Теорема Стокса о циркуляции скорости

Фиг. 112. К доказательству теоремы Стокса о циркуляции скорости по замкнутому коп-ТУРУ-

При формулировании теоремы Стокса о связи между циркуляцией скорости по произвольно расположенному замкнутому контуру и интенсивностями охватываемых контуром вихревых трубок следует оговориться, что область течения односвязна. Как будет пояснено в 37, в многосвязной области в правую часть настоящего равенства могут еще входить так называемые циклические постоянные, характеризующие многосвязную область. [c.45]

Н. Е. Жуковский рассматривал установившиеся плоскопараллельные обтекания цилиндрического крыла бесконечного размаха поступательным набегающим потоком с постоянной скоростью. При решении плоской задачи о потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью цилиндрического крыла можно найти в двусвязной области потенциального потока решение с циркуляцией, отличной от нуля по контуру, охватывающему крыло. Соответствующий потенциал оказывается многозначным. При непрерывном кинематическом продолжении рассматриваемого обтекания на всю плоскость в соответствии с теоремой Стокса внутри крыла получается вихревое течение. [c.300]

Для характеристики вихревых трубок в аэродинамике используется понятие о напряжении, или интенсивности, вихря. Под напряжением интенсивностью) вихря к понимают произведение угловой скорости на площадь нормального сечения вихревой трубки Fn- Если вектор to во всех точках сечения Fn имеет одно и то же значение, то х= =u>Fn- Напряженность связана с циркуляцией скорости по некоторому контуру. Эта связь устанавливается на основании теоремы Стокса. [c.93]

Для того чтобы доказать эту теорему, применим теорему Томсона к контуру, который всеми своими точками лежит на поверхности вихревой трубки, но не охватывает ее (фиг. 115). Циркуляция скорости по всякому такому контуру, в силу теоремы Стокса, равна ну лю, ибо на поверхности вихревой трубки О)п = 0. [c.305]

Полагая здесь а — V и рассматривая поверхность о как произвольное сечение вихревой трубки, придем к следующей теореме Стокса интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности трубки и один раз ее опоясывающему. [c.68]

Предположим, что в потоке имеется изолированная вихревая трубка конечных размеров, так что вне ее угловая скорость жидких частиц равна нулю. В этом случае, очевидно, теорема Стокса будет верна не только для контура, расположенного на поверхности трубки, но и для любого другого, однократно охватывающего трубку контура. Если в пространстве заданы (рис. 12) несколько изолированных вихревых трубок с интенсивностями ь 2, .., так что повсюду в области вне трубок (на поверхности о вне заштрихованных площадок 01, 02, Оз,. ..) вихрь вектора равен нулю, то циркуляция скорости по контуру С, однократно охватывающему вихревые трубки, равна сумме интенсивностей этих трубок. [c.68]

Из закона сохранения циркуляции можно вывести важное следствие. Будем считать сначала, что движение жидкости стационарно и рассмотрим линию тока, о которой известно, что в некоторой её точке rot V = 0. Проведём произвольный бесконечно малый замкнутый контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки. В силу теоремы Стокса циркуляция скорости по всякому бесконечно малому контуру равна rotviif, где di — элемент площади, охватываемый этим контуром, а rotv — значение ротора скорости в точках этого элемента. Поскольку рассматриваемый здесь нами контур расположен в месте, где rot V = О, циркуляция скорости по нему равна нулю. С течением времени этот контур будет передвигаться вместе с жидкостью, всё время оставаясь бесконечно малым и охватывая собой ту же самую линию тока. Поскольку циркуляция скорости должна оставаться неизменной, т. е. равной нулю, ясно, что и rotv должен быть равным нулю во всех точках линии тока. [c.30]

Второй важной кинематической теоремой о вихрях является теорема Стокса интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку. Докажем эту теорему для более общего случая с такой формулировкой поток вектора вихря скорости через любую поверхность, опираюш уюся на некоторый замкнутый контур, равен циркуляции скорости по этому контуру. [c.53]

Первый пример потенциального движения жидкости привел еще в середине XVIII в. Л. Эйлер. Последующее изучение кинематики сплошной среды, выполненное Коши и Стоксом, привело к появлению понятия вихря и к изучению вихревых течений. Ряд изящных и важных теорем о вихревых линиях и вихревых трубках был опубликован в 1858 г. Г. Гельмгольцем, привлекшим интерес исследователей к вихревым течениям. В этот же период было введено понятие циркуляции скорости и установлена связь циркуляции с потоком вихря. Гельмгольцу, в частности, принадлежит важная кинемати-74 ческая теорема о постоянстве потока вдоль вихревой трубки, из которой следует невозможность обрыва вихревых трубок внутри жидкости. [c.74]

Что касается входящей сюда циркуляции, то она должна быть равна по величине, ио противоположна по знаку циркуляции скорости влечения по тому же контуру. Определим циркуляцию скорости влечения по теореме Стокса. Для этого разлагаем в каждой точке тела угловую скорость частицы О) на 1, ш.., Од и, таким образом, заменяем все вихревые нити в движении тела тре.мя системами прямолинейных вихревых нит(пг, параллельных осям координат. Составляя удвоенные слм.мы напряжений вихревых иитоГ , проходящих сквозь контур трубки, находим [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...