Применение осредненных уравнений

Применение осредненных уравнений [c.27]

Количество неизвестных функций в осредненных уравнениях превосходит их число, однако ввиду малости дополнительных неизвестных основные неизвестные — средние параметры газа — могут быть с достаточной точностью определены из этих уравнений. Для решения должен быть применен подходящий процесс последовательных приближений. В первом приближении можно, например, положить все / = 0, после чего система уравнений становится полной и может быть решена. Затем по результатам решения системы уравнений первого приближения могут быть вычислены дополнительные ч.лепы в уравнениях. Для этого можно использовать уравнение (42.17), из которого находится р, и простейшие оценки (43.1) и (43.4). Более точно дополнительные члены во втором и следующих приближениях могут быть найдены из решения соответствующих двумерных задач и с использованием полных (не осредненных) уравнений (41.1) —(41.4). [c.288]

Развивая последовательно метод осреднения уравнений движения, примененный в гл. 8, естественно применить его и в двумерных задачах, или, иначе говоря, произвести осреднение уравнений двумерного движения по некоторой координате q , пересекаю-щей канал. В результате такого осреднения уравнения предельно упрощаются, так как в них сохраняется только одна независимая переменная q , и решение двумерных задач сводится к расчету осредненных одномерных движений. [c.361]

Попутно отметим, что те же осредненные зфавнения можно получить иначе путем применения интегральных уравнений неразрывности, вихрей и импульсов к элементарному объему жидкости в криволинейном четырехугольнике шириной 1х, изображенном на рис. 1 19 пунктиром. Помимо указанных уравнений, можно использовать интегральные теоремы следующих порядков и построить, таким образом, процесс последовательных приближений к точному решению задачи. [c.365]

Уравнение (1.15) при сделанных выше допущениях относительно осреднения параметров справедливо для установившегося течения реального газа в любом элементе двигателя. Различие здесь может быть только в знаках подводимой внешней работы и работы сжатия (расширения). В качестве примера рассмотрим применение обобщенного уравнения Бернулли для компрессора и турбины. [c.25]

Рейнольдс сделал еще один очень важный для теории турбулентности шаг. Он предложил представлять значения всех гидродинамических величин в турбулентном течении в виде, суммы осредненных (регулярных) и пульсационных (нерегулярных) составляющих и изучать лишь осредненные величины, сравнительно плавно меняющиеся в пространстве и во времени, отказавшись от практически безнадежных попыток описания индивидуальных реализаций гидродинамических полей. Для определения средних значений Рейнольдс предложил применять обычное осреднение по некоторому интервалу времени или некоторой пространственной области, но фактически он пользовался лишь алгебраическими свойствами операции осреднения, позволяющими существенно упростить ее применение к уравнениям гидромеханики. Поэтому в настоящее время, когда при исследовании турбулентности принято понимать осреднение иначе, чем во времена Рейнольдса, все его выводы, тем не менее, полностью сохраняют силу, поскольку использованные им свойства осреднения оказываются очевидными именно при современном понимании этой операции. [c.11]

Методы полуэмпирической теории турбулентности находят широкое применение при описании турбулентной диффузии примесей, т. е. процесса переноса примесей жидкими частицами в турбулентном потоке. Под описанием турбулентной диффузии следует понимать статистическое описание поля концентрации примеси йри тех или иных начальных и краевых условиях, включающих и задание всех источников примеси. Поле концентрации й (ас, ) будет, вообще говоря, неоднородным, и его математическое ожидание — средняя концентрация О (ас, 1) будет некоторой функцией от ж и определение которой является важнейшей (хотя и не единственной) задачей теории турбулентной диффузии. Для ее решения используется осредненное уравнение переноса, которое в случае несжимаемой жидкости и в пренебрежении молекулярной диффузией имеет вид [c.479]

Теперь мы знаем, что для определенных задач имеется бесконечное число законов сохранения и, следовательно, бесконечное число усредненных уравнений типа (5.13). Поэтому для успеха применения этого метода вал<но знать, что из этого бесконечного числа уравнений сохранения независимых уравнений ровно столько, сколько параметров с и Л,, которые мы должны определить. Во всех задачах, рассмотренных до сих пор, число независимых осредненных уравнений сохранения в точности равно числу неизвестных параметров. Однако до сих пор нет общего доказательства этого факта, и [c.117]

Введение понятия об осредненных параметрах значительно облегчило исследование турбулентных течений. Действительно, для практических целей нет необ.ходимости знать мгновенные значения скоростей, давлений или касательных напряжении, а можно ограничиться их средними по времени величинами. Применение осредненных параметров упрощает соответствующие уравнения движения (уравнения Рейнольдса). [c.23]

Уровень знаний и недостаточность соответствующих данных во многих случаях не оправдывают применение более сложных математических моделей для исследования течений в прибрежных водах, в озерах н т. д., чем модели, основанные на численном решении двухмерных уравнений, полученных путем применения осредненных по вертикали характеристик (так называемых уравнений мелкой воды). Трехмерные же решения на данном этапе нецелесообразны, так как они потребовали бы большое количество дополнительной информации и машинного времени. [c.204]

К концу 1970-х годов мода на магнитную гидродинамику если не миновала, то сильно ослабла, однако сухой остаток от нее оказался существенным во многих областях науки и прикладных исследованиях. В глобальном же смысле резко повысился уровень понимания того, что сфера применения механики сплошных сред значительно шире и многообразнее, чем привычно было думать, и что между ее ветвями нет никаких заборов, затрагивающих фундамент теории, а только перегородки, воздвигнутые для удобства (администрирования, преподавания, книгоиздания и т.п.) Остались важные в методическом отношении прецеденты и примеры упрощенных подходов к пространственным задачам, в частности к задачам с узкими зонами сильного изменения параметров, общие соображения о процедурах осреднения уравнений и многое другое. [c.8]

В работе [3 ] применен отличный от описанного выше подход, в котором ползущее течение около пробной частицы рассматривалось как обтекание ее однородной осредненной жидкостью с эффективной вязкостью смеси и, и средней плотностью р. Для слу- чая осаждения суспензии это приводит к следующему уравнению равновесия [c.184]

Необходимы предположения, которые позволили бы установить связь указанных величин с осредненными значениями. В настоящее время имеется большое число гипотез замыкания уравнений турбулентных течений [19]. Они основаны на использовании правдоподобных, подтверждаемых опытом соображений. Как правило, в результате применения таких гипотез в уравнениях появляются дополнительные константы турбулентности или даже функции, которые могут быть установлены только из опытных данных. [c.45]

Условие стационарности, строго говоря, ограничивает область применения результирующих дифференциальных уравнений рамками ламинарного течения. Однако, воспользовавшись осредненными по времени величинами Yj и к, мы сумеем применить эти уравнения и для расчета турбулентного течения. [c.51]

Для чисел Рейнольдса Ре = 1800 и выше, которые являются наиболее характерными при применении рукавов этого типа, значение коэффициента Я в формуле (1.54) можно определить по экспериментальному графику, приведенному на рис. 1.24. На графике представлено осреднен-ное значение экспериментальных данных, соответствующих уравнению [c.68]

Применение закона осреднения (7) к уравнению (6) дает следующий результат [c.157]

Для Re = 1800 и выше, которые являются наиболее распространенными для случаев применения рукавов этого типа, значение коэффициента "к в формуле (5) можно определять по экспериментальному графику, приведенному на фиг. 2. На графике представлено осредненное значение экспериментальных данных, соответствующих уравнению [c.18]

В настоящем параграфе ставится ограниченная цель составления общих уравнений динамики и термодинамики сплошной неоднородной текучей среды. Вывод этих уравнений, как и в случае однородной текучей среды, основывается на применении общих теорем механики систем материальных точек и не составлял бы особенного труда, если бы была ясность выбора применяемых при этом приемов осреднения. Этот вопрос до сих пор остается спорным, и в нашу задачу рассмотрение его сейчас не входит. [c.67]

Эта зависимость получена в результате применения операции осреднения < > к левой и правой частям уравнения (80). При этом используется теорема о числовых характеристиках [8]. В соответствии с этой теоремой детерминированную (неслучайную) величину Ro/r можно выносить за знак осреднения < >. В уравнении (80) полагаем 52(О 5з( ) =0. [c.103]

Расчетные схемы и соответствующие дифференциальные уравнения движения должны быть достаточно просты (например, распределенные массы упругих элементов рекомендуется заменять сосредоточенными). Дело в том, что, с одной стороны, они предназначены для определения осредненных характеристик нагрузок (МО, СКО и т. д.), а с другой — необходимо их многократное решение, что требует значительных затрат машинного времени для цифровых ЭВМ или применения мощных аналоговых ЭВМ. [c.113]

Расчетные схемы и дифференциальные уравнения должны быть просты, так как, с одной стороны, они предназначены для определения статистических осредненных характеристик нагрузок, а с другой, необходимо их многократное решение (моделируется до 50 циклов крана), что требует значительных затрат машинного времени или применения мощных аналоговых ЭВМ [0.13]. Реализации процессов нагружения статистически обрабатываются с помощью ЭВМ. [c.103]

Нелинейное уравнение можно решить либо путем линеаризации (см. 25), либо приближенными методами. В работе [149] был применен метод осреднения , который при сопоставлении с решением на ЭВМ показал высокую точность. Однако использовать полученные формулы для расчета систем скважин оказалось практически невозможно из-за сложности вычисления среднего давления. Поэтому (как и для решения основных модельных задач) бы.ло предложено использовать приближенное равенство (25.21). Проверка окончательного метода расчета поля давления на фактическом материале разработки ряда месторождений [105] показала его полную приемлемость. [c.276]

Как и в случае автомодельных ламинарных пограничных слоев, возможно преобразование дифференциальных уравнений в частных производных для автомодельных турбулентных пограничных слоев в обыкновенные дифференциальные уравнения с последующим решением их одним из известных методов. Таким путем можно получить надежные данные по геометрическим размерам равновесных пограничных слоев и по распределению касательного напряжения на обтекаемой поверхности. Тот факт, что равновесные пограничные слои возможны только в ограниченных случаях степенного распределения скорости внешнего потока, существенно ограничивает применение автомодельных решений. Однако при многих распределениях давления вдоль обтекаемой поверхности пограничные слои по своим свойствам приближаются к свойствам равновесных слоев и на них могут быть распространены автомодельные решения. Существует по крайней мере две категории таких пограничных слоев. Примером пограничного слоя первой категории является след за цилиндром в однородном потоке, в котором распределения осредненной скорости и рейнольдсовых напряжений имеют выражения [c.343]

Определяется значение функции /Хе(м, то, ж, у, г , ), позволяющее найти наилучшее приближение решений уравнений Навье-Стокса к уравнениям системы I или системы И. Эта операция проводится, например, либо путем применения различных способов осреднения полученного выражения Це, либо путем замены текущих координат и времени некоторыми характерными их значениями. [c.151]

Само осреднение уравнений движения, т. е. применение статистического описания турбулентного движения, является неизбежным, поскольку начальные значения скорости жидкости в каждой из точек потока не могут быть заданы. Из-за нелинейности уравнения Навье-Стокса для действительной скорости жидкости при осреднении появляются члены — —(раУ(т X. [c.400]

Мзложенный способ расчета представляет собой естественное обобщение одномерного или гидравлического расчета течений в каналах, производимого, по существу, в средних параметрах. Применение наряду с осредненным уравнением неразрывности (50.5) осред-ненного уравнения отсутствия вихрей (50.6) позволяет вычислить, кроме среднего значения скорости в канале, также главную часть ее изменешая поперек канала. В порядке следующего приближения можно, опираясь на результаты произведенного расчета, вычислить отброшенные члены порядка f q и разбить течение в канале на две или три отдельные струйки после этого к каждой из струек вновь применима изложенная приближенная методика расчета, если использовать дополнительно условия равенства всех функций на границах струек. [c.365]

Тот же прием осреднения, как и при выводе уравнений (13), но примененный к уравнению (228) гл. VIII, позволит получить следующее уравнение распространения тепла в турбулентном движении [c.548]

Задачу описания турбулентных течений реагирующей смеси с переменной плотностью можно решать на моделях различного уровня сложности Турбулентность Принципы и применения, 1980 Турбулентные сдвиговые те-чения-1, 1982). Нами проблема замыкания системы осредненных уравнений многокомпонентной гидродинамики решается, как уже неоднократно подчеркивалось, на уровне моментов связи второго порядка, когда к рассмотрению привлекаются эволюционные уравнения переноса только для одноточечных парных (смешанных) корреляторов. Достигнутый прогресс в развитии и применении моделей турбулентности второго порядка для однородной жидкости с постоянной плотностью (см., например, Цональдсон, 1972 Дирдорф, 1973 Андре и др., 1976 Турбулентность Принципы и применения, 1980 ) позволяет надеяться на эффективность обобщений некоторых из них на случай течения сжимаемой многокомпонентной среды, имея при этом в виду, что, в конечном счете, качество любой используемой модели определяется сопоставлением с экспериментальными данными. [c.172]

Основной прием метода осреднения состоит в том, что правые части сложных систем дифференциальных уравненией, описывающих процесс колебаний или вращения, заменяются сглаженными , осредненными функциями, не содержащими явно время i и быстро изменяющихся параметров изучаемой системы. Этот метод издавна применялся в небесной механике, с ним связаны известные схемы осреднения Гаусса, Делоне — Хилла и др. В Лекциях Ю. А. Митропольского (1966) в качестве характерного примера применения осреднения в задачах небесной механики рассматривается ограниченная плоская круговая задача трех тел (см. также Н. Д. Моисеев, 1945). Эта задача приводит к уравнениям вида ( 2/- / (II [c.116]

Под диффузионным приближением понимают поведение динамических систем в рамках случайных воздействий, моделируемых белым (дельта-коррелированным) шумом с га- уссовской или пуассоновской статистикой. Оно широко используется и равносильно описанию осредненной динамики в рамках кинетических уравнений для вероятностных распределений типа Фоккера — Планка (при гауссовской статистике) или Колмогорова — Феллера (при пуассоновской статистике)., Хотя диффузионное приближение подробно рассмотрено в ряде известных руководств и статей (см., например, [1—4, 22, 49]),, но в связи с расширением применений кинетических уравнений в различных областях физики (в том числе и для описания реальных процессов, вообще говоря, не дельта-коррелированных) появляются все новые работы по выводу и анализу этих уравнений и условиям их применимости. Из новых подходов к вопросу можно, например, отметить функциональный, основанный на формулах типа Фуруцу — Новикова — Донскера (см. [23, 32]). Здесь мы покажем, что широкий класс динамических систем в диффузионном приближении очень просто описывается на основе аппарата формул дифференцирования. [c.98]

В дальнейшем математический анализ осредненных уравнений движения и теплообмена в турбулентном потоке показал, что эти уравнения оказываются незамкнутыми, так как в них появляются члены, содержащие неизвестные величины пульсаций скорости и температуры. До сих пор не удалось построить теорию, позволяющую вычислить Эти величины, не прибегая к эксперименту. Поэтому широкое распространение получили так называемые полуэмпирические теории турбулентности, в основу которых положено представление о том или ином виде связи между переносимой турбулентными потоками величиной (количеством движения, количеством теплоты и т. п.) и осредненными параметрами потока. Основы полуэмпирической теории теплообмена в турбулентном потоке были заложены Л. Прандтлем и Б. Тейлором. В трудах академика Л. С. Лей-бензона была разработана гидродинамическая теория теплообмена, получившая практическое применение при исследовании теплообмена в трубопроводах. [c.9]

В данной главе, имеющей целью показать характерные особенности квазилинейных систем, рассматривается лишь один метод — метод медленно меняющихся коэффициентов, связанный с проблемой осреднения. Начало применения этого метода к задачам теории нелинейных колебаний принадлежит Ван-дер-Полю [15] дальнейшее его развитие и обоснование связано с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, Л. И. Мандельштамма, И. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Б. В. Булгакова и их учеников и последователей. Указанный метод нами используется еще и потому, что позволяет в наибольшей степени использовать идеи А. А. Андронова по качественному исследованию дифференциальных уравнений. [c.119]

Функция (3.1.75) совпадает с полученной в случае применения способа осреднения Слезкина—Тарга. Если функции Уо (О и Хд( ) удовлетворяют условиям (3.1.74), то функция (3.1.75) удовлетворяет условиям (3.1.74), но не удовлетворяет точно уравнению (3.1.73). Требуется, чтобы функция у.2 х, 1) удовлетворяла уравнению (3.1.73) в среднем, т. е. удовлетворяла бы интегральному соотношению, полученному в результате интегрирования (3.1.73) по всей вязкопластической области. Интегрируя (3.1.73) по частям с учетом (3.1.74), получим [c.241]

Известно, что уравнения динамики и их решения несут большую информацию о двин ении, но только в механическом смысле. Если же нужно использовать информацию о других свойствах движения, то следует модулировать систему динамических уравнений некоторой функцией, содержание которой раскрывает желаемые изменения. В результате применения принципа модуляции и последуюш его осреднения получаем новые обобш енные координаты и их скорости, отражающие не только динамику, но и иной, более глубокий смысл. [c.71]

Очень серьезный вопрос возникает при формировании безразмерных комплексов для турбулентных режимов течения. Как было сказано, вводя в описание процесса осредненные по времени локальные значения скоростей, температур, давлений и других пульсирующих величин, мы получаем незамкнутую систему уравнений. Соответственно, перечни комплексов (4-35) и (4-36) оказываются неполными — в них принципиально необходимо включать дополнительно некие безразмерные характеристики турбулентности. Однако ни теория турбулентности, ни существующие экспериментальные методы (применение турбулиметров) не дают пока оснований для создания подобных характеристик, в особенности таких, которые получили бы простое и повсеместное применение. Поэтому учет турбулентной структуры потока имеет только качественный характер или же производится косвенными путями. [c.97]

Использование гипотезы Кирхгофа — Ляра также обьгчно ограничивает применение излагаемой теории областью тонких оболочек, для которых az/A < 1 и bz/B < 1, откуда появляется возможность упростить выражения (6.8) для деформаций. Стоящие в числителе выражений для о и ер члены вида az/A и bz/B являются существенными при малых перемещениях, и если их опустить, то не получим равными нулю деформации для основного случая, когда u = v=w = 0. Однако если пренебречь слагаемыми az/B и bz/B в знаменателе выражений для деформаций, полагая тем самым знаменатель равным нулю, то ошибки порядка отношения толщины к радиусу будут сделаны только в значениях деформаций в специфических точках. При определении прогибов и критических нагрузок, которые зависят от осредненных условий, эти ошибки будут практически бесконечно малыми-в области, занимаемой стенкой оболочки. Ошибка при определении энергии деформации примерно равна квадрату отношения толщины к радиусу, т. е. ошибка составляет одну десятую процента, когда толщина равна одной тридцатой радиуса. Отсюда видно,-что для тонких оболочек, а в случае нахождения прогибов, критических нагрузок и т. п. это справедливо и для относительно тонких оболочек, не делая серьезной погрешности, знаменатель в выражениях (6.8) мояшо положить равным единице. Однако, хотя в дальнейшем будет показана справедливость сказанного, это требует своего обоснования, так -как кажущиеся нёзначительнйми члены могут оказаться существенными на последующих стадиях исследований все это подробно обсуждается при выводе уравнения (6.36), [c.406]

В первой из двух статей Ф. Р. Виньерона рассматривается применение метода осреднения В. М. Волосова к исследованию динамики колебаний спутника с двойным вращением, снабженного демпферами. Этот метод применяется к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами, к которым при некоторых допущениях приводится исследование устойчивости стабилизируемого состояния спутника. Вторая [c.5]

Частотное распределение кинетической энергии. Наряду с корреляциями или осредненными произведениями, употреблявшимися до сих пор для описания поля турбулентного потока, можно анализировать пульсации скорости экспериментально по их спектрам, подобно тому как луч света делят на спектральные компоненты. Эта аналитическая техника, основанная на эйлеровом представлении скорости в фиксированной точке как функции времени, была впервые предложена Тэйлором вместо корреляционной функции f(r), определенной уравнением (184). Применение спектральной функции не ограничивается изотропной турбулентностью, фактически для нее не обязательно равенство нулю осредненной скорости, что должно быть непременным условием для истинной изотропности. Относительно простой одномерный спектр Тэйлора позднее был сведен Гейзенбергом [c.265]

Подчеркнем, что этот метод не даст результата, отличного от результатов известных методов малого параметра, если его использовать к исходному уравнению. Только применение его к квазиконсервативным системам или, как будет пояснено ниже, осреднение на четверти колебания даст улучшенное решение. [c.246]

В задачах, связанных с расчетом турбулентного пограничного слоя, применение чисто теоретических методов в настоящее время невозможно, поскольку не за- мкнута система уравнений, описывающих перенос количества движения, тепла и массы в турбулентном потоке. В частности, не установлена связь между пульсационны-ми и осредненными характеристиками движения. Это объясняется необычной сложностью турбулентного тече- [c.51]

По мере увеличения поперечной разности температур происходит турбу-лизация конвективного.течения. В работах В.И. Полежаева с сотрудниками [57—60] на основе метода конечных разностей в применении к нестационарным уравнениям конвекции прослежены закономерности переходного и турьулентного режимов конвективного течения в вертикальных слоях. Прямое моделирование конвективной турбулентности с последующим расчетом осредненных характеристик течения и теплопереноса приводит к результатам, согласующимся с экспериментальными данными. [c.46]

О некоторых методах моделирования турбулентности. Помимо статистического подхода к моделированию турбулентности в настоящее время все более широкое применение находит феноменологический (полуэмпириче-ский) подход и методы прямого численного моделирования турбулентности на основе решения специальных кинетических уравнений или нестационарной системы трехмерных уравнений Навье-Стокса, хотя в силу стохастичности данного явления в реальности удается получать лишь осредненные характеристики движения. Это позволяет, тем не менее, иногда проследить не только эволюцию образований различных пространственных структур с течением времени, но также изучать общую динамику и природу развития турбулентности. Например, результаты численного моделирования явления перебросов в гидродинамической системе (сконструированной в виде многоярусной модели зацепления простейших элементов - триплетов) иллюстрируют каскадный процесс передачи энергии в развитом турбулентном потоке, соответствующий известному закону Колмогорова-Обухова Гледзер и др., 1961) и подкрепляют представления об общих свойствах в поведении динамических систем. Интересно также отметить, что исследование процесса стохастизации динамических систем и сценариев перехода к хаосу при численном моделировании турбулентности служит аналогом решения некорректных задач с использованием оператора осреднения и параметрического расширения Тихонов и Арсенин, 1986). При таком подходе упорядоченная структура турбулентного течения, которая определяется как аттрактор асимптотически устойчивого решения для осредненных величин, представляет собой его регуляризованное описание Белоцерковский, 1997). Следует однако заметить, что использование методов прямого численного моделирования турбулентности для решения практически важных задач (особенно задач, связанных с расчетами турбулентного тепло-и массопереноса в многокомпонентных химически активных смесях) часто затруднительно или является слишком громоздким. Поэтому подобные задачи целесообразнее решать с помощью более простых, полуэмпирических теорий. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...