времени жидкость вообще покоилась). Этому соответствует и тот факт, что уравнение (2,11) удовлетворяется при rotv = 0 тождественно. [c.31]

Из теоремы Томсона следует свойство сохраняемости вихревых движений в идеальной баротропной жидкости. Действительно, пусть в начальный момент времени суммарная интенсивность вихревых трубок в некоторой части движущейся жидкости имела значение У. В силу теоремы Стокса циркуляция Г по любому замкнутому контуру, охватывающему эти трубки, равна 2/. Так как по теореме Томсона dTldi = О, то циркуляция, а значит, и интенсивность J не изменяются во все время движения. В частности, если в начальный момент движение было полностью безвихревым (всюду в области течения Г = О и У = 0), то оно 108 [c.108]

Если в плоскопараллельном движении задана система точечных вихрей, то для определения неустановившегося поля скоростей достаточно знать движение каждого вихря. По теореме Томсона циркуляция каждого вихря сохраняется постоянной, Ги = onst. В безграничной массе жидкости для опредсле- [c.296]

Если Ц. с. равна кулю по любому контуру, проведённому внутри жидкости, то течение жидкости— звихре-вое, или потенциальное, и потенциал скоростей—однозначная ф-ция координат. Если же Ц. с. по нек-рым контурам отлична от нуля, то течение жидкости либо вихревое в соответственных областях, либо безвихревое, но с неоднозначным потенциалом скоростей (область течения многосвязная). В случае потенц. течения в многосвязной области Ц, с. по всем контурам, охватывающим одни и те же твёрдые границы, имеет одно и то же значение. Ц. с. широко используется как характеристика течений идеальной (без учёта вязкости) жидкости. По динамич. теореме Томсона (Кельвина) Ц. с. по замкнутому жидкому контуру остаётся постоянной во время движения, если, во-первых, жидкость является идеальной, во-вторых, давление (газа) жидкости зависит только от плотности, в-третьих, массовые силы потенциальны, а потенциал однозначен. Для вязкой жидкости Ц. с. со временем изменяется вследствие диффузии вихрей. При плоском циркуляц. обтеканий контура идеальной несжимаемой жидкостью, при к-ром скорость на бесконечности отлична от нуля, воздействие жидкости на контур определяется по Жуковского теореме и прямо пропорционально значению Ц. с., [c.441]

Развитие г1]дрогазодннамики в XIX в. связано с именами крупнейших ученых-физиков и математиков, разрабатывавших теорию движения идеальной (невязкой) жидкости, достигшую во второй половине столетия высокого совершенства благодаря работам Лагранжа, Коши, Кирхгофа, Ренкина, Стокса, Пуассона, И. С. Громеки, В. Томсона (Кельв1ша), Гельмгольца, Релея, Мавье и др. Важные теоремы о вихревом движении идеальной жидкости были сформулированы Стоксом, Томсоном, Гельмгольцем. [c.10]

Из последнего заключения вытекает теорема через всякие два положения точки движущейся жидкости можно провести две системы бесконечно малыл жидких триортогональ-мых линий, которые во время движения переходят одна в дру-гую ). Томсон называет эллипсоид, в который преобразуется бесконечно малый шарик, эллипсоидом деформации, а линии, сохраняющие триортогональность, которые соответствуют осям эллипсоида, — осями деформации. Понятно, что но направлению осей деформации частица претерпевает наибольшее и наименыиее удлинения мы называем сжатие отрицательным удлинением. [c.14]

Более точное исследование движении однородной жидкости без трения. Потенциальное течение. До сих пор мы удовлетворялись в большинстве случаев определением только средних значений скорости течения жидкости. Между тем целью математической гидродинамики является определение скорости течения в каждой точке пространства, именно так, как об этом было сказано в 2. Для однородной жидкости, лишенной трения, в этом направлении достигнуты довольно большие успехи, однако с помощью сложных математических методов, знания которых мы не можем предполагать у читателя настоящей книги. Поэтому мы ограничимся здесь только некоторыми общими рассуждениями о свойствах движения однородной жидкости без трения и некоторыми простыми примерами. Прежде всего мы остановимся на теореме В. Томсона [W. Thomson (Lord Kelvin)], доказательство которой отложим до конца параграфа. Предварительно введем и объясним некоторые понятия. [c.82]

При этом, однако, следует обратить особое внимание на следующее обстоятельство утверждение, что при движениях однородной идеальной жидкости, возникающих из сосюянич покоя под действием потенциального силового поля, не может возникнуть циркуляции, справедливо в общем случае только для областей, ограниченных такими жидкими линиями, которые в то время, когда жидкость еще была в покое, образовывали замкнутые кривые. И только на области, ограниченные такими жидкими линиями, и распространяется вышеприведенное следствие теоремы Томсона. Однако нетрудно указать такие возникающие из состояния покоя движения, при которых в жидкости возникают поверхности, не лежащие внутри тех областей, к которым относится теорема Томсона. В таких случаях дело идет о слиянии (встрече) частиц жидкости, до этого разделенных. [c.169]

Динамика вихревого движения. При изучеиии динамической стороны вихревого движения можно быть кратким, так как теорема В. Томсона, которой мы сейчас воспользуемся, уже выведена. В существенном дело сводится к тому, чтобы доказать, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости и что напряжение ее постоянно ие только в пространстве, т. е. вдоль самой нити (№ 83), но и во времени. [c.172]

Следовательно, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в незавихренной в данный момент части жидкости, равна нулю. Применяя теорему Томсона, имеем, что в любой момент в этой части жидкости циркуляция по замкнутому контуру равна нулю, или эта часть жидкости во все время остается незавихренной. Этот результат составляет содержание теоремы Лагранжа, которую можно еще формулировать в виде если жидкость идеальна баротропна, массовые силы имеют потенциал и в начальный момент времени движение обладало потенциалом скорости, то оно будет обладать потенциалом скорости и во все время движения. [c.58]

Теорема В. Томсона. В. Томсон (лорд Кельвин) доказал, что живая сила несжимаемой жидкости, движущейся в односвязном объеме с потенциалом скоростей, меньще живой силы во всяком другом движении, при котором па границах объема жидкость обладает движением, одинаковым с безвихревым, внутри же обладает вихрями. В самом деле, пусть живая сила в безвихревом движении будет Т, а во всяком другом — Т, при условии, что на границах объема нормальная составляющая скорости V последнего движения одинакова с нормальной составляющей скорости V безвихревого движения [c.122]

После того как мы выяснили, что образование циркуляции вокруг крыла необходимо связано с образованием начального вихря, легко показать, что возникновение циркуляции не противоречит теореме Томсона. Вообразим сначала тело, покоящееся относите 1ьно жидкости, и проведем вокруг него замкнутую жидкую линию (путь интегрирования циркуляции фиг. 127), Приведем теперь тело в движение. Тпк как проведенная нами жидкая линия окружала крыло в состоянии покоя, то она будет окружать его и в состоянии движения, и следовательно, внутри нее будет заключаться кроме крыла также и начальный вихрь (фиг. 128). Но циркуляция вокруг крыла, как это ясно видно из фиг, 55 таблицы 22, равна по величине и противоположна по направлению циркуляции начального вихря, вследствие чего линейный интеграл скорости вдоль замкнутой жидкой линии остается равным нулю и при движении. Обратно, если предположить, что справедлива теорема Томсона, го отсюда будет следовать, что циркуляция вокруг крыла равна по величине и противоположна по направлению циркуляции начального вихря. В самом деле, так как кривая на фиг. 129 окружала кры- [c.180]

Если Ц. с. равна пулю по любому контуру, проведенному внутри жидкости, то течение жидкости — безвихревое, или потенциальное течение, и потенциал скоростей — однозначная ф-ция координат. Если же Ц. с, по нек-рым контурам отлична от нуля, то течение жидкости — либо вихревое в соответственных областях, либо безвихревое, но с неоднозначным потенциалом скоростей (область течения многосвязная). В случае потенциального течения в многосвязной области Д. с. по всем контурам, охватывающим одни и те же твердые границы, имеет одно и то же значение. Д, с, широко иснользуется как характеристика течений идеальной (без учета вязкости) жидкости. По динамич. теореме Томсона (Кельвина) Д. с, по замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения, если 1) жидкость является идеальной, 2) давление (газа) жидкости зависит только от плотности и 3) массовые силы — потенциальны, а нотенциал однозначен. Для вязкой жидкости Д. с. со временем изменяется вследствие диффузии вихрей. При плоском циркуляционном обтекании контура идеальной несжимаемой жидкостью, при к-ром скорость на бесконечности отлична от нуля, воздействие жидкости на контур определяется но Жуковского теореме и прямо пропорционально значению Ц. с., плотности жидкости и значению скорости потока на бесконечности. При плоском обтекании идеальной жидкостью крыла с острой задней кромкой величипа Д. с. определяется Чаплыгина — Жуковского постулатом. При обтекании крыла конечного размаха, хорда к-рого в плане меняется, Д. с. вдоль размаха крыла также меняется. [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...